2021高中同步创新课堂数学优化方案人教A版必修5习题：第二章 章末演练轻松闯关 Word版含答案

[A 基础达标]
1．(2022·石家庄质量监测)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝15，S 5＝55，则数列{a n }的公差是( ) A.1
4 B ．4 C ．－4
D ．－3
解析：选B.由于{a n }是等差数列，S 5＝55， 所以a 1＋a 5＝22，所以2a 3＝22，a 3＝11， 所以公差d ＝a 4－a 3＝4.
2．若数列{a n }满足3a n ＋1＝3a n ＋1，则数列是( ) A ．公差为1的等差数列 B ．公差为1
3的等差数列
C ．公差为－1
3的等差数列
D ．不是等差数列
解析：选B.由3a n ＋1＝3a n ＋1，得3a n ＋1－3a n ＝1，即a n ＋1－a n ＝13.所以数列{a n }是公差为1
3的等差数列．
3．(2021·高考全国卷Ⅱ)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A ．21 B ．42 C ．63
D ．84
解析：选B.由于 a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，所以3＋3q 2＋3q 4＝21. 所以1＋q 2＋q 4＝7.解得q 2＝2或q 2＝－3(舍去)． 所以a 3＋a 5＋a 7＝q 2(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.故选B.
4．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )
A ．300米
B ．299米
C ．199米
D ．166米
解析：选A.设第n 次球从最高点到着地点的距离是a n ，数列{a n }是首项为100，公比为1
2
的等比数列，所
以球经过的路程S ＝2S 10－100＝2×100×⎝⎛⎭
⎫1－12101－12
－100≈300(米)．
5．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ) A ．5 B ．4 C ．3
D ．2
解析：选C.设等差数列的首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋20d ＝15，
5a 1＋25d ＝30，
解得d ＝3，故选C.
6．若b 既是a 和c 的等差中项，又是a 和c 的等比中项，则数列a ，b ，c 的公比为________． 解析：由题意，知2b ＝a ＋c ，b 2＝ac ，解得a ＝b ＝c ，所以公比为1. 答案：1
7．已知等差数列{a n }中，a 1>0，a 5＝3a 6，前n 项和为S n ，当S n 取得最大值时，n 等于________． 解析：由a 5＝3a 6⇒a 1＋4d ＝3(a 1＋5d )⇒d ＝－211a 1，所以S n ＝na 1－a 111n (n －1)＝－a 111(n 2－12n )＝－a 1
11(n －
6)2＋36
11
a 1，由于a 1>0，明显，当n ＝6时，S n 取得最大值．
答案：6
8．已知{a n }是公比为2的等比数列，若a 3－a 1＝6，则1a 21＋1a 22＋…＋1
a 2n
＝________．
解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由于a 3－a 1＝a 1(q 2－1)＝3a 1＝6，所以a 1＝2，a n ＝2n ，所以1a 21＋1
a 22
＋…
＋1a 2n ＝122＋1（22）2＋1（23）2＋…＋1
（2n ）2＝14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛
⎭⎫14n 1－
14
＝13⎝⎛⎭⎫1－14n . 答案：1
3⎝
⎛⎭⎫1－14n 9．在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81. (1)求a n ；
(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .
解：(1)设{a n }的公比为q ，
依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，
q ＝3.
因此，a n ＝3n －1.
(2)由于b n ＝log 3a n ＝n －1，
所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n （b 1＋b n ）2＝n 2－n
2
.
10．已知首项都是1的两个数列{a n }，{b n }(b n ≠0，n ∈N *
)，满足a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0. (1)令c n ＝a n
b n ，求数列{
c n }的通项公式；
(2)若b n ＝3n －
1，求数列{a n }的前n 项和S n .
解：(1)由于a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)， 所以a n ＋1b n ＋1－a n
b n
＝2，即c n ＋1－c n ＝2.
所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，
于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1， 3S n
＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ，
相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n ， 所以S n ＝(n －1)3n ＋1. [B 力量提升]
1．在1与100之间插入n 个正数，使这n ＋2个数成等比数列，则插入的n 个数的积为( ) A ．10n B ．n 10 C ．100n
D ．n 100
解析：选A.设这n ＋2个数为a 1，a 2，…，a n ＋1，a n ＋2， 则a 2·a 3·…·a n ＋1＝(a 1a n ＋2)n
2
＝(100)n 2
＝10n .
2.如图所示，矩形A n B n C n D n 的一边A n B n 在x 轴上，另两个顶点C n ，D n
在函数f (x )＝x ＋1
x (x ＞0)的图象上，若点B n 的坐标为(n ，0)(n ≥2， n ∈N *)，矩形A n B n C n D n
的周长记为
a n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝________．
解析：f (x )＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ＋1x
，则由B n 坐标(n ，0)可得A n 点坐标为⎝⎛⎭⎫1n ，0，所以a n ＝
⎝⎛⎭⎫n －1n ×2＋⎝⎛⎭
⎫n ＋1n ×2＝4n ，所以a 2＋a 3＋…＋a 10＝4×(2＋3＋4＋…＋10)＝216. 答案：216
3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －2(n ∈N *)．数列{b n }中，b 1＝1，点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上．
(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，求T n .
解：(1)由S n ＝2a n －2得S n －1＝2a n －1－2(n ≥2)，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，即
a n
a n －1
＝2(n ≥2)， 又a 1＝S 1＝2a 1－2，所以a 1＝2，所以{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝2n . 由于点P (b n ，b n ＋1)在直线x －y ＋2＝0上， 所以b n －b n ＋1＋2＝0，即b n ＋1－b n ＝2， 所以{b n }是等差数列．又b 1＝1，所以b n ＝2n －1. (2)T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n ，① 则2T n ＝1×22＋3×23＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)·2n ＋1.② 由①－②得
－T n ＝1×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)·2n ＋1＝1×2＋2×(22＋23＋…＋2n )－(2n －1)2n ＋1＝2＋2×4（1－2n －1）1－2
－(2n －1)·2n ＋1＝－6＋2n ＋2－(2n －1)·2n ＋1＝－6＋(3－2n )·2n ＋1，
所以T n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6.
4．(选做题)已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＞0，且第2项，第5项，第14项分别是一个等比数列的第2项，第3项，第4项．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1n （a n ＋3），S n 为数列{b n }的前n 项和，是否存在最大的整数t ，使得对任意的n 均有S n ＞t 36成
立？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题意，(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，
整理得2a 1d ＝d 2.又a 1＝1，d ＞0，
所以d ＝2，a n ＝2n －1.
(2)b n ＝1n （a n ＋3）＝1
2n （n ＋1）＞0，
所以数列{S n }是递增数列， S 1＝b 1＝1
4为S n 的最小值，
故14＞t
36，t ＜9. 又t 为整数，
所以适合条件的t 的最大值为8.。