附录矢量与张量运算

附录 矢量与张量运算
1标量﹑矢量与张量
1.1基本概念
在本书中所涉及的物理量可分为标量、矢量和张量。

我们非常熟悉标量，它是在空间没有取向的物理量，只有一个数就可以表示其状态。

例如质量、压强、密度、温度等都是标量。

矢量则是在空间有一定取向的物理量，它既有大小、又有方向。

在三维空间中，需要三个数来表示，即矢量有三个分量。

考虑直角坐标右手系，三个坐标轴分别以1、2和3表示，、2和3分别表示1、2和3方向的单位矢量。

如果矢量a 的三个分量分别为a 1、、a 2、a 3，则可以表示为
也可以用以下符号表示 a =(a 1,a 2,a 3)
矢量a 的大小以a 表示
a =(a 12+a 22+a 32)1/2
我们还会遇到张量的概念，可将标量看作零阶张量，矢量看作一阶张量，在此将主要讨论二阶张量的定义。

二阶张量w 有9个分量，用w ij 表示。

张量w 可用矩阵的形式来表示：
w 其中下标相同的元素称为对角元素，下标不同的元素称为非对角元素。

若w ij =w ji ，则称为对称张量。

如果将行和列互
相交换就组成张量w 的转置张量，记作w T ,则
w T =
显然，若w 是对称张量，则有w =w T 。

另外，如果w T =-w ，w 被称为反对称张量，同时有w ij =-w ji 。

任何一个二阶张量都可以写成两部分之和，一部分为对称张量，另一部分为反对称张量。

w =(w +w T )+ (w -w T )
单位张量是对角分量皆为1，非对角分量皆为0的张量
是最简单的对称张量。

张量对角分量之和称为张量的迹
t r w =
张量的迹是标量，如果张量的迹为零，称此张量为无迹张量。

1.2基本运算
1.2.1矢量加法与乘法运算
在几何上，矢量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

如图附-1所示，减法为加法的逆运算。

1e e e a 332211e e e a a a a ++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3332
31232221131211w w w w w w w w w ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3323
13
322212312111w w w w w w w w w 2121
δ⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=100010001δδ
∑i
ii
w
图附-1 矢量加减法
在解析上，矢量加法（减法）为对应分量之和（差）。

A +
B =
矢量的加法满足下列运算规律：
（1） （1） 交换律 A +B =B +A （2） （2） 结合律 （A +B ）+C =A +（B +C ） （3） （3） 零矢量的特征 A +0=0+A =A （4） （4） -A 的特征 A +（-A ）=（-A ）+A =0
一标量与一矢量的乘积仍为一矢量，其方向不变，只是大小作相应改变。

c A =c
两个矢量点乘，结果为一标量，称为标量积，定义如下：
=cos
其中为矢量A 、B 的夹角。

单位矢量之间的标量积有特别重要的意义，用下式表示
称为克罗内克（kroneker ）符号。

因此，两矢量点乘运算如下：
即两矢量点乘的结果为两矢量对应分量（值）乘积之和。

显然，点乘有交换律：
两个矢量叉乘，结果为一矢量，称为矢量积，定义如下：
C =A B
矢量C 的大小为C =ABsin ，其中为矢量A 、B 的夹角 ，C 的方向垂直于A 、B 两矢量所决定的平面，指向由右手定则确定，如图附-2所示。

因此，矢量叉乘不满足交换律，
A B =-（B A ）
图附-2 矢量叉乘
单位矢量、的矢量积在方向上得分量为：
由此引入交错单位张量（altermating unit tens o r ）εij k
εij k =
)
(i i i
i i i
i i i
i
B A B A +=+∑∑∑e e e
)
(i i i i I
i
cA A ∑∑=e e
B A ⋅AB αα=⋅=j i ij e e δ⎩⎨⎧≠=j i j i ,
0,1ij
δi
i
i j
i i
j
ij j i i
j
j i j j
j i i
i B A B A B A B A ∑∑∑∑∑∑∑==⋅=⋅=⋅δ)()()(e e e e B A A B B A ⋅=⋅⨯αα⨯⨯e
j
e
k
e
j
k
e ⨯e
i
⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+=⨯⋅任两个相同时和当，时
或，即不等但不按顺序排列，当，时或不等且按顺序排列，即
当k j i ijk k j i ijk k j i k j i ,0132213321,,1312231,123,,,1e e e ⎪⎩
⎪
⎨⎧=-=+中任两个相同、、当或，当或，
当k j i ijk ijk ,0132213321
,1312231123,1
因此，叉乘运算可表示为
利用上述结果，标量三重积的运算如下：
介绍两个十分有用的关系式
利用上面的运算方法及关系式，可以证明以下几个常用的矢量恒等式：
=
1.2.2矢量的微分运算
矢量的微分运算符在直角坐标系中定义为
称为哈密顿算符或那勃拉算符。

