中考数学 直角三角形的边角关系 综合题附详细答案

中考数学直角三角形的边角关系综合题附详细答案
一、直角三角形的边角关系
1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数
值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【答案】6.4米
【解析】
解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°．
∴DC=BC•cos30°=3
639
=⨯=米，
∵CF=1米，
∴DC=9+1=10米，
∴GE=10米，
∵∠AEG=45°，
∴AG=EG=10米，
在直角三角形BGF中，
BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米，
∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，
答：树高约为6.4米
首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高
2．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，
【答案】（1）∠BPQ=30°；
（2）该电线杆PQ的高度约为9m．
【解析】
试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
试题解析：延长PQ交直线AB于点E，
（1）∠BPQ=90°-60°=30°；
（2）设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，33
米，
∵AB=AE-BE=6米，
则x-
3
3
x=6，
解得：3
则BE=（3）米．
在直角△BEQ中，QE=
3
3
BE=
3
3
（3+3）=（3）米．
∴3（3）3（米）．
答：电线杆PQ的高度约9米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
3．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）
已知：如图，AB是半圆O的直径，弦//
CD AB，动点P、Q分别在线段OC、CD 上，且DQ OP
，AP的延长线与射线OQ相交于点E、与弦CD相交于点F（点F与
点C 、D 不重合），20AB =，4
cos 5
AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．
（1）求证：AP OQ =；
（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13
x x y x x -+=<<；（3）8OP = 【解析】
【分析】
（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；
（2）根据PFC ∆∽PAO ∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5
AOC ∠=
、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去．
【详解】
（1）联结OD ，∵OC OD =，
∴OCD ODC ∠=∠，
∵//CD AB ，
∴OCD COA ∠=∠，
∴POA QDO ∠=∠．
在AOP ∆和ODQ ∆中， {OP DQ
POA QDO OA DO
=∠=∠=，
∴AOP ∆≌ODQ ∆，
∴AP OQ =；
（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ，
∵4cos 5
AOC ∠=，
∴4455OH OP x ==，35
PH x =， ∴132AOP S AO PH x ∆=
⋅=． ∵//CD AB ，
∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOP y
CP x S OP x
∆-==， ∴2360300x x y x
-+=，当F 与点D 重合时， ∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯
=， ∴101016x x =-，解得5013
x =， ∴2360300x x y x
-+=50(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠=o 时，90OPA ∠=o ， ∴4cos 1085
OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=o 时，1010254cos cos 25
OC CQ QCO AOC ====∠∠， ∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-
2571622=-=， ∵501013
OP <<， ∴72OP =
（舍去）； ③当90PEO ∠=o 时，∵//CD AB ，
∴AOQ DQO ∠=∠，
∵AOP ∆≌ODQ ∆，
∴DQO APO ∠=∠，
∴AOQ APO ∠=∠，
∴90AEO AOP ∠=∠=o ，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段OP 的长为8．
4．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm ，AD 是斜边BC 上的高，垂足为D ，BE=1cm ．点M 从点B 出发沿BC 方向以1cm/s 的速度运动，点N 从点E 出发，与点M
同时同方向以相同的速度运动，以MN为边在BC的上方作正方形MNGH．点M到达点D 时停止运动，点N到达点C时停止运动．设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，点G刚好落在线段AD上？
（2）设正方形MNGH与Rt△ABC重叠部分的图形的面积为S，当重叠部分的图形是正方形时，求出S关于t的函数关系式并写出自变量t的取值范围．
（3）设正方形MNGH的边NG所在直线与线段AC交于点P，连接DP，当t为何值时，
△CPD是等腰三角形？
【答案】（1）3；（2）；（3）t=9s或t=（15﹣6）s.
【解析】
试题分析：（1）求出ED的距离即可求出相对应的时间t.
（2）先求出t的取值范围，分为H在AB上时，此时BM的距离，进而求出相应的时间．同样当G在AC上时，求出MN的长度，继而算出EN的长度即可求出时间，再通过正方形的面积公式求出正方形的面积.
（3）分DP=PC和DC=PC两种情况，分别由EN的长度便可求出t的值．
试题解析：∵∠BAC=90°，∠B=60°，BC=16cm
∴AB=8cm，BD=4cm，AC=8cm，DC=12cm，AD=4cm.
