2020-2021上海市北初级中学八年级数学上期末一模试题（含答案）

2020-2021上海市北初级中学⼋年级数学上期末⼀模试题（含答案）
2020-2021上海市北初级中学⼋年级数学上期末⼀模试题(含答案)
⼀、选择题
1．下列边长相等的正多边形能完成镶嵌的是（）
A．2个正⼋边形和1个正三⾓形B．3个正⽅形和2个正三⾓形
C．1个正五边形和1个正⼗边形D．2个正六边形和2个正三⾓形
2．如图， BD 是△ABC 的⾓平分线， AE⊥ BD ，垂⾜为 F ，若∠ABC＝35°，∠ C＝50°，则∠CDE 的度数为（）
A．35°B．40°C．45°D．50°
3．在平⾯直⾓坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三⾓形为等腰三⾓形时，点P的个数为（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．如果解关于x的分式⽅程
2
1
22
m x
x x
-=
--
时出现增根，那么m的值为
A．-2B．2C．4D．-4
5．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以点A和B为圆⼼，以相同的长（⼤于1
2 AB）
为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）
A．AD=BD B．BD=CD C．∠A=∠BED D．∠ECD=∠EDC 6．如图①，在边长为a的正⽅形中剪去⼀个边长为b(b
A．a2＋b2＝(a＋b)(a－b)
B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2
C．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
D．a2－b2＝(a＋b)(a－b)
7．若△ABC 三边分别是a 、b 、c ，且满⾜（b ﹣c ）（a 2＋b 2）＝bc 2﹣c 3 ，则△ABC 是（）
A ．等边三⾓形
B ．等腰三⾓形
C ．直⾓三⾓形
D ．等腰或直⾓三⾓形 8．下列计算中，结果正确的是（）
A ．236a a a ?=
B ．(2)(3)6a a a ?=
C ．236()a a =
D ．623a a a ÷= 9．尺规作图要求：Ⅰ、过直线外⼀点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上⼀点作这条直线的垂线；Ⅳ、作⾓的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（）
A ．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ
B ．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C ．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ
D ．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ 10．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠B=50°，P 是边 AB 上的⼀个动点(不与顶点 A 重合)，则
∠BPC 的度数可能是
A ．50°
B ．80°
D ．130°
11．如图，⽤四个螺丝将四条不可弯曲的⽊条围成⼀个⽊框，不计螺丝⼤⼩，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两⽊条的夹⾓均可调整．若调整⽊条的夹⾓时不破坏此⽊框，则任两螺丝的距离之最⼤值为何？
A ．5
B ．6
C ．7
D ．10
12．下列条件中，不能作出唯⼀三⾓形的是( )
A ．已知三⾓形两边的长度和夹⾓的度数
B ．已知三⾓形两个⾓的度数以及两⾓夹边的长度
C ．已知三⾓形两边的长度和其中⼀边的对⾓的度数
D ．已知三⾓形的三边的长度
⼆、填空题
13．分解因式：3327a a -=___________________.
14．如图，直线a ∥b ，∠l ＝60°，∠2＝40°，则∠3＝______．
15．三⾓形三边长分别为 3，1﹣2a ，8，则 a 的取值范围是 _______．
16．如图，在△ABC 中，∠A=70°，点O 到AB,BC,AC 的距离相等，连接BO ，CO ，则∠BOC=________．
17．若a m =5，a n =6，则a m+n =________．
18．因式分解：3a 2﹣27b 2＝_____．
19．已知16x x +=，则221x x +=______ 20．如图，△ABC 中边AB 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ， AE=3cm
，△ADC?的周长为9cm ，则△ABC 的周长是____ ___
21．已知，关于x 的分式⽅程1235
a b x x x --=+-. （1）当1a =，0b =时，求分式⽅程的解；（2）当1a =时，求b 为何值时分式⽅程1235
a b x x x --=+-⽆解：（3）若3a b =，且a 、b 为正整数，当分式⽅程
1235a b x x x --=+-的解为整数时，求b 的值.
