吉林省长春市普通高中2017届高三质量监测(一)数学(理)试题(解析版)

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.复数22cos sin 33
z i ππ=+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】B
考点：复数几何意义
【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数
相关基本概念，如复数(,)+∈a bi a b R 的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi
2.已知集合{|(2)(3)0}A x x x =+-<，则A N （N 为自然数集）为（ ） A ．(,2)
(3,)-∞-+∞ B ．(2,3) C ．{0,1,2} D ．{1,2} 【答案】C
【解析】
试题分析：由已知{}|23A x x =-<<，则{}0,1,2A
N =，故选C.
考点：集合运算.
【易错点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.
(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为
不满足“互异性”而导致解题错误.
(3)防范空集.在解决有关A ∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.
3.ABC ∆是边长为1的等比三角形，已知向量,a b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ）
A ．||2b =
B ．a b ⊥
C ．12a b ∙=
D ．1()4
a b BC +⊥ 【答案】D
考点：平面向量数量积运算.
【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a ·b ＝|a ||b |cos θ；二是坐标公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
4.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）
A ．164石
B ．178石
C ．189石
D ．196石
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知，抽得样本中含谷27粒，占样本的比例为271=2168，则由此估计总体中谷的含量约为11512=1898
⨯石. 故选C. 考点：抽样中的用样本去估计总体.
5.命题：“00x ∃>，使002()1x
x a ->”，这个命题的否定是（ ）
A ．0x ∀>，使2()1x x a ->
B ．0x ∀>，使2()1x x a -≤
C ．0x ∀≤，使2()1x x a -≤
D ．0x ∀≤，使2()1x x a ->
【答案】B
6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则M 处条件可以是（ ）
A ．32k >
B ．16k ≥
C ．32k ≥
D ．16k <
【答案】C
【解析】
试题分析：由已知，1,0k s ==，1,2s s k k =+==，3,4s k ==，7,8s k ==，15,16s k ==，31,32s k ==，符合条件输出，故选C.
考点：直到型循环结构程序框图运算.
【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
7.已知递减等差数列{}n a 中，31a =-，146,,a a a -成等比，若n S 为数列{}n a 的前n 项和，则7S 的值为（ ）
A ．-14
B ．-9
C ．-5
D ．-1
【答案】A
考点：等差数列和等比数列的基本量的求取
8.某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（ ）
A ．342π+
B ．63π+
C ．362π+
D ．3122
π+
【答案】C
【解析】 试题分析：由题意，此模型为柱体，底面大小等于主视图面积大小，即几何体体积为
211(122)322
V π=⋅+⨯⨯⨯，故选C. 考点：三视图
【名师点睛】三视图问题的常见类型及解题策略
(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．
(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．
(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合
空间想象将三视图还原为实物图．
9.已知原点到直线l 的距离为1，圆22(2)(4x y -+-=与直线l 相切，则满足条件的直线l 有多少条？
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
【答案】C
考点：相离两圆的公切线
10.“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当他醒来后看到乌龟已经领先了，因此他用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程一时间图象（ ）
【答案】D
【解析】
试题分析：由故事内容不难看出，最终由乌龟先到达终点，故选D.
考点：函数图像
【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.
(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.
11.双曲线2
2
21y x b -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，且1||8PF =，120PF PF ∙=，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A ．y =±
B ．y =±
C ．5y x =±
D ．34
y x =±
【答案】B
考点：双曲线的定义及渐近线
12.已知实数,a b 满足ln(1)30b a b ++-=，实数,c d 满足20d c -+=，则22()()a c b d -+-的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】A
【解析】
试题分析：因为ln(1)+30b a b +-=，则=3ln(1)a b b -+，即3ln(1)y x x =-+因为20d c -=，则
2c d =+2y x =+要求取的表达式的本质就是曲线上的点到直线距离的最小值. 因为132311
x y x x +'=-=++，则2y '=，有0x =，0y =，即过原点的切线方程为2y x =. 最短距离为
1d ==. 故选A.
考点：导数的几何意义
【思路点睛】利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.261()2x x
-
展开式中的常数项是 . 【答案】1516 【解析】 试题分析：常数项为422456115()()216
T C x x =-=. 考点：二项展开式系数
【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.
14.动点(,)P x y 满足20030x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩
，则2z x y =+的最小值为 .
【答案】3
考点：线性规划
【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
15.已知三棱锥S ABC -，满足,,SA SB SC 两两垂直，且2SA SB SC ===，Q 是三棱锥S ABC -外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为 .
【解析】
试题分析：由已知，可将三棱锥S ABC -放入正方体中，其长宽高分别为2，则到面ABC 距离最大的点应该在过球心且和面ABC 垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，
则2r =. 则到面ABC
距离的最大值为222)33r =
=（. 考点：三棱锥的外接球 【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P ，A ，B ，C 构成的三条线段PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R 2＝a 2＋b 2＋c 2
求解．
16.如图，直角ABC ∆中，1,2AB BC ==，90ABC ∠=，作ABC ∆的内接正方形1BEFB ，再做1B FC ∆的内接正方形1112B E F B ，…，依次下去，所有正方形的面积依次构成数列{}n a ，其前n 项和为 .
【答案】])9
4(1[54n n S -=
考点：归纳推理
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知2()cos sin f x x x x =+
. （1）求()f x 的单调增区间；
（2）在ABC ∆中，A 为锐角且()f A =，3AB AC AD +=uu u r uuu r uuu r ，AB =，2AD =，求sin BAD ∠.