应该强调指出，这个算符是一个混合物，它必须遵守处理矢量的规则和偏微分规则这两者。

而且它只作为一个算符，不能单独使用，必须作用于一个标量或矢量来运算。

哈密顿算符可以直接参加运算，要遵守如下规则：
（1） （1） 用“”代替“”； （2） （2） 进行通常的微分运算； （3） （3） 进行向量运算； （4） （4） 整理成
的形式；
（5）
（5） 用“”代替。

例：试证明
证明：
3
2
1
321
3
2
1
)())(B B B A A A B A B A B A B A k
j i i
j
k
ijk j i k i
j
k
ijk j
i j i
j
i j j
i i i
i e e e e e e e e e B A ===⨯=⨯=⨯∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑εε)(C B A ⨯⋅()()3
2
1
321
321C C C B B B A A A C B A A i
i
j
k
k
j i ijk i i ==⨯=⨯⋅∑∑∑∑εC B C B A ∑∑∑-==k
jm
in jn im mnk ijk
j
k
ih
hjk ijk
δδδδεε
δεε
2)(C B A ⨯⋅)(A C B ⨯⋅)B A C C A B C B A ⋅-⋅=⨯⨯()()()(C B D A D B C A D)C B A ⋅⋅-⋅⋅=⨯⋅⨯)(())((()D C B A C D B A D C B A )()()()⋅⨯-⋅⨯=⨯⨯⨯(∇∑∂∂
=∂∂+∂∂+∂∂=∇i
i i x x x x e e e e 332211
∑∂∂i i
i
x e ∇∑∂∂i
i
i
x e
∇)()(b a a b b a ⨯∇⋅-⨯∇⋅=⨯⋅∇()
我们还会遇到一种特殊微分2A ，称为 2=为拉普拉斯算符：
算符2作用于矢量A
2A =2
即对各分量求导，并作矢量加和。

1.2.3三阶张量的加法与乘法
首先，引入并矢的概念。

由两个矢量A 和B 组成的并矢量是一个二阶张量，其分量是两矢量的分量之积
那么，对于单位矢量e 1、e 2 、e 3，由两个组成的并矢量 则有9个，分别是
……
利用单位并矢量，我们可以将张量
写成如下形式：
1.2.3.1张量的减法
两个张量相加（减），前提必须是阶数相同的张量，其和（差）仍为一张量，该张量的分量为两张量对应分量之和（差）。

上述定义可以推广到多个张量相加减，由定义可知，张量的加法服从交换律和结合律。

1.2.3.2标量与张量相乘
一标量与一张量相乘等于用该标量去乘张量的每一个分量，其结果仍为一张量。

s
s s
∑∑∑∑∑∑∂∂⨯-∂∂⨯⋅=⎥
⎦⎤
⎢⎣
⎡∂∂⨯⋅-∂∂⨯⋅=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡⨯∂∂⋅-⨯∂∂⋅=⎥
⎦⎤
⎢⎣⎡∂∂⨯+⨯∂∂⋅=⨯∂∂
⋅
=⨯⋅∇i i i i i i i i i i i i i i i i i i
i i i
i
i x x x x x x x x x )
()()(()()()()()(b
e a a e b b e a a e b a b
e b a e b a b a e b a e b a )(b a a b ⨯∇⋅-⨯∇⋅=()∇∇∇∇⋅∑∑∑∑∑∑∑∂∂=∂∂∂=∂∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∇⋅∇=∇i i
j i i
j
ij
j i j
i j i j
j j i i i x x x x x x x 2
2
22
2
)(δe e e e ∇∇∇3
32211)(A A A A A i i
i i i
i 2222∇+∇+∇=∇=⋅∑∑e e e e e ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=332
31
332221
231211
1B A B A B A B A B A B A B A B A B A AB ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0000000011e e 1⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=00000001021e e ⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=10000000033e e τij
j τe e τ∑∑=i
j
i )
(ij ij j i j i ij j i j i ij j i j i τστσ±=±=±∑∑∑∑∑∑e e e e e e τσ=τ(
)(j i
j
i ij j i
j
i e e e e ∑∑∑∑=τ)
ij τ
1.2.3.2矢量和张量点乘
一矢量对一张量的点积为一矢量
也就是说矢量的第k 个分量为
用同样的运算可以得到张量对矢量的点积，
若为对称张量，则有，否则。