（1）∵当G刚好落在线段AD上时，ED=BD﹣BE=3cm
∴t=s=3s．
（2）∵当MH没有到达AD时，此时正方形MNGH是边长为1的正方形，令H点在AB 上，
则∠HMB=90°，∠B=60°，MH=1
∴BM=cm.∴t=s.
当MH到达AD时，那么此时的正方形MNGH的边长随着N点的继续运动而增大，令G点在AC上，
设MN=xcm，则GH=DH=x，AH=x，
∵AD=AH+DH=x+x=x=4，
∴x=3．
当≤t≤4时，S MNGN=1cm2．
当4＜t≤6时，S MNGH=（t﹣3）2cm2
∴S关于t的函数关系式为：.
（3）分两种情况：
①∵当DP=PC时，易知此时N点为DC的中点，∴MN=6cm
∴EN=3cm+6cm=9cm.∴t=9s
故当t=9s的时候，△CPD为等腰三角形；
②当DC=PC时，DC=PC=12cm
∴NC=6cm
∴EN=16cm﹣1cm﹣6cm=（15﹣6）cm
∴t=（15﹣6）s
故当t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．
综上所述，当t=9s或t=（15﹣6）s时，△CPD为等腰三角形．
考点：1.双动点问题；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.正方形的性质；5.由实际问题列函数关系式；6.等腰三角形的性质；7.分类思想的应用.
5．如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=30°，AC=3，动点D从点A出发，在AB边上以每秒1个单位的速度向点B运动，连结CD，作点A关于直线CD的对称点E，设点D运动时间为t（s）．
（1）若△BDE是以BE为底的等腰三角形，求t的值；
（2）若△BDE为直角三角形，求t的值；
（3）当S△BCE≤9
2
时，所有满足条件的t的取值范围（所有数据请保留准确值，参考
数据：tan15°=23
【答案】（1）33
2
；（23秒或3秒；（3）6﹣3
【解析】
【分析】
（1）如图1，先由勾股定理求得AB的长，根据点A、E关于直线CD的对称，得CD垂直平分AE，根据线段垂直平分线的性质得：AD=DE，所以AD=DE=BD，由3，可得t 的值；
（2）分两种情况：
①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，根据t的值；
②当∠EDB=90°时，如图3，根据△AGC≌△EGD，得AC=DE，由AC∥ED，得四边形CAED 是平行四边形，所以AD=CE=3，即t=3；
（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，
①当△BCE在BC的下方时，
②当△BCE在BC的上方时，
分别计算当高为3时对应的t的值即可得结论．
【详解】
解：（1）如图1，连接AE，
由题意得：AD=t，
∵∠CAB=90°，∠CBA=30°，
∴BC=2AC=6，
∴
∵点A、E关于直线CD的对称，
∴CD垂直平分AE，
∴AD=DE，
∵△BDE是以BE为底的等腰三角形，
∴DE=BD，
∴AD=BD，
∴t=AD=
；
2
（2）△BDE为直角三角形时，分两种情况：
①当∠DEB=90°时，如图2，连接AE，
∵CD垂直平分AE，
∴AD=DE=t，
∵∠B=30°，
∴BD=2DE=2t，
∴
∴
②当∠EDB=90°时，如图3，
连接CE，
∵CD垂直平分AE，
∴CE=CA=3，
∵∠CAD=∠EDB=90°，
∴AC∥ED，
∴∠CAG=∠GED，
∵AG=EG，∠CGA=∠EGD，
∴△AGC≌△EGD，
∴AC=DE，
∵AC∥ED，
∴四边形CAED是平行四边形，
∴AD=CE=3，即t=3；
综上所述，△BDE为直角三角形时，t的值为3秒或3秒；
（3）△BCE中，由对称得：AC=CE=3，所以点D在运动过程中，CE的长不变，所以△BCE 面积的变化取决于以CE作底边时，对应高的大小变化，
①当△BCE在BC的下方时，过B作BH⊥CE，交CE的延长线于H，如图4，当AC=BH=3时，
此时S△BCE=1
2
AE•BH=
1
2
×3×3=
9
2
，
易得△ACG≌△HBG，
∴CG=BG，
∴∠ABC=∠BCG=30°，
∴∠ACE=60°﹣30°=30°，
∵AC=CE，AD=DE，DC=DC，∴△ACD≌△ECD，
∴∠ACD=∠DCE=15°，
tan∠ACD=tan15°=t
3
=2﹣3，
∴t=6﹣33，
由图形可知：0＜t＜6﹣33时，△BCE的BH越来越小，则面积越来越小，②当△BCE在BC的上方时，如图3，CE=ED=3，且CE⊥ED，
此时S△BCE=1
2
CE•DE=
1
2
×3×3=
9
2
，此时t=3，
综上所述，当S△BCE≤9
2
时，t的取值范围是6﹣33≤t≤3．
