东华大学概率论与数理统计_期末考试真题_东华大学

1、已知袋中有1个蓝球、2个红球、3个黑球、4个白球，从中不返回的取球，一次一个。

则第一、二次都是红球的概率是 。

2、已知三个随机变量ζηξ,,中，0,1,1,1=++===-===ηζξζξηρρρζηξζηξD D D E E E 。

令
ζηξκ++=，则=κE ；=κD 。

3、已知ξ服从参数为λ的泊松分布，且32=+ξξE E ，则=λ 。

4、已知()4,1~N ξ，()41,,ξξ 是其样本，则()
=≤1ξP （计算到可查表为止）。

5、作5次独立试验，且()3
1
=
A P ，已知5次中事件A 至少有1次不发生，则A 发生3次的概率为 。

二、计算（每题8分，共5题）
1、一实习生用同一台机器制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率为()3,2,111
=+=i i
p i 。

用ξ表示3个零件中合格品的个数，求ξ的概率分布率。

2、已知()ηξ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧<<<=其他,
01
0,8,x y xy y x f ，试求ξ的边缘密度函数。

3、某人打靶，得10分的概率为0.3，得9分的概率为0.4，得8分的概率为0.3。

现射击100次，求总分多于900的概率（计算到可查表为止）。

4、已知m n +ξξ,,1 是取自总体()
2
,0σN 的容量为m n +的样本，设
∑++==
m
n n i i m 1
1
ξξ，()
∑∑++==-=m n n i i
n
i i
C 1
2
12ξ
ξ
ξ
η。

已知η服从()21,n n F 。

求C 以及21n n +。

5、自动包装机装包的每包重量服从正态分布()
2
,σμN 。

据以往资料，4.2=σ，现在经过一段时间使用后，
随机的抽查9包，观察得3,100==s x ，在显著性水平05.0=α下，问方差有无显著差异。

三、（15分）
已知ηξ,相互独立，且ξ为[]3,0上的均匀分布，η服从参数0>λ的指数分布。

已知()1=+ηξD 。

1、求()ηξ,的联合密度函数()y x f ,；2、()ηξ≤P ；3、求ηξζ+=的密度函数()z f ζ。

四、（16分）
设总体()
2,0~σξN ，2σ有限且大于0，()n ξξ,,1 是其样本，2
S 是样本方差。

1、求2σ的极大似然估计2ˆσ
；2、上一问中的2ˆσ与2
S 哪个更有效？ 3、设()n n ξξθ,,1 是未知参数θ的一个估计量，若对任意的0>ε，有()
1lim =<-∞
→εθθn n P ，则我们称n
θ是θ的一致估计量。

试用切比雪夫不等式证明：2ˆσ
是2
σ的一致估计。

五、（4分）
假设对于随机变量ηξ,，有2
3,1,0=====ξηρηξηξD D E E ，试证明{}
5.1,max 2
2≤ηξE 。

1、若()()()5.0,4.0,3.0===B A P B P A P ，则()
=B A B P 。

2、已知ξ服从参数为λ的指数分布，且32=+ξξE E ，则=λ 。

3、已知随机变量()1,0~N ξ，令2ξη=，则()=ηξ,cov 。

4、已知()4,1~N ξ，()41,,ξξ 是其样本，则()()
=≤11ξP 。

5、已知()1,0~N ξ，61,,ξξ 为其样本，且()()()
2
64225313
1ξξξξξξη+++++=
b a 服从()
c 2χ，则 =++c b a 。

6、已知()n t ~ξ，当2>n 时，有2
,0-=
=n n
D E ξξ。

则若()3,1~F η，那么()=ηE 。

二、（8分）已知()ηξ,的联合密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧>=+-其他,
00
,e π1,225.0xy y x f y x ，试求ξ的边缘密度函数。

三、（8分）一个盒子中有2个正品，8个次品，有放回的连续随机的从中抽取，直到取到次品为止。

设此时取到的正品数为ξ，求ξ的分布率以及ξE 。

四、（8分）已知某厂生产一大批电器元件，其不合格率为6
1
=p ，某商店从该厂任意选购6000个这种元件。

试问在这6000个元件中，不合格品的比例与
6
1
的差介于01.0±之间的概率是多少（计算到可查表为止）。

五、（8分）某种矿砂的9个样品中镍含量经测定（％），其01.0,26.3==s x 。

假设测定值总体服从正态分布，问在01.0=α下能否接受假设：这批矿砂的镍含量平均值为3.25。

六、（16分）已知ηξ,独立同分布，其概率密度函数为：()()+∞<<∞-=-x a x f x
e 。

1、求a ；
2、求ξ的分布；
3、求ηξ+的密度函数。

七、（16分）设[]θξ,0~U ，()n ξξ,,1 是其样本，()n x x ,,1 是其观察值。

1、求θ的矩估计量θˆ和极大似然估计量L θˆ；
2、求θˆE 和L E θˆ以及()
θˆD 和()
L
D θˆ； 3、θˆ和L θˆ之间能否比较有效性？如可以，哪个更有效？如不可以，说明理由。

八、（6分）请用一个例子说明如下两个等式： ()()1=+A B P A B P ，()()
1=+A B P A B P 均不正确。

1、若()()8.0,6.0==B A P A P ，且B A ,相互独立，则()
=B P 。

2、已知()p N B ,~ξ，且5.1,3==ξξD E ，则=N ，=p 。

3、连续扔n 次硬币，以ηξ,分别表示正面和反面的次数，则()=ηξρ, 。

4、已知随机变量ξ是服从[]1,0的均匀分布，1.0=α，则ξ的α分位数等于 。

二、选择（共4题，每题4分）
1、已知ξ的分布函数()()⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-<≤<=--1,e 110,5.00,
01x x x x F x αξ，则α的取值为（ ）。