由上述定义可知，矢量和张量的点乘服从分配律
A
A A (A +
B )=A +B
1.2.3.4 张量与张量点乘
两张量的点乘分为单乘和双点乘两种。

两张量单点乘的结果为一张量。

由此可见，张量的单点乘服从分配律，不服从交换律 两张量双点乘的结果的一标量
两个并矢或并矢和矢量的单点积是指把它们相邻的两个矢量进行缩并，如
显然，并矢单点积的次序是不可交换的，否则进行缩并的两个相邻矢量就改变了。

两个并矢的双点积是指把它们最
邻近的四个矢量两两缩并。

由此，对单位并矢量和单位矢量有如下结果
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===⋅=⋅=⋅k
i
ik i k ik
i i
j
k jk i k i
j
k
ij jk
i k j i
j
k
i j
k
jk k j i i
i A A A A e e A )
()()()(τττδττe e e e e e e τA τA ⋅
ik
i
i A τ
∑)
(i i
ki k
k A e ∑∑=⋅τA ττA ττA ⋅=⋅
A ττA ⋅≠⋅()=+⋅τσ+⋅στ⋅⋅τ⋅τ⋅τkl
ij l i
j
k
l
i kl l k
l
k ij j i
j
i τστσ)()
()(e e e e e e e e τσk j ⋅=⋅=⋅∑∑∑∑∑∑∑∑)
(jl j
ij l i
l
i jl
ij l i
j
l
i kl
ij l i i
j
k
l
jk τστστσδ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑===e e e e e e ji
i
j
ij kl ij il i
j
k
l
jk kl
ij l k j i
j
k
l
i kl l k
l
k ij j i
j
i τστσδδτστσ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑====):()(:)(e e e e e e e τσe :CD A D AB D C AD C B CD)AB A C B C AB C B A BC A )()()()(()()()()()(⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅))((:D A C B CD AB ⋅⋅=
1.2.4几个积分定理
在后面场论的计算中，我们会遇到关于矢量与张量的积分运算。

有3个十分重要的定理。

在此只作内容的表述，证明请参阅有关专著。

1.2.4.1奥高散度定理
该定理给出了一个计算体积分与面积分相互转换的有效方法，设w 是连续可微的矢性点函数。

V 是由光滑表面S 所围成的一个封闭空间区域，则有
其中n 为S 的外法向单位向量，在直角坐标系中，
则定理可表示为
即为奥—高公式
对于标量和张量，相应有
1.2.4.2斯托克斯旋度定理
设S 为一封闭的有向曲线l （不交叉的）所围成的一双侧空间曲面，l 的正向与曲面S 的外法线正向符合右螺旋定则，w 为连续可微的矢函数。

则
其中n 为S 面上任一点的外法向单位向量。

在直角坐标系中
则上式可表示为
即为斯托克斯公式。

1.2.4.3三维莱布尼兹公式
V 是由曲面S 所围的封闭的运动空间，v S 为任一面元的速度，则有
2场论
2.1场的定义
如果对空间区域D 的每个点，都对应某个物理量的一个确定的值，则称在D 上确定了该物理量的一个场。

若这个物理
il
jk l k j i l i jk l k j i jk i k j i k ij k j i δδδδδ==⋅=⋅=⋅e e e e e e e e e e e e e e e e e e :⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅∇S
V
dS
dV n w w ()()()()γ
βαcos cos cos ,k j i n j i w ++=++=k z y,x,z y,x,z y,x,z y,x,R Q P dxdydz z
R y Q x P dS R Q P S
V
))cos cos cos (∂∂+∂∂+∂∂=++⎰⎰⎰⎰⎰
γβα⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅∇⋅=∇V
S
V
S
dS
dV dS
dV n ττn ϕϕ⎰⎰⎰⋅=⋅⨯∇S
l
d dS l
w n w )(()()()()γ
βαcos cos cos ,k j i n j i w ++=++=k z y,x,z y,x,z y,x,z y,x,R Q P ⎰⎰⎰++=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂l
S Rdz
Qdy Pdx ds y P x Q x R z P z Q y R γβαcos )(cos )(cos )(dS P dV t P
PdV dt d S
S V V )(n v ⋅+∂∂=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
量是标量，则称所讨论的场为标量场，如温度场、密度场、浓度场等。