【点睛】
本题考查三角形综合题、平行四边形的判定和性质、直角三角形的性质、三角形的面积问题、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
6．如图，正方形OABC 的顶点O 与原点重合，点A ，C 分别在x 轴与y 轴的正半轴上，点
A 的坐标为（4，0），点D 在边A
B 上，且tan ∠AOD ＝12
，点E 是射线OB 上一动点，EF ⊥x 轴于点F ，交射线OD 于点G ，过点G 作GH ∥x 轴交AE 于点H ．
（1）求B ，D 两点的坐标；
（2）当点E 在线段OB 上运动时，求∠HDA 的大小； （3）以点G 为圆心，GH 的长为半径画⊙G ．是否存在点E 使⊙G 与正方形OABC 的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E 的坐标．
【答案】（1）B （4，4），D （4，2）；（2）45°；（3）存在，符合条件的点为（8﹣2，8﹣2）或（2，2）或42164216++⎝⎭
或16421642,77⎛-- ⎝⎭
，理由见解析 【解析】
【分析】
（1）由正方形性质知AB=OA=4，∠OAB=90°，据此得B （4，4），再由tan ∠AOD= 12
得
AD=1
2
OA=2，据此可得点D坐标；
（2）由
1
tan
2
GF
GOF
OF
∠==知GF=
1
2
OF，再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF，即
GF=1
2
EF，根据GH∥x轴知H为AE的中点，结合D为AB的中点知DH是△ABE的中位
线，即HD∥BE，据此可得答案；
（3）分⊙G与对角线OB和对角线AC相切两种情况，设PG=x，结合题意建立关于x的方程求解可得．
【详解】
解：（1）∵A（4，0），
∴OA＝4，
∵四边形OABC为正方形，
∴AB＝OA＝4，∠OAB＝90°，
∴B（4，4），
在Rt△OAD中，∠OAD＝90°，
∵tan∠AOD＝1
2
，
∴AD＝1
2OA＝
1
2
×4＝2，
∴D（4，2）；
（2）如图1，在Rt△OFG中，∠OFG＝90°
∴tan∠GOF＝GF
OF ＝
1
2
，即GF＝
1
2
OF，
∵四边形OABC为正方形，∴∠AOB＝∠ABO＝45°，∴OF＝EF，
∴GF＝1
2
EF，
∴G为EF的中点，
∵GH∥x轴交AE于H，
∴H为AE的中点，
∵B（4，4），D（4，2），
∴D为AB的中点，
∴DH是△ABE的中位线，
∴HD∥BE，
∴∠HDA＝∠ABO＝45°．
（3）①若⊙G与对角线OB相切，
如图2，当点E在线段OB上时，
过点G作GP⊥OB于点P，设PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG＝2x，OF＝EF＝22x，
∵OA＝4，
∴AF＝4﹣22x，
∵G为EF的中点，H为AE的中点，
∴GH为△AFE的中位线，
∴GH＝1
2AF＝
1
2
×（4﹣22x）＝2﹣2x，
则x＝2﹣2x，
解得：x＝22﹣2，
∴E（8﹣42，8﹣42），
如图3，当点E在线段OB的延长线上时，
x2x﹣2，
解得：x ＝2+2， ∴E （8+42，8+42）； ②若⊙G 与对角线AC 相切，
如图4，当点E 在线段BM 上时，对角线AC ，OB 相交于点M ，
过点G 作GP ⊥OB 于点P ，设PG ＝x ，可得PE ＝x ， EG ＝FG ＝2x ， OF ＝EF ＝22x ， ∵OA ＝4， ∴AF ＝4﹣22x ，
∵G 为EF 的中点，H 为AE 的中点， ∴GH 为△AFE 的中位线， ∴GH ＝
12AF ＝1
2
×（4﹣22x ）＝2﹣2x ， 过点G 作GQ ⊥AC 于点Q ，则GQ ＝PM ＝3x ﹣22， ∴3x ﹣22＝2﹣2x ， ∴422
7
x +=
， ∴42164216,E ⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭
； 如图5，当点E 在线段OM 上时，
GQ ＝PM ＝22﹣3x ，则22﹣3x ＝2﹣2x ， 解得422
7
x -=
， ∴16421642,77E ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
； 如图6，当点E 在线段OB 的延长线上时，
3x ﹣22x ﹣2， 解得：422
x -=
（舍去）； 综上所述，符合条件的点为（8﹣2，8﹣2）或（2，2）或
42164216,77⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭或16421642,77⎛-- ⎝⎭
． 【点睛】
本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义、三角形中位线定理及分类讨论思想的运用．
