2022-2023学年江苏灌南高中高二下学期期中考试数学试卷及答案

灌南高级中学2022-2023学年第二学期期中考试
高二年级数学学科试卷
考试时间长度：120分钟满分150分制卷人：做卷人：
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各张，可以组成不同的币值一共有()
A.种
B.种
C.种
D.种
2.已知空间中三点，，，则()
A.与是共线向量
B.的单位向量是
C.与夹角的余弦值是
D.平面的一个法向量是
3.已知的二项展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则所有项
的系数之和为()
A. B. C. D.
4.某班有名学生，一次数学考试的成绩近似地服从正态分布，平均分为，标准差为，理论上说在分到分的人数约为()
附：若随机变量，则，
，．
A. B. C. D.
5.已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有位患有该病的患者服用了这种药物，
位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有位患者被治愈的概率为
()
A. B. C. D.
6.新高考数学中的不定项选择题有个不同选项，其错误选项可能有个、个或个，
这种题型很好地凸显了“强调在深刻理解基础之上的融会贯通、灵活运用，促进学生掌握原理、内化方法、举一反三”的教考衔接要求.若某道数学不定项选择题存在错误选项，且错误选项不能相邻，则符合要求的个不同选项的排列方式共有()
A.种
B.种
C.种
D.种
7.设两个相关变量和分别满足下表：
若相关变量和可拟合为非线性回归方程，则当时，的估计值为()参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的
斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，；
A. B. C. D.
8.如图所示空间直角坐标系中，是正三棱柱的底面
内一动点，，直线和底面所成角为，则点坐标满足()
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。

少选得2分，错选不得分）
9.下列说法正确的有()
A.在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法
B.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和
C.线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点
D.在回归分析中，决定系数越大，模拟的效果越好
10.某工程队有辆不同的工程车，按下列方式分给工地进行作业，每个工地至少分辆工程车，则下列结论正确的有()
A.分给甲、乙、丙三地每地各辆，有种分配方式
B.分给甲、乙两地每地各辆，分给丙、丁两地每地各辆，有种分配方式
C.分给甲、乙、丙三地，其中一地分辆，另两地各分辆，有种分配方式
D.分给甲、乙、丙、丁四地，其中两地各分辆，另两地各分辆，有种分配方
式
11.如图，平行六面体，其中，，
，，下列说法正确的是()
A. B.
C.直线与直线是相交直线
D.与所成角的余弦值为
12.下列说法正确的是()
A.设随机变量服从二项分布，则
B.已知随机变量服从正态分布，且，则
C.；
D.已知随机变量满足，若，则随着
的增大而减小
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.在、、三个地区爆发了流感，这三个地区分别有，，的人患了
流感，假设这三个地区的人口比例为：：，现从这三个地区中任意选取一个人，
则这个人患流感的概率为
14.若，且
，则实数的值为．
15.已知两随机变量满足，若，则
．
16.如图，两条异面直线，所成角为，在直线上，分别取点，和点，
，使，且已知，，，则线段．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，第17题10分，其余每题12分）
17.已知向量，，．
当时，若向量与垂直，求实数和的值；
当时，求证：向量与向量，共面．
18.解不等式．
若，求正整数．
19.某省年开始将全面实施新高考方案在门选择性考试科目中，物理历史这
两门科目采用原始分计分；思想政治地理化学生物这门科目采用等级转换赋分，
将每科考生的原始分从高到低划分为，，，，共个等级，各等级人数所
占比例分别为，，，和，并按给定的公式进行转换赋分该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治地理化学生物这门科目的原始分进行
了等级转换赋分．