22．先化简再求值：（a +2﹣52
a -）?243a a --，其中a ＝12-． 23．如图，上午8时，⼀艘轮船从A 处出发以每⼩时20海⾥的速度向正北航⾏，10时到达B 处，则轮船在A 处测得灯塔C 在北偏西36°，航⾏到B 处时，⼜测得灯塔C 在北偏西
72°，求从B到灯塔C的距离．
24．如图，已知AB⽐AC长2cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，
△ACD的周长是14cm，求AB和AC的长．
25．如图，点B、E、C、F在同⼀条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，求证：AB∥DE．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
⼀、选择题
1．D
解析：D
【解析】
【分析】
只需要明确⼏个⼏何图形在⼀点进⾏平铺就是⼏个图形与这⼀点相邻的所有内⾓之和等于360°即可。

【详解】
A. 2个正⼋边形和1个正三⾓形：135°+135°+60°=330°，故不符合；
B. 3个正⽅形和2个正三⾓形：90°+90°+90°+60°+60°=390°，故不符合；
C. 1个正五边形和1个正⼗边形：108°+144°=252°，故不符合；
D. 2个正六边形和2个正三⾓形：120°+120°+60°+60°=360°，符合；
本题考查多边形的内⾓，熟练掌握多边形的内⾓的度数是解题关键.
2．C
解析：C 【解析】【分析】
根据⾓平分线的定义和垂直的定义得到∠ABD=∠EBD=1
2
∠ABC=
35
2
，
∠AFB=∠EFB=90°，推出AB=BE，根据等腰三⾓形的性质得到AF=EF，求得AD=ED，得到∠DAF=∠DEF，根据三⾓形的外⾓的性质即可得到结论．
【详解】
∵BD是△ABC的⾓平分线，AE⊥BD，
∴∠ABD=∠EBD=1
2
∠ABC=
35
2
，∠AFB=∠EFB=90°，
∴∠BAF=∠BEF=90°-17.5°，
∴AB=BE，
∴AF=EF，
∴AD=ED，
∴∠DAF=∠DEF，
∵∠BAC=180°-∠ABC-∠C=95°，
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CDE=95°-50°=45°，
故选C．
【点睛】
本题考查了三⾓形的内⾓和，全等三⾓形的判定和性质，三⾓形的外⾓的性质，熟练掌握全等三⾓形的判定和性质是解题的关键．
3．C
【分析】
先分别以点O、点A为圆⼼画圆，圆与x轴的交点就是满⾜条件的点P，再作OA的垂直平分线，与x轴的交点也是满⾜条件的点P，由此即可求得答案.
【详解】
如图，当OA=OP时，可得P1、P2满⾜条件，
当OA=AP时，可得P3满⾜条件，
当AP=OP时，可得P4满⾜条件，
故选C.
【点睛】
本题考查了等腰三⾓形的判定和坐标与图形的性质，正确的分类并画出图形是解题的关键.
4．D
解析：D
【解析】
【详解】
2122m x x x
-=--，去分母，⽅程两边同时乘以(x ﹣2)，得： m +2x =x ﹣2，由分母可知，分式⽅程的增根可能是2．
当x =2时，m +4=2﹣2，m =﹣4，
故选D ．
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据题⽬描述的作图⽅法，可知MN 垂直平分AB ，由垂直平分线的性质可进⾏判断.
【详解】
∵MN 为AB 的垂直平分线，∴AD=BD ，∠BDE=90°；∵∠ACB=90°，∴CD=BD ；∵∠A+∠B=∠B+∠BED=90°，∴∠A=∠BED ；∵∠A≠60°，AC≠AD ，∴EC≠ED ，∴∠ECD≠∠EDC ．故选D ．
本题考查垂直平分线的性质，熟悉尺规作图，根据题⽬描述判断MN 为AB 的垂直平分线是关键.
6．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据左图中阴影部分的⾯积是a 2-b 2，右图中梯形的⾯积是
12（2a+2b ）（a-b ）=（a+b ）（a-b ），利⽤⾯积相等即可解答．
【详解】
∵左图中阴影部分的⾯积是a 2-b 2，右图中梯形的⾯积是
12
（2a+2b ）（a-b ）=（a+b ）（a-b ），
∴a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）．
故选D ．
【点睛】此题主要考查的是平⽅差公式的⼏何表⽰，运⽤不同⽅法表⽰阴影部分⾯积是解题的关键．
7．D
解析：D
【解析】
试题解析：∵（b ﹣c ）（a 2+b 2）=bc 2﹣c 3，
∴（b ﹣c ）（a 2+b 2）﹣c 2（b ﹣c ）=0，
∴（b ﹣c ）（a 2+b 2﹣c 2）=0，
∴b ﹣c=0，a 2+b 2﹣c 2=0，
∴b=c 或a 2+b 2=c 2，
∴△ABC 是等腰三⾓形或直⾓三⾓形．
故选D ．
8．C
解析：C
【解析】
选项A ，235a a a ?=，选项A 错误；选项B ，()()2
236a a a ?= ，选项B 错误；选项C ，()326a a =，选项C 正确；选项D ，624a a a ÷=，选项D 错误.故选C.