7．3米/秒 =65.88千米/小时>60千米/小时．
∴此车超过限制速度．…4分
8．
如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝10，cosC ＝
3
5
，点P 是AC 边上一动点（不与点A 、C 重合），以PA 长为半径的⊙P 与边AB 的另一个交点为D ，过点D 作DE ⊥CB 于点E ． （1）当⊙P 与边BC 相切时，求⊙P 的半径．
（2）连接BP 交DE 于点F ，设AP 的长为x ，PF 的长为y ，求y 关于x 的函数解析式，并直接写出x 的取值范围．
（3）在（2）的条件下，当以PE 长为直径的⊙Q 与⊙P 相交于AC 边上的点G 时，求相交
所得的公共弦的长.
【答案】（1）
40
9
R=;（2）2
5
880
320
x
y x x
x
=-+
+
;（3）50105
-.
【解析】【分析】
（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，连接HP，则HP⊥BC，cosC＝3
5
，则
sinC＝4
5
，sinC＝
HP
CP
＝
10
R
R
-
＝
4
5
，即可求解；
（2）首先证明PD∥BE，则EB BF
PD PF
=，即：20
2
4
588
x y
x
x
x
-+
--
=，即可求解；
（3）证明四边形PDBE为平行四边形，则AG＝EP＝BD，即：AB＝DB+AD＝AG+AD＝45，即可求解．
【详解】
（1）设⊙P与边BC相切的切点为H，圆的半径为R，
连接HP，则HP⊥BC，cosC＝3
5
，则sinC＝
4
5
，
sinC＝HP
CP
＝
10
R
R
-
＝
4
5
，解得：R＝
40
9
；
（2）在△ABC中，AC＝BC＝10，cosC＝3
5
，
设AP ＝PD ＝x ，∠A ＝∠ABC ＝β，过点B 作BH ⊥AC ，
则BH ＝ACsinC ＝8，
同理可得：CH ＝6，HA ＝4，AB ＝45，则：tan ∠CAB ＝2， BP ＝228+(4)x -＝2880x x -+，
DA ＝
25x ，则BD ＝45﹣25
x ， 如下图所示，PA ＝PD ，∴∠PAD ＝∠CAB ＝∠CBA ＝β，
tanβ＝2，则cosβ5
，sinβ5
， EB ＝BDcosβ＝（525
x ）5＝4﹣25
x ，
∴PD ∥BE ，
∴EB BF
PD PF
=，即：202
4588x y x x
x y
-+-=，
整理得：y 25x
x 8x 803x 20
-++
（3）以EP 为直径作圆Q 如下图所示，
两个圆交于点G，则PG＝PQ，即两个圆的半径相等，则两圆另外一个交点为D，GD为相交所得的公共弦，
∵点Q是弧GD的中点，
∴DG⊥EP，
∵AG是圆P的直径，
∴∠GDA＝90°，
∴EP∥BD，
由（2）知，PD∥BC，∴四边形PDBE为平行四边形，
∴AG＝EP＝BD，
∴AB＝DB+AD＝AG+AD＝5
设圆的半径为r，在△ADG中，
AD＝2rcosβ
5DG
5
AG＝2r，
5＝52r
51
+
，
则：DG
5
50﹣5
相交所得的公共弦的长为50﹣5
【点睛】
本题考查的是圆知识的综合运用，涉及到解直角三角形、勾股定理等知识，其中（3），要关键是根据题意正确画图，此题用大量的解直角三角形的内容，综合难度很大．
9．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，CG是⊙O的弦∠PCA＝∠ABC，
CG⊥AB，垂足为D
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)求证：PA AD PC CD
=；
(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若sin∠P＝3
5
，CF＝5，求BE
的长．
【答案】（1）见解析；（2）BE=12．
【解析】
【分析】
（1）连接OC，由PC切⊙O于点C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB为⊙O的直径，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，证得∠OCA=∠OAC，于是得到结论；（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到弧AC=弧AG，于是得到
∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根据等腰三角形的性质得到
CF=AF，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=3
5