某校思想政治学科获得等级的共有名学生，其原始分及转换分如表：
原始分
转换分
人数
现从这名学生中随机抽取人，设这人中思想政治转换分不低于分的人数为，
求的分布列和数学期望；
假设该省此次高一学生思想政治学科原始分服从正态分布若
，令，则请解决下列问题：若以此次高一学生思想政治学科原始分等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为多少
分？结果保留整数附：若，
20.为推动实施健康中国战略，树立国家大卫生、大健康观念，手机也推出了多
款健康运动软件，如“微信运动”，某运动品牌公司
名员工均在微信好友群中参与
了“微信运动”，且公司每月进行一次评比，对该月内每日运动都达到
步及以上
的员工授予该月“运动达人”称号，其余员工均称为“参与者”，下表是该运动品牌公司
名员工年月
月获得“运动达人”称号的统计数据：
月份
“运动达人”员工数
由表中看出，可用线性回归模型拟合“运动达人”员工数与月份之间的关系，求
关于的回归直线方程，并预测该运动品牌公司月份获得“运动达人”
称号的员工数；
为了进一步了解员工们的运动情况，选取了员工们在月份的运动数据进行分析，统计结果如下：
运动达人
参与者
合计
男员工
女员工
合计
请补充上表中的数据直接写出
，
的值，并根据上表判断是否有
的把握认为
获得“运动达人”称号与性别有关
参考公式：，，其中
21.如图，在三棱柱中，平面，，
，是的中点．
求平面与平面夹角的余弦值；
在直线上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长；若不存在请说明理由．
22.为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次答题赋分方法如下：第次答题，答对得分，答错得分：从第次答题开始，答对则获得
上一次答题得分的两倍，答错得分学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各
次答题结果互不影响．
求甲前次答题得分之和为分的概率
记甲第次答题所得分数的数学期望为
写出与满足的等量关系式直接写出结果，不必证明
若，求的最小值．
灌南高级中学2022-2023学年第二学期期中考试高二年级数学学科试卷（答案）
1. 2. 3. 4. 5. 6.7.8.
9.10.11.12.
13.
14.
15.
16.
或
17.解：因为，
所以，
解得，
则．
因为，向量与垂直，
所以，
即，
解得．
证明：当时，，
设，
则，
解得
即，
则向量与向量，共面．
18.解：由题意，即且，
，经验算可解得，
故；
，
原方程为，，，满足题意，
经检验是唯一解，
故；
19.解:(1)随机变量X的所有可能的取值为0,1,2,3,
根据条件得P(X=0)===,P(X=1)===,
P(X=2)===,P(X=3)===,
则随机变量X的分布列为
X0123
P
数学期望E(X)=0+1+2+3=；
(2)设该划线分为m,由Y N(76.3,25)得=76.3,=5,
令==,则Y=5+76.3,
依题意,P(Y m)0.85,
即P(5+76.3m)=P()0.85
因为
~N(0,1),P( 1.04)0.85,
所以
,P(-1.04)0.85
所以-1.04,故m71.1,取m=71.
综上:估计该划线分大约为71分.
20.解：由表格数据得：，
，
所以，
，
所以关于的回归直线方程为
令，则，
即该运动品牌分公司月份获得“运动达人”称号的员工数为．
依题意，，
根据列联表数据得：，所以没有的把握认为获得“运动达人”称号与性别有关．
21.解：因为平面，，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
因为，
所以，即，
令，则，，
故，
所以，
因为平面与平面夹角为锐角，
所以平面与平面
夹角的余弦值为；
解：假设存在点
，设
，，
设与平面所成的角为，由可知，平面的法向量为，
则，
所以，
解得
或
，
所以在线段上存在一点
，使得
与平面
所成角的正弦值为
，此时
或
．
22.解
记“甲前次答题得分之和为分”为事件，
即甲前次答题中仅只答对一次，
所以甲前次答题得分之和为
分的概率
．
甲第次答题得
分、分的概率分别为，，则，
甲第次答题得分、
分、
分的概率分别为
，
，，
则，
显然
，
，
，甲第
次答题所得分数
的数学期望为
，
因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为
分，其概率分别为，，
于是甲第次答题所得分数的数学期望为
，
所以
与
满足的等量关系式是：
，
，
，且
由知，，当，时，，而
，
因此数列以为首项，为公比的等比数列，
，
于是，由得：，显然数列是递增数列，
而，，则有正整数，
所以的最小值是．。