9．D
解析：D
【解析】
【分析】分别利⽤过直线外⼀点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上⼀点作这条直线的垂线、⾓平分线的作法分别得出符合题意的答案．
【详解】Ⅰ、过直线外⼀点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；
Ⅲ、过直线上⼀点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；
Ⅳ、作⾓的平分线，观察可知图①符合，
所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，
故选D ．
【点睛】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图⽅法是解题关键．
10．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据等边对等⾓可得∠B＝∠ACB＝50°,再根据三⾓形内⾓和计算出∠A的度数,然后根据三⾓形内⾓与外⾓的关系可得∠BPC ＞∠A , 再因为∠B＝50°，所以∠BPC＜180°－50°＝130°进⽽可得答案.
【详解】
∵AB＝AC，∠B＝50°，
∴∠B＝∠ACB＝50°，
∴∠A＝180°－50°×2＝80°，
∵∠BPC＝∠A＋∠ACP，
∴∠BPC＞∠A，
∴∠BPC＞80°.
∵∠B＝50°，
∴∠BPC＜180°－50°＝130°，
则∠BPC的值可能是100°.
故选C.
【点睛】
此题主要考查了等腰三⾓形的性质,关键是掌握等腰三⾓形两底⾓相等.
11．C
解析：C
【解析】
依题意可得，当其中⼀个夹⾓为180°即四条⽊条构成三⾓形时，任意两螺丝的距离之和取到最⼤值，为夹⾓为180°的两条⽊条的长度之和．因为三⾓形两边之和⼤于第三边，若长度为2和6的两条⽊条的夹⾓调整成180°时，此时三边长为3,4,8，不符合；若长度为2和3的两条⽊条的夹⾓调整成180°时，此时三边长为4,5,6，符合，此时任意两螺丝的距离之和的最⼤值为6；若长度为3和4的两条⽊条的夹⾓调整成180°时，此时三边长为2,6,7，符合，此时任意两螺丝的距离之和的最⼤值为7；若长度为4和6的两条⽊条的夹⾓调整成180°时，此时三边长为2,3,10，不符合．综上可得，任意两螺丝的距离之和的最⼤值为7，故选C
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
【详解】
A、符合全等三⾓形的判定SAS，能作出唯⼀三⾓形；
B 、两个⾓对应相等，夹边确定，如这样的三⾓形可作很多则可以依据ASA 判定全等，因⽽所作三⾓形是唯⼀的；
C 、已知两边和其中⼀边的对⾓对应相等，也不能作出唯⼀三⾓形，如等腰三⾓形底边上的任⼀点与顶点之间的线段两侧的三⾓形；
D 、符合全等三⾓形的判定SSS ，能作出唯⼀三⾓形；
故选C.
【点睛】
本题主要考查由已知条件作三⾓形，可以依据全等三⾓形的判定来做．
⼆、填空题
13．【解析】【分析】先提取公因式然后根据平⽅差公式进⾏分解即可【详解】解：故答案为【点睛】本题考查了提取公因式平⽅差公式法分解因式属于基础题
解析：()()333a a a +-
【解析】
【分析】
先提取公因式，然后根据平⽅差公式进⾏分解即可.
【详解】
解：()
()()3232739333a a a a a a a -=-=+- 故答案为()()333a a a +-.
