工程数学 (第一次)作业

工程数学作业（第一次）（满分100分）
第2章 矩阵
（一）单项选择题（每小题2分，共20分）
⒈设a a a b b b c c c 1
231
2312
32=，则a a a a b a b a b c c c 1
23
1122
331
23232323---=（ ）．答案：D
A. 4
B. －4
C. 6
D. －6
解：
1
23
12
3
12
31122
3312
31
23
1231231
2
3
2323232320326
a a a a a a a a a a
b a b a b a a a b b b
c c c c c c c c c ---=-=⋅-⋅=- ⒉若
0001000
02001001a a =，则a =（ ）．答案：A A. 12 B. －1 C. -1
2 D. 1
解：41310001
0000001
(1)020(1)21,020*******
100a
a a a a a
++=-=--===
⒊乘积矩阵1124103521-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥中元素c 23=（ ）．答案：C
A. 1
B. 7
C. 10
D. 8
解：1124103521-⎡⎣⎢⎤⎦⎥-⎡⎣⎢⎤⎦⎥
=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--10818226，1023=C ⒋设A B ,均为n 阶可逆矩阵，则下列运算关系正确的是（B ）．答案：B
A. A B
A
B +=+---1
1
1 B. ()AB BA --=11
C. ()
A B A B +=+---1
11 D. ()AB A B ---=111
解：1
1
1
)(,---==∴=BA AB
AB BA AB
⒌设A B ,均为n 阶方阵，k >0且k ≠1，则下列等式正确的是（D ）． A. A B A B +=+ B. AB n A B = C. kA k A = D. -=-kA k A n ()
解： 因为 A B ,均为n 阶方阵，所以 -=-kA k A n ()．
⒍下列结论正确的是（ ）．答案：A
A. 若A 是正交矩阵，则A -1
也是正交矩阵
B. 若A B ,均为n 阶对称矩阵，则AB 也是对称矩阵
C. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则AB 也是非零矩阵
D. 若A B ,均为n 阶非零矩阵，则AB ≠0
注意：（1）两个对称阵的和是对称阵，但乘积不一定是对称阵，所以B 错；
（2）两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，所以C,D 错。