如是矢量，则称为矢量场，如速度场、力场等。

若是张量，则称为张量场。

连续介质的应力场就是一个张量场。

前面提到过，标量是零阶张量，矢量是一阶张量。

所以认真地讲，标量场和矢量场也属于张量场。

不过，我们这里的张量场专指二阶张量场。

如果场中的物理量在各点处的值不随时间变化，即所述物理量只依赖于点的位置（或坐标），则称所给的场为稳定场。

否则，所述物理量不仅是位置的函数，而且随时间变化，则称之为不稳定场。

如果同一时刻场内各点所述物理量的值都相等，则称此场为均匀场。

反之，称此场为不均匀场。

2.2场的基本运算
为简便起见，这里只讨论稳定场。

2.2.1标量场的梯度 2.2.1.1方向梯度
为了说明梯度的概念，先介绍标量场的方向导数。

定义标量场所有点组成的曲面，为等值面或等位面。

在不均匀的标量场中，物理量沿各个方向的变化律是不相同的，方向导数就是描述场中该标量函数沿某个方向变化速率大小的。

图附-3 方向导数
如图附-3所示,设M 为场内一点，自M 出发引任一射线l ，l 的方向余璇为。

M ‘
为l 上邻近M 的一点，为M 与M ‘
的距离，标量场在点M 沿l 方向的导数定义为（假定下列极限存在）
在直角坐标系中，
其中在时为零，将上列表示代入
其中、、为单位矢量l 0的方向余弦，也等于l 0的分量。

2.2.1.2梯度
在标量场中，由点M 可以引无数条射线l ,所以有无穷多个方向导数。

显然，只有沿等位面的法线方向有最大的变
化律。

于是我们定义标量场在某点的梯度为矢量方向为该点等位面的法线方向n ，大小为方向导数。

记为
这里n 0为法线方向的单位矢量。

梯度可描述物理量在空间分布上不均匀性的程度。

在直角坐标系中
为n 0的方向余弦。

故
方向导数和梯度的关系：
C z y x ==),,(ϕϕγβαcos cos cos 、、
l ∆ϕl M g M l l ∆-'=∂∂→∆)()(lim 0ϕϕ),,()(z y x M ϕϕ=l
z y y x x z y x z z y y x x M ∆+∂∂+∆∂∂+∆∂∂+=∆+∆+∆+='ωϕ
ϕϕϕϕϕ),,()
,,()(ω0→∆l γ
ϕχϕαϕϕϕ
ϕϕϕcos cos cos )(lim 0z
y x l z z y y x x l l ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂∆∂∂+∆∂∂+∆∂∂=∂∂→∆即αcos βcos γcos ϕϕϕn ∂∂ϕ
n n ∂∂=ϕ
ϕgrad γ
βαγβαcos cos cos cos cos cos 0、、，k j i n ++=ϕϕ
ϕϕϕ∇=∂∂+∂∂+∂∂=
k j i z y x grad o l l ⋅=∂∂ϕϕ
grad
以上只是针对空间某一点来讲的，对于被研究区域里的各点来说，标量场的最大变化率的大小和对应的方向可能各不相同，这就说明本身又是一个矢量场。

梯度的基本运算公式有： 设u =u (x ,y ,z ),v =v (x ,y ,z ) ▽c =0 (c 为常数) ▽(cu )=c ▽u
▽(u v )= ▽u ▽v ▽(uv )=u ▽v +v ▽u
▽()=(v ▽u -u ▽v )/v 2
▽F(u )=F /
(u ) ▽u
▽F(u ,v )=
2.2.2矢量场和散度
2.2.2.1通量
在流场中任取一光滑曲面，则就有流体流过曲面，见图附4。