【点睛】
本题考查了提取公因式、平⽅差公式法分解因式，属于基础题．
14．80°【解析】【分析】根据平⾏线的性质求出∠4再根据三⾓形内⾓和定理计算即可【详
解】∵a∥b∴∠4=∠l=60°∴∠3=180°-∠4-∠2=80°故答案为80°【点睛】本题考查了平⾏线的性质三⾓形
解析：80°．
【解析】
【分析】
根据平⾏线的性质求出∠4，再根据三⾓形内⾓和定理计算即可．
【详解】
∵a ∥b ，
∴∠4=∠l=60°，
∴∠3=180°-∠4-∠2=80°，
故答案为80°．
本题考查了平⾏线的性质、三⾓形内⾓和定理，掌握两直线平⾏，同位⾓相等是解题的关键．
15．﹣5＜a＜﹣2【解析】【分析】根据在三⾓形中任意两边之和⼤于第三边任意两边之差⼩于第三边；即可求a的取值范围再将a的取值范围在数轴上表⽰出来即可【详解】由三⾓形三边关系定理得8-3＜1-2a＜8+3
解析：﹣5＜a＜﹣2．
【解析】
【分析】
根据在三⾓形中任意两边之和⼤于第三边，任意两边之差⼩于第三边；即可求a的取值范围，再将a的取值范围在数轴上表⽰出来即可．
【详解】
由三⾓形三边关系定理得8-3＜1-2a＜8+3，即-5＜a＜-2．
即a的取值范围是-5＜a＜-2．
【点睛】
本题考查的知识点是三⾓形三边关系，在数轴上表⽰不等式的解集，解⼀元⼀次不等式组，解题关键是根据三⾓形三边关系定理列出不等式.
16．125°【解析】【分析】根据⾓平分线性质推出O为△ABC三⾓平分线的交点根据三⾓形内⾓和定理求出∠ABC+∠ACB根据⾓平分线定义求出∠OBC+∠OCB 即可求出答案【详解】：∵点O到ABBCAC的距
解析：125°
【解析】
【分析】
根据⾓平分线性质推出O为△ABC三⾓平分线的交点，根据三⾓形内⾓和定理求出
∠ABC+∠ACB，根据⾓平分线定义求出∠OBC+∠OCB，即可求出答案．
【详解】
：∵点O到AB、BC、AC的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴
1
2
OBC ABC
∠=∠，
1
2
OCB ACB
∠=∠，
∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，
∴
11055
2
OBC OCB
∠+∠=??=?，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°；
故答案为：125．
【点睛】
本题主要考查平分线的性质，三⾓形内⾓和定理的应⽤，能求出∠OBC+∠OCB的度数是解此题的关键．
17．【解析】【分析】根据同底数幂乘法性质am·an=am+n即可解题【详解】解：am+n=am·an=5×6=30【点睛】本题考查了同底数幂乘法计算属于简单题熟悉法则是解题关键
解析：【解析】
【分析】
根据同底数幂乘法性质a m·a n=a m+n,即可解题.
【详解】
解：a m+n= a m·a n=5×6=30.
【点睛】
本题考查了同底数幂乘法计算,属于简单题,熟悉法则是解题关键.
18．3（a+3b）（a﹣3b）【解析】【分析】先提取公因式3然后再利⽤平⽅差公式进⼀步分解因式【详解】3a2-27b2=3（a2-9b2）=3（a+3b）（a-
3b）【点睛】本题考查了提公因式法和公式法
解析：3（a+3b）（a﹣3b）．
【解析】
【分析】
先提取公因式3，然后再利⽤平⽅差公式进⼀步分解因式．
【详解】
3a2-27b2，
=3（a2-9b2），
=3（a+3b）（a-3b）．
【点睛】
本题考查了提公因式法和公式法进⾏因式分解，⼀个多项式有公因式⾸先提取公因式，然后再⽤其他⽅法进⾏因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为⽌．
19．34【解析】∵∴=故答案为34
解析：34
【解析】
∵
1
6
x
x
+=，∴2
2
1
x
x
+=
2
2
1
26236234
x
x
+-=-=-=
，
故答案为34.