⒎矩阵1325⎡⎣⎢⎤
⎦⎥的伴随矩阵为（ ）．答案：C
A. 1325--⎡⎣⎢⎤⎦⎥
B. --⎡⎣⎢⎤⎦
⎥1325
C. 5321--⎡⎣⎢
⎤⎦⎥ D. --⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥
5321 解：,1235⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡--=*A ⒏方阵A 可逆的充分必要条件是（ ）．答案：B
A.A ≠0
B.A ≠0
C. A *≠0
D. A *>0 ⒐设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则()ACB '=-1（ ）．答案：D A. ()'---B A C 111 B. '--B C A 1
1
C. A C B ---'111()
D. ()B C A ---'111
解： 1111111()()()ACB B C A B C A -------'''==
⒑设A B C ,,均为n 阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（ ）．答案：D
A. ()A B A AB B +=++2222
B. ()A B B BA B +=+2
C. ()221111ABC C B A ----=
D. ()22ABC C B A '=''' （二）填空题（每小题2分，共20分）
⒈210
140001
---= 7 ．7
⒉---1
11
1
11
11
x 是关于x 的一个一次多项式，则该多项式一次项的系数是 ．2 解：1
1
1
11
1
01
1
1001(1)2(1)20
1
110
20
x x x x --+-=+=-=+-=2x+2
⒊若A 为34⨯矩阵，B 为25⨯矩阵，其乘积AC B ''有意义，则C 为 矩阵． 答案：45⨯
⒋二阶矩阵A =⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥=11015
解：⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡10511011,....103110111021;1021101110115
⒌设A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥⎥=--⎡⎣⎢
⎤
⎦
⎥1240341
20314,，则()A B +''= ． 解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='+⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-='+815360)(,83165040
1231430421B A B A ⒍设A B ,均为3阶矩阵，且A B ==-3，则-=2AB ．
解：-=2AB 72)2(3-=-B A
⒎设A B ,均为3阶矩阵，且A B =-=-13,，则-'=-312
()A B ．
解：22
123113()(3)273A B A B A B A B
----'''-=-⋅=-⋅=-
⒏若A a =⎡⎣⎢⎤
⎦⎥101为正交矩阵，则a = ．0
⒐矩阵212402033--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦
⎥⎥⎥的秩为 ． 解： 212402033--⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---→000220212330220212，秩为2 ⒑设A A 12,是两个可逆矩阵，则A O O
A 1
21
⎡⎣⎢
⎤⎦
⎥=- ．⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡--121
100A A （三）解答题（每小题8分，共48分）
⒈设A B C =-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥123511435431,,，求⑴A B +；⑵A C +；⑶23A C +；
⑷A B +5；⑸AB ；⑹()AB C '．
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡='⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+167151041345127237))(6(,12237734115321)5(20177415205553213411553215)4(73161739121510642134535321232)3(4066134553212813034115321)1(C AB AB B A C A C A B A ）（解：
⒉设A B C =--⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎡⎣⎢⎤⎦⎥=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥⎥121012103211114321002,,，求AC BC +．
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢
⎣
⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=+10221246701101132325720012341111230120012341
1210221BC AC 解： ⒊已知A B =-⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥=-⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥⎥31012134210
211
121
1,，求满足方程32A X B -=中的X ． ⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡-=-=∴=-252112712511234511725223821)1121112016129363039(21)1121112012431210133(21)3(21,23B A X B X A 解： ⒋写出4阶行列式
1
020143602533110
-- 中元素a a 4142,的代数余子式，并求其值．
,
0)1212(3
206410
01)1(;
4563093506310
2
1
)1(;
9)24249(3
526340
20)1(43
344342244241
1441=--=--=-==++=--=-=-=-+-=--=-=+++M A M A M A 解：
10201436
02533110
--=18451)9(34444434342424141=⨯+-⨯=+++A a A a A a A a ⒌用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵：
⑴
122
212
221
-
-
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
；
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
→
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
-
→
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
-
→
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
→
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
→
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
-
-
-
-
→
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
-
9
1
9
2
9
2
9
2
9
1
9
2
9
2
9
2
9
1
9
1
9
2
9
2
1
9
2
9
1
9
2
1
9
2
9
2
9
1
1
9
1
9
2
9
2
1
9
2
9
1
9
2
1
9
2
9
4
9
5
2
1
9
1
9
2
9
2
1
9
6
9
3
9
6
3
9
2
9
4
9
5
2
1
9
1
9
2
9
2
1
1
2
6
3
1
2
2
1
1
2
2
9
1
2
6
3
1
2
2
1
1
2
3
6
1
2
6
3
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
A
，
解：
⑵
1234
2312
1111
1026
-
--
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
；
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
-
-
-
-
-
-
→
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
-
-
-
-
-
-
→
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
-
-
-
-
-
-
→
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
-
-
-
→
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
-
-
→
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
-
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
→
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
-
-
-
3
5
1
4
1
1
2
1
1
13
20
5
17
1
17
26
6
22
1
3
5
1
4
1
1
2
1
1
13
20
5
17
1
9
14
4
12
2
1
3
5
1
4
1
1
2
1
1
18
30
5
22
5
1
12
20
4
15
3
2
1
3
5
1
4
1
1
2
1
1
1
2
6
5
1
1
4
3
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
3
1
2
6
5
1
1
4
3
2
1
1
2
3
2
5
1
1
1
1
3
1
2
6
5
1
1
4
3
2
1
1
1
10
5
2
1
1
5
2
1
1
2
6
5
1
1
4
3
2
1
1
6
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
2
1
4
3
2
1
解：
⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=-35141201132051717266221
A ⑶ 1000110011101
11
1⎡⎣⎢⎢
⎢⎢⎤⎦
⎥⎥⎥⎥． 解：因为
[]1000100010
0010001
100010001001100:1110001001
1010101
111000101111001100010001000100
0010011000
10011000010011000100110001101010
0010011A I ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢
⎥⎢
⎥=→⎢⎥⎢⎥
-⎢⎥⎢
⎥
-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥→→⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦
所以1
10001000110011001110011011110011-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
-⎢
⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
⒍求矩阵1
0110111
10110010121012
11320
1⎡⎣⎢⎢
⎢⎢⎤⎦
⎥
⎥⎥⎥的秩． 解：
1011011110110010121012
113
2
1⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤
⎦⎥⎥⎥⎥⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------→0000
000
0111000111011011011
01
0111
000
011100011101101101101
1221110
0111000111011011
01101秩为3
（四）证明题（每小题4分，共12分）
⒎对任意方阵A ，试证A A +'是对称矩阵．
证：∴'+=+'=''+'=''+,)()(A A A A A A A A A 是对称阵。

⒏若A 是n 阶方阵，且AA I '=，试证A =1或-1．
证：2
,1,111AA I A A A A ''=⋅==∴=- ；或
⒐若A 是正交矩阵，试证'A 也是正交矩阵． 证： 因为','1A A A I A A A ==-可逆且因而是正交阵，故
所以有I I AA A A A A ====--')'(')'(')''(11 即，是正交阵'A 。