，求得FD=3，AD=4，CD=8，在R t△OCD中，
设OC=r，根据勾股定理得到方程r2=（r-4）2+82，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB为
⊙O的直径，得到∠AEB=90°，在R t△ABE中，由sin∠EAD=3
5，得到
BE
AB
＝
3
5
，于是求得
结论．
【详解】
（1）证明：连接OC，
∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCA+∠OCA=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠OAC=90°，∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠PCA=∠ABC；（2）解：∵AE∥PC，∴∠PCA=∠CAF，
∵AB⊥CG，
∴弧AC=弧AG，∴∠ACF=∠ABC，∵∠PCA=∠ABC，∴∠ACF=∠CAF，∴CF=AF，
∵CF=5，
∴AF=5，
∵AE∥PC，
∴∠FAD=∠P，∵sin∠P=3
5
，
∴sin∠FAD=3
5
，
在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=3
5
，
∴FD=3，AD=4，∴CD=8，
在R t△OCD中，设OC=r，
∴r2=（r﹣4）2+82，
∴r=10，
∴AB=2r=20，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，在R t△ABE中，
∵sin∠EAD=3
5，∴
3
5
BE
AB
，
∵AB=20，
∴BE=12．
【点睛】
本题考查切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题关键是连接OC构造直角三角形．
10．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离(如图②)．
【答案】1．5米．
试题分析：延长OA 交BC 于点D ．先由倾斜角定义及三角形内角和定理求出
在Rt △ACD 中,
米，CD =2AD =3米，再证明△BOD 是等边三角形，得到
米，然后根据
BC =BD −CD 即可求出浮漂B 与河堤下端C 之间的距离． 试题解析：延长OA 交BC 于点D .
∵AO 的倾斜角是，
∴ ∵
在Rt △ACD 中, (米)，
∴CD =2AD =3米， 又
∴△BOD 是等边三角形， ∴
(米)，
∴BC =BD −CD =4.5−3=1.5(米).
答：浮漂B 与河堤下端C 之间的距离为1.5米.
11．如图所示，一堤坝的坡角62ABC ∠=︒，坡面长度25AB =米(图为横截面)，为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得坡面的坡角50ADB ∠=︒，则此时应将坝底向外拓宽多少米？(结果保留到0.01 米)(参考数据：sin620.88︒≈，cos620.47︒≈，
tan50 1.20︒≈)
【答案】6.58米
试题分析：过A 点作AE ⊥CD 于E ．在Rt △ABE 中，根据三角函数可得AE ，BE ，在Rt △ADE 中，根据三角函数可得DE ，再根据DB=DE ﹣BE 即可求解． 试题解析：过A 点作AE ⊥CD 于E ． 在Rt △ABE 中，∠ABE=62°． ∴AE=AB•sin62°=25×0.88=22米，
BE=AB•cos62°=25×0.47=11.75米， 在Rt △ADE 中，∠ADB=50°， ∴DE==18
米，
∴DB=DE ﹣BE≈6.58米． 故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．
考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
12．已知：在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，BE ：AB=3：5，若CE= 2 ，cos ∠ACD=
4
5
，求tan ∠AEC 的值及CD 的长．
【答案】tan ∠AEC=3, CD=12
125
【解析】
解：在RT △ACD 与RT △ABC 中
∵∠ABC+∠CAD=90°, ∠ACD+∠CAD=90°∴∠ABC=∠ACD, ∴cos ∠ABC=cos ∠ACD=
45
在RT △ABC 中，
4
5
BC AB = 令BC=4k,AB=5k 则AC=3k 由
3
5
BE AB = ,BE=3k 则CE=k,且2 则2，2 ∴RT △ACE 中，tan ∠AEC=AC
EC
=3 ∵RT △ACD 中cos ∠ACD=
45CD AC = ,，12
125。