20．15cm【解析】【分析】【详解】在△ABC中边AB的垂直平分线分别交BCAB 于点DEAE=3cmAE=BEAD=BD△ADC 的周长为9cm即AC+CD+AD=9则△ABC的周长=AB+BC+AC=
解析：15cm
【解析】
【分析】
【详解】
在△ABC 中，边AB 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，
AE=3cm ，AE=BE ，AD=BD ，
△ADC?的周长为9cm ，
即AC+CD+AD=9，
则△ABC 的周长=AB+BC+AC=AE+BE+BD+CD+AC=AE+BE+AD+CD+AC=6+9=15cm
【点睛】
本题考查垂直平分线，解答本题的关键是掌握垂直平分线的概念和性质，运⽤其来解答本题
三、解答题
21．（1）1011x =-
；（2）5b =或112；（3）3,29,55,185b = 【解析】
【分析】
（1）将a ，b 的值代⼊⽅程得
11235x x x +=+-，解出这个⽅程，最后进⾏检验即可；（2）把1a =代⼊⽅程得11235
b x x x --=+-，分式⽅程去分母转化为整式⽅程为(112)310b x b -=-，由分式⽅程有增根，得11-2b=0，或230x +=（不存在），或50x -=求出b 的值即可；
（3）把3a b =代⼊原⽅程得
31235
b b x x x --=+-，将分式⽅程化为整式⽅程求出x 的表达式，再根据x 是正整数求出b ，然后进⾏检验即可．
【详解】（1）当1a =，0b =时，分式⽅程为：
11235x x x +=+- 解得：1011
x =- 经检验：1011
x =-时是原⽅程的解（2）解：当1a =时，分式⽅程为：
11235b x x x --=+- (112)310b x b -=-
①若1120b -=，即112b =时，有：1302
x ?=，此⽅程⽆解
②若1120b -≠，即112b ≠
时，则若230x +=，即310230112b b
-?+=-，663320b b -=-，不成⽴若50x -=，即31050112b b
--=-，解得5b = ∴综上所述，5b =或112
时，原⽅程⽆解（3）解：当3a b =时，分式⽅程为：31235
b b x x x --=+- 即(10)1815b x b +=-
∵,a b 是正整数
∴100b +≠ ∴181510b x b
-=
+ 即1951810x b
=-+ ⼜∵,a b 是正整数，x 是整数. ∴3,5,29,55,185b =
经检验，当5b =时，5x =（不符合题意，舍去）
∴3,29,55,185b =
【点睛】
此题考查了解分式⽅程，解分式⽅程的基本思想是“转化思想”，把分式⽅程转化为整式⽅程求解．解分式⽅程⼀定注意要验根．
22．﹣2a ﹣6，－5
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利⽤同分母分式的减法法则计算，然后约分得到最简结果，再把a 的值代⼊计算即可．
【详解】
解：（a +2﹣
52a -）?243a a -- ＝(2)(2)52(2)×223-a a a a a a +--??-??--??
＝(3)(3)2(2)×23-a a a a a +---??
＝﹣2a ﹣6，
当a＝
1
2
时，原式=﹣2a﹣6=﹣5．
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解本题的关键．
23．从B到灯塔C的距离40海⾥
【解析】
【分析】
易得AB长为40海⾥，利⽤三⾓形的外⾓知识可得△ABC为等腰三⾓形，那么BC=AB．【详解】
解：由题意得：AB=（10-8）×20=40海⾥，
∵∠C=72°-∠A=36°=∠A，
∴BC=AB=40海⾥．
答：从B到灯塔C的距离为40海⾥．
【点睛】
考查⽅向⾓问题；利⽤外⾓知识判断出△ABC的形状是解决本题的突破点．
24．AB=9cm，AC=6cm.
【解析】
根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得CD=BD，然后求出△ACD的周长＝AB+AC,再解关于AC、AB的⼆元⼀次⽅程组即可.
解：∵DE垂直平分BC，
∴BD=DC，
∵AB=AD+BD，
∴AB=AD+DC.
∵△ADC的周长为15cm，
∴AD+DC+AC=15cm，
∴AB+AC=15cm.
∵AB⽐AC长3cm，
∴AB-AC=3cm.
∴AB=9cm，AC=6cm.
25．详见解析.
【解析】
【分析】
利⽤SSS证明△ABC≌△DEF，根据全等三⾓形的性质可得∠B=∠DEF，再由平⾏线的判定即可得AB∥DE．【详解】
证明：由BE＝CF可得BC＝EF，
⼜AB＝DE，AC＝DF，
故△ABC≌△DEF（SSS），
则∠B=∠DEF，
∴AB∥DE．
考点：全等三⾓形的判定与性质.。