在上任取一点M
图附-4 矢量穿过曲面
及包含M 点的一曲面元素d ，n 为曲面上过M 点的单位法向量。

定义矢量w 通过d 的通量：
d Q=w n d
式中w n 为w 在n 方向上的分量。

于是，沿着积分，就得到w 通过曲面的通量：
速度通量的物理含义为单位时间内流出曲面的流体体积，即流出曲面的体积流量：
Q=
2.2.2.2散度
去为包围M 点的一个微小闭曲面，所包围空间为，该微分体积为。

我们把闭合区面向M 点无限缩小时，矢量场w 在这个闭合曲面上的通量与该曲面所包含空间的体积之比的极限定义为矢量场w 在该点的散度。

记为div w ，
div w =
速度散度代表单位体积流体流出表面积的体积流量，因此散度表示物理量是否有源以及源的强度。

在直角坐标系中，由奥—高公式：
根据中值定理，中至少有一点P ，使得：
于是矢量场w 在M 点的散度。

ϕ∆±±v u
v v F u F ∇∂∂+∇∂∂u σσσσσσσσ⎰⎰=σ
σ
d w Q n σσ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅=⋅=σ
σ
σ
σσασ
w n w d d d w cos σ∆σ∆Ωτ∆Ωτσ
∆⋅⎰⎰∆
→Ωσw d M lim
⎰⎰⎰⎰Ω
∆∂∂+∂∂+∂∂=⋅τσd z w y w x w d z
y x )(σw Ωτσ
∆∂∂+∂∂+∂∂=⋅⎰⎰∆P z
z
y y x w w x w d ][
σw P z
y x M
P M
z w y w x w d ][
lim lim
∂∂+∂∂+∂∂=∆⋅→∆
→Ω⎰⎰τ
σ
σw
由此可见矢量场的散度是一个标量场。

散度的基本运算公式有：
设a 、b 为矢量函数,u 为标量函数，c 为常矢量，d 为常数。

2.2.3矢量场的旋度
2.2.
3.1环量
为了描述旋度的定义，首先引入环量的概念。

在矢量场内取任意一条有向闭合曲线l ，把w 沿l 的线积分称为矢量场w 沿曲线l 的环量。

2.2.
3.2旋度
设M 是矢量场w 内任意一点，为包围M 点的无限小的有向闭曲线。

为所包围的有向曲面。

n 与正方向符合右手螺旋定则，如图附-5所示。

图附-5 旋度方向
当这个曲面保持在M 以n 为法向矢量而向M 无限缩小时，矢量场w 沿其边界线的环量与它的面积之比的极限，称为矢量场w 在M 对方向n 的环量强度。

记为rot n w
根据斯托克斯公式
由中值定理，在曲面上P ，使得
则
于是
其中为n 的单位矢量n 0的分量。

令 w w ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂=
z w y w x w z
y x div u u u d d ∇⋅+⋅∇=∇⋅∇=⋅∇⋅∇±⋅∇=±⋅∇=⋅∇a a a a
a b a b a c )()()(0
),,(z y x w w =⎰⋅l d l
w l ∆σ∆l ∆l ∆σ
σ∆⋅=⎰→∆l
w d m
n w lim
rot σγβασd y w x w x w
z w z w y w d x y z x y z ⎰⎰⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣
⎡∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⋅cos )(cos )(cos )(
l w σ∆σγβα∆⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=⋅⎰P
x y z x y z y w x w x w z w z w y w d cos )(cos )(cos )(
l w P x y z
x y z M P M
y w x w x w z w z w y w d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=∆⋅→→∆⎰γβασ
σcos )(cos )(cos )(lim lim
l
w γ
βαcos )(cos )(cos )(y w x w x w z w z w y w x y z x y z n ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=w rot γβαcos ,cos ,cos R k j i =∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂)()()(
y w x w x w
z w z w y w x y z x y z
则
从M 点出发有无穷多个方向，矢量场w 在M 点对各个方向的环量强度也可能不同，但对于给定点M ，R 是一个确定的矢量。

而且对应于这个矢量方向，rot n w 有最大值。

由此，我们定义矢量场w 的旋度为一矢量，它的方向在w 具有最大环量强度的方向，大小就是这个环量强度，用 rot n w 表示，在直角坐标系中
一般讲，矢量场的旋度为一矢量场。