【答案】（1）5[,]1212k k ππππ-
+，k ∈Z .（2 【解析】
试题分析：（1）由二倍角公式及配角公式将函数化为基本三角函数：
1()sin 2cos 2)2f x x x =+sin(2)3x π=-，再根据正弦函数性质求函数单调区间（2）先根据
()f A =得sin(2)3A π-=A 范围得3A π=；由3AB AC AD +=uu u r uuu r uuu r 平方可得AC ，3AB AC AD +=uu u r uuu r uuu r 可得BC 边上中线长AM=3，由余弦定理可得BC ，最后在三角形ABM 中根据余弦定理得cos BAD ∠，即得sin BAD ∠
试题解析：(1) 由题可知1()sin 2cos 2)2f x x x =
-++sin(2)3x π=-， 令222232k x k πππππ-
-+≤≤，k ∈Z ，即函数()f x 的单调递增区间为5[,]1212
k k ππππ-+，k ∈Z . （6分）
考点：三角函数的化简以及恒等变换公式，正弦定理
【思路点睛】 三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等
18.（本小题满分12分）
某人种植一种经济作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg ，已知当年产量低于350kg 时，单位售价为20元/kg ，若当年产量不低于350kg 而低于550时，单位售价为15元/kg ，当年产量不低于550kg 时，单位售价为10元/kg .
（1）求图中,a b 的值；
（2）试估计年销售额的期望是多少？
【答案】（1）⎩
⎨⎧==0035.0001.0b a （2）6525
当年产量为kg 600时，其年销售额为6000元； 则估计年销售额的期望为
652515.0600035.075004.060001.06000=⨯+⨯+⨯+⨯（元）.（12分） 考点：频率分布直方图，数学期望
【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
19.（本小题满分12分）
已知四棱锥P ABCD -中，底面为矩形，PA ⊥底面ABCD ，1PA BC ==，2AB =，M 为PC 上一点，且BP ⊥平面ADM .
（1）求PM 的长度；
（2）求MD 与平面ABP 所成角的余弦值.
【答案】（1）56（2）3
5cos =θ
考点：利用空间向量求线段长度及线面角
【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
20.（本小题满分12分）
以边长为4的等比三角形ABC 的顶点A 以及BC 边的中点D 为左、右焦点的椭圆过,B C 两点.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过点D 且x 轴不垂直的直线l 交椭圆于,M N 两点，求证直线BM 与CN 的交点在一条直线上.
【答案】（1）22
196
x y +=（2
）x =
(2) ① 当MN 不与x 轴重合时，
设MN
的方程为x my =+
B
，2)C -
联立椭圆与直线
MN 2223180x y x my ⎧+-=⎪⎨=+⎪⎩消去x
可得22(23)120m y ++-=
，即12y y +=1221223y y m -=+ 设11(,)M x y ，22(,)N x y
则BM
：2y x -= ① CN
：2y x += ②
考点：直线和椭圆的位置关系及定值
【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
21.（本小题满分12分）
已知函数2()3f x x ax =+-，ln ()k x g x x
=
，当2a =时，()f x 与()g x 的图象在1x =处的切线相同. （1）求k 的值；
（2）令()()()F x f x g x =-，若()F x 存在零点，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）4（2）2a ≤
(2) 因为()()()F x f x g x =-有零点 所以24ln ()30x F x x ax x
=+--= 即324ln 3x x x a x
-+=有实根. 令3224ln 34ln 3()x x x x h x x x x x
-+==-+ 342348ln 348ln 3()1x x x x x x h x x x x
----'=--= 令3()48ln 3x x x x ϕ=--- 则28()330x x x
ϕ'=---<恒成立，而(1)0ϕ=， 所以当1x >时，()0x ϕ<，当(0,1)x ∈时，()0x ϕ>.
所以当1x >时，()0h x '<，当(0,1)x ∈时，()0h x '>.
故()h x 在(1,)+∞上为减函数，在(0,1)上为增函数，即max (1)2h h ==.
当x →+∞时，()h x →-∞，当0x +→时，()h x →-∞.
根据函数的大致图像可知2a ≤. （12分）
考点：导数几何意义，利用导数求函数值域
【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，F 为圆O 上一点，点A 在直线BD 的延长线上，过点B 作圆O 的切线交AE 的延长线于点C ，CE CB =.
（1）证明：2
AE AD AB =∙；
（2）若4,6AE CB ==，求圆O 的半径.
【答案】（1）详见解析（2）3
因为CE BC =，所以222AB BC AC +=，即222)(6)64(DB AD ++=+
2)(36100DB AD ++=，则8=+BD AD ，故6,2==BD AD ，
所以半径是3.（10分）
考点：三角形相似
【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路
(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．
2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线1C 的参数方程为2cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩
（θ为参数）. （1）求曲线1C 的直角坐标方程；
（2）曲线2C 的极坐标方程为()6R π
θρ=∈，求1C 与2C 的公共点的极坐标.
【答案】（1）x y 3
3=（2）)6,3(π
因为⎪⎩
⎪⎨⎧=+-=1)2(3322y x x y ，有034342=+-x x ，则23,23==y x ， 故交点的极坐标为)6,3(π
（10分）
考点：参数方程化为普通方程，直角坐标方程与极坐标方程互化
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()|1|2|1|f x x x =--+的最大值为k .
（1）求k 的值；
（2）若,,a b c R ∈，22
22
a c
b k ++=，求()b a
c +的最大值. 【答案】（1）2（2）2
(2)由已知22
22
2=++b c a ，有4)()(2222=+++c b b a ， 因为ab b a 222≥+（当b a =取等号），bc c b 222≥+（当c b =取等号），
所以)(24)()(2222bc ab c b b a +≥=+++，即2≤+bc ab ，
故[]2)(max =+c a b （10分）
考点：绝对值定义，利用基本不等式求最值
【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
：。