(A) [)5.0,0∈α； (B) 5.0=α； (C) (]1,5.0∈α； (D) []5.0,0∈α； (E) []1,5.0∈α。

2、在假设检验中，若样本容量保持不变，则当发生第一类错误的概率变小时，发生第二类错误的概率将（ ）。

(A) 不变； (B) 变大； (C) 变小； (D) 无法确定。

3、已知()()4,1~,1,1~N N ηξ，0>a 我常数，且()5.01=<-a P ξ。

则()
=<-a P 21η（ ）。

(A) 25.0； (B) 5.0； (C) 75.0； (D) 1。

4、有如下四个命题：
⑴ 若()n t T ~，则()n F T ,1~2
； ⑵ 若()1,0~N ξ，则()
22,~b a b a N b a +++ξ； ⑶ 若()()1,0~,1,0~N N ηξ，则()2~2
22χηξ+； ⑷ 若()()1,0~,1,0~N N ηξ，则()1~/t ηξ。

则以上命题正确的是（ ）。

(A) 仅⑴、⑵； (B) 仅⑴、⑶； (C) 仅⑴、⑶、⑷； (D) 全对； (E) (A)(B)(C)(D)都不对。

三、（10分）袋中有a 个白球、b 个黑球，从袋中随机抽取一球，看颜色后放回，再放入r 个相同颜色的球，这是第一步。

重复上面的步骤。

求第二次取出白球的概率、以及第二次取到白球第三次取到黑球的概率。

四、（10分）已知()ηξ,的联合密度函数为：()()()
⎩
⎨⎧<++-=其他,01,1,2222y x y x a y x f ，
试求a 及ξ的边缘密度函数。

五、（10分）已知某种产品的次品率为%1，随机抽取10000件这种产品。

令事件=A {次品数介于109~91}。

请用切比雪夫不等式估计()A P 、并用中心极限定理计算()A P （计算到可查表为止）。

六、（8分）一种元件要求其使用寿命不低于1000小时。

现从某批元件中抽取25件，测得其平均寿命为950小时。

已知该种元件寿命服从标准差为100的正态分布。

试在显著水平01.0=α下确定这批元件是否合格？（提示：检验假设1000:1<μH ）
七、（15分）在长为1的线段上随机的任取两点，设为21,ξξ。

⑴ 求21ξξ+的密度函数； ⑵ 求21ξξ-E ； ⑶ 求022
212=++ξξx x 有实根的概率。

八、（15分）设总体ξ的密度函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧>=--其他,
0,e
1/αββ
αx x f x ，其中R ∈>αβ,0。

()n ξξ,,1 是其样本，
()n x x ,,1 是其观察值。

⑴ 求βα,的矩估计量m m βαˆ,ˆ； ⑵ 求βα,极大似然估计量L
L βαˆ,ˆ； ⑶ 求L m E E ααˆ,ˆ。

1、口袋中有a 个白球、b 个黑球、c 个红球，随机的一个一个拿出。

则第k 次拿到红球的概率为 。

2、若()()
8.0,9.0==C B P A P ，且B A ⊃，则()=-BC A P 。

3、已知()()0π~>λλξ，且()()21===ξξP P ，则()=≥1ξP 。

4、已知[]()()3
3
,,1,0~,1,0~=
ηξρηξN U ，则()=+ηξ2E ，()=-ηξ2D 。

5、已知()1,10,113~2=<<ααχξu ，则()=1132
αχ 。

6、已知()n ξξ,,1 为总体()4,~μξN 的样本，ξ为样本均值，已知1.0≤-μξE 。

则样本容量n 应不小于 。

二、（10分）已知()ηξ,的联合密度函数为：()()⎪⎩⎪⎨
⎧>>=+-其他
,
00
,0,e ,2
2
y x axy y x f y x
试求a 及ξ的边缘密度函数。

三、（8分）总体()
2,~σμξN ，其中μ已知。

()n ξξ,,1 为其样本，()n x x ,,1 为其观察值。

求2
σ的矩估
和极大似然估计量。

四、（8分）设随机变量ηξ,独立同分布，都在[]3,1上服从均匀分布，令事件{}{}a B a A >=≤=ηξ,，已知()7=B A P ，求a 。

五、（10分）设ηξ,独立同分布，分布为：()() ,3,2,1,21
=====n n P n P n
ηξ
⑴ 求ξζ21=的分布律； ⑵ 求ηξζ+=2的分布律。

六、（10分）设总体ξ的密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧>⎪⎭
⎫
⎝⎛-=其他,
00
,exp 1x x x f λλ，其中0>λ。

()21,ξξ是其样本，()21,x x 是其观察值。

现检验如下假设：2:,1:10==λλH H ，其拒绝域为(){}
10ln ,10ln ,2121>>=x x x x W 。

试求：发生第一类错误的概率α、以及第二类错误的概率β。

七、（15分）已知随机变量ηξ,独立同分布，其分布为[]1,0上的均匀分布。

⑴ 求()ηξηξ+-,cov ； ⑵ 求ξηζ=的密度函数（提示：通过分布函数()z F ζ求密度函数）；
⑶ 求12
2≤+ηξ的概率。

八、（15分）设一个家庭中有n 个小孩的概率为⎪⎩⎪⎨⎧=--≥=0,111,n p
ap n ap p n n ，这里p p
a p -<<<<10,10。

若认为生一个小孩为男孩或女孩是等可能的。

⑴ 证明：一个家庭有()1≥k k 个男孩的概率为()1
22+-k k
p ap ；
⑵ 已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率；。