流体速度的旋度常称为涡量。

因此，旋度可代表物理量的有旋、无旋以及旋转强度的性质。

旋度的基本运算公式有：
设a 、b 为矢量函数，u 为标量函数，c 为常矢量。

2.2.4矢量场的梯度和张量场的散度 前面我们定义了标量场的梯度
类似地，矢量场的梯度可用下式表示
也可表示为
由此可见，矢量场的梯度是一个张量，即
由矢量场的梯度定义可知
我们也曾定义矢量场的散度，即
类似定义张量场的散度
n R w ⋅=n rot =w rot k j i )()()(y w x w x w z w z w y w x y z x y
z ∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂z y
x
w w w z
y x ∂∂∂∂∂∂=k
j
i
w
⨯∇=a a a a
a b a b a c ⨯∇+⨯∇=∇⨯∇=∇⨯∇±⨯∇=±⨯∇=⨯∇)()()()(0
u u u c c ϕk j i z y x ∂∂+∂∂+∂∂=
∇ϕϕϕϕk w j w i w w z y x ∂∂+∂∂+∂∂=
∇∑∑∑∂∂=∂∂=∇i j
i j j
i i i i x w x e e w
e w ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=∇333
23
1232221
1312
11x w x w x w x w x w x w x w x w x w w ()b a b a ∇±∇=±∇z w y w x w z
y x ∂∇+
∂∇+∂∇=⋅∇w
由此可见，张量场的散度是一个矢量，即
2.2.5 拉普拉斯运算
2.2.5.1 标量场的拉普拉斯运算
前面我们提到过拉普拉斯运算符。

作用于标量，即对矢量场再求散度。

在直角坐标系中
可见，其结果为标量。

2.2.5.2 矢量场的拉普拉斯运算 矢量场w 的梯度的散度
称为w 的拉普拉斯运算。

在直角坐标系中
可见，其结果为矢量。

可以证明，
2.2.6 随体导数
用欧拉方法来描述流体运动时，对时间的微分关系有下列算符公式
随体 当地 迁移 导数 导数 导数
该式反映了对t 的全导数和偏导数之间的关系，式中为流体速度（或多元系中的质量平均速度）。

随体导数算符作用于标量上时，得到
当其作用于矢量时，即将算符作用于每一个分量上，然后作矢量加和。

可以证明，在正交曲线坐标系中，有下述一般式成立：
也可写成。

∑∑⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=⋅∇j i
i ij
j x
τe τ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=⋅∇332
2221
1223312211111333231232221
131211321,,x x x x x x x x x τττττττττττττττe e τ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂+3332231133x x x τττe ∇⋅∇=∇22
∇ϕϕ∇()2
22222222
z y x x i i
∂∂+∂∂+∂∂=∂∂=∇⋅∇=∇∑ϕ
ϕϕϕϕϕ()w ∇⋅∇()()
z
y x i i
i i i i w w w w e w 222222∇+∇+∇=∇=⎪⎭
⎫
⎝⎛∇=∇=∇⋅∇∑∑k j i e w w ()()w w w ⨯∇⨯∇-⋅∇∇=∇2()∇⋅+∂∂
=v t dt d v ϕ∑∂∂+∂∂=∇⋅+∂∂=i
i i x v t t dt d ϕϕϕϕϕv ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇⋅+∂∂=∇⋅+∂∂=∑i i i
i w t w t dt d v e w v w w ()()()v v v v w
v ⨯∇⨯-⋅∇=
∇⋅21
()w v ∇⋅w v ∇⋅
2.2.7 梯度、散度、旋度及拉普拉斯运算在柱坐标系和球坐标系中的表达式 2.2.7.1柱坐标系和球坐标系
柱坐标系和球坐标系的三条坐标线不全是直线，但它们是互相正交的，属于正交曲线坐标系。

直角坐标
与柱坐标之间有如下关系
直角坐标
与球坐标之间有如下关系
同时，柱坐标系三个单位矢量
与直角坐标系三个单位矢量
之间的关系可用矩阵的方式表示出来，如下
式所示
或
对球坐标系类似有
或
以
表示正交曲线坐标，设空间两点有相同的坐标
，而另一个坐标
相差微量，则这两点间的距离
令，则
()z y x ,,()z r ,,θ⎪⎩⎪⎨⎧===z z r y r x θθsin cos ⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=z z x y arctg y x r θ22()z y x ,,()ϕθ,,r ⎪⎩⎪⎨⎧===θϕθϕθcos sin sin cos sin r z r y r x ⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧
⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=+++=x y arctg z y x arctg z y x r ϕθ22222z e e e ,,ϕρz
y x e e e ,,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x z r e e e e e e 1000cos sin 0sin cos θθθθθ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z r z y x e e e e e e θθθθθ1000cos sin 0sin cos ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x r e e e e e e 0cos sin sin sin cos cos cos cos sin sin cos sin ϕϕθϕθϕθθϕθϕθϕθ⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕθθθϕϕθϕθϕϕθϕθe e e e e e r z y x 0sin cos cos sin cos sin sin sin cos cos cos sin 3
21,,q q q 3
2,q q 1q 1dq ()()()1
2
12
12
12
221dq q z q y q x dz dy dx ds ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++=
2
121211⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=q z q y q x h 111dq h ds =
同理，对于相同坐标
，而
相差微量时有
对于相同坐标
，而相差微量时有
叫做度规系数。

它们也是
的函数。

在柱坐标系中，
，
，在球
坐标系中，，。

实际上，在图附-6和图附-7中也可以直接读出：
在柱坐标系中，
在球坐标系中，
2.2.7.2表达式
梯度、散度、旋度及拉普拉斯运算在柱坐标系和球坐标系下的表达式均要考虑距离的度规系数，表示如下（e 1、e 2、e 3、e 4表示正交曲线坐标系中的三个单位矢量）。

具体表达式见表附-1和附-2
表附-1 柱坐标系中的运算表
1
3,q q 2q 222dq h ds =2
22
22
22⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=q z q y q x h 21,q q 3q 3
33dq h ds =2
32
3233⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=q z q y q x h 3
21,,h h h 321,,q q q z
q q r q ===321,,θ1
,,1321===h r h h ϕ
θ===321,,q q r q ϕ
sin ,,1321
r h r h h ===dz
ds rd ds dr ds ===321,,θϕ
θθd r ds rd ds dr ds sin ,,321===3
3
3222111111e e e q h q h q h ∂∂+∂∂+∂∂=
∇ϕ
ϕϕϕ⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡∂∂
+
∂∂
+∂∂=
⋅∇)()()(1
321321321321
3
21w h h q w h h q w h h q h h h w 3
32
21
1321
33221
13211w h w h w h q q q h h h h h h ∂∂∂∂∂∂
=
⨯∇e e e w ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡∂∂⨯⨯∂∂
+∂∂⨯⨯∂∂+∂∂⨯⨯∂∂=
∇)()()(13321322132113213
212q h h h q q h h h q q h h h q h h h ϕϕϕϕ
表附-2 求坐标系中的运算表
()()()
()()
()()
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇∂∂+∂∂+∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇∂∂+∂∂+∂∂-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇∂∂+∂∂+
⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⨯∇∂∂+∂∂+∂∂
=⋅∇∂∂+∂∂+∂∂=
∇2
22222
2
2222
22
22222
22
222222
112112*********z a a r r a r r r a z a a r a r ra r r r a z a a r a r ra r r r a z u u r r u r r r u e a r ra r e r a z a
e z a a r a z
a a r ra r r a e z u e u r e r u u z z z z r r
r r z
r z r r z z r z r θθθθθθθθθθθ
θθθθθθθθθθ()
()()()()()
()()
()
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎪⎨⎧∂∂+∂∂+-∇=∇∂∂-∂∂+-∇=∇∂∂-∂∂--∇=∇∂∂+⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∇⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂
+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∂∂
-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣
⎡∂∂-∂∂
=
⨯∇∂∂+∂∂
+
∂∂=⋅∇∂∂+∂∂+∂∂=
∇ϕθθϕθθϕθθθθϕθθθθϕθθθθθθϕθϕθϕθ
ϕθθθθϕθθθθϕϕϕθθθθϕθϕθθ
ϕθϕ
ϕθϕθa r a r a r a a r a r a r a a r a r a r a u
r u r r u r r r u a ra r r ra r a r a a r a r a r a r r r u
r u r r u u r z r r r r r r r r r 22222222
22222
22222
22222
2222
22sin cos 2sin 2sin 1sin cos 22sin 1sin 2sin sin 21sin 1sin sin 111sin 11sin sin 1
sin 1sin sin 11sin 11a a a e e e a a e e e。