第4章射频谐振电路与微波谐振腔

R
jL
j1
C
电感L储存的平均磁能：
Wm
1 4
I
2
L
电容C储存的平均电能：
We
1 4
VC
2
C
由于
VC
I
jC
所以
We
1 4
I
2
1
2C
• 当电感L储存的平均磁能Wm与电容C储存的平均 电能We相等时，产生谐振。
Wm We
• 由式（4.1）和式（4.3）可以得到，谐振时的角频 率为
0
1 LC
• 由式（4.4）可以看出，只有当ω=ω0时电路才能产 生谐振。
• 例题：矩形波导谐振腔由一段铜波导组成，a=4.755cm， b=2.215cm，腔内由聚乙烯填充
（r 2.25, tan 0.004），铜表面电阻Rs=1.84*10-2欧
姆，如果TE10p模谐振出现在f=5GHz,求所需要的波导 长度d和p=1，p=2时谐振模的总Q值。
• 解：m=1, n=0, 利用 • 答案：
4.1.2 品质因数
品质因数描述了能耗这一谐振电路的 重要内在特征。品质因数定义为
平均储能
Q 0 功率损耗
式中
（4.5）
4.1.3 输入阻抗
• 当ω=ω0时，
Zin R
• 当ω与ω0不等时， Zin为复数。
Zin
R
j
L(
2
0 2
2
)
R
j2L
R
j2
RQ 0
4.1.4 带宽
图4.2 串联谐振电路的带宽
2
D l
3
m m n
p 2 2
2 p
2
D l
2
2
D l
3/2
2
Hale Waihona Puke Baidu1
D l
对于TM模，当m ≠ 0，p ≠ 0时
当m
≠ 0，p =
0时，
Q0
0
g 2
mn 1
a l
Q0
0
2 mn
g
p 2
2
D l
2
1
D l
2
1/ 2
，式中D=2。
3. 圆柱形谐振腔中常用的几种振荡模
p
d
2
矩形谐振腔的模为TEmnp或TMmnp模，下标m,n,p相应地为 驻波图在x,y,z方向的变化数。这时，TEmnp或TMmnp模的谐 振频率为
fmnp
ckmnp
2 rr
2
c
r r
m
a
2
n
b
2
p
d
2
如果b<a<d，则谐振主模（最低谐振频率）为TE101模， 它对应一段短路波导长为λg/2的TE10主模。TM波的主模 为TM111模。
d p / k 2 ( / a)2
•
p=1时，d=2.20cm, Q=1437
•
p=2时，d=4.40cm, Q=1518
•
4.4.2 圆柱形波导腔
1. 圆柱形谐振腔的电磁场方程
圆柱形谐振腔是由两端短路的圆柱形波导构成的，如 图4.9所示。
图4.9 圆柱形谐振腔
2. 圆柱形谐振腔的谐振波长及空载品质因数
• 谐振电路可以用谐振频率、品质因数、输 入阻抗和带宽等描述。本章将对谐振电路作一 简述，讨论串联谐振电路、并联谐振电路, 传 输线谐振电路的构成和参数,以及微波谐振腔。
4.1 串联谐振电路
• 串联谐振电路如图4.1所示， • 由电阻R、电感L和电容C串联而成。
图4.1 串联谐振电路
• 电路中的电感L储存磁能并提供感抗；
带宽可以由品质因数和谐振频率求得：
BW
2
1
0
Q
4.1.5 有载品质因数
• 前面定义的Q称为无载品质因数，体现了谐振电
路自身的特性。实际应用中，谐振电路总是要与外负
载RL相耦合，由于外负载消耗能量，使总的品质因数
下降。
外部品质因数：
Qe
0 L
RL
总的品质因数：
QL
0 L
R RL
三个品质因数的关系：
2. TE10p模的Q值
不考虑介质损耗时，导体壁有损耗时谐振腔的Q值为
Qc
20We
Pc
(kab)3b 2 2RS
1 2 p2a3b 2bd 3
p2a3d
ad 3
当导体壁为理想时，有损介质填充的谐振腔Q值为
Qd
2We
Pd
1
tan
当导体和介质损耗都存在时，总Q值为
1
Q
1 Qc
1 Qd
•
图4.7 圆柱形介质谐振器
• 介质谐振器的品质因数可以通过谐振器 存储的能量与消耗在介质中及辐射损耗 的功率进行计算。
• • 假如辐射损耗比较小，则品质因数近似
为
• 式中 tan 为介质的损耗角正切。
•
图4.8 微带电路中的介质谐振器
4.6 谐振器的激励和耦合
几种谐振器的一些典型耦合技术如图4.17所示。
（1）谐振波长λ0 圆柱腔中TE模及TM模的谐振波长为：
0(TEmnp )
1
nm 2 a
2
p 2l
2
0(TMmnp )
1
nm 2 a
2
p 2l
2
（2）空载品质因数Q0
对于TEmnp振荡模，当m ≠ 0时
Q0
0 2
g m2n
1
p 2
m nm
2
m2n
4.6.3 小孔耦合谐振器
小孔耦合谐振腔及其等效电路如下所示：
图4.22 矩形波导小孔耦合到矩形腔
图4.23 小孔耦合腔的等效电路
4.6.4 介质谐振腔与微带电路的耦合
图4.24 介质谐振器与微带线间的磁耦合
1 1 1 QL Q Qe
4.2 并联谐振电路
• 并联谐振电路如图4.3所示，由电阻R、 电感L和电容C并联而成。
图4.3 并联谐振电路
谐振电路上的复功率：
其中，
Pin
1VI * 2
V2 2Zin*
1 1 1 jC Zin R jL
4.2.1 谐振频率
•式（4.25）表明只有当ω=ω0时电路才能产生谐振。 比较式（4.25）和式（4.4）可以看出，并联谐振电路 与串联谐振电路的谐振频率都取决于 1/ LC 。
（1）TM010振荡模
1)TM010振荡模的场方程式
Ez 2E0 J0 (kcr)
H
j
20
kc
E0 J0 (kcr)
Er E Hr H z 0
式中
kc 01 / a, 01 2.405
2)TM010振荡模的场结构图
。
图4.10 TM010模的场结构图
3) 主要参数λ0，Q0及其特点
谐振波长λ0：
4.2.2 品质因数
并联谐振电路的平均储能为
4.2.3 输入导纳
• 输入导纳为
Yin
1 R
1
jL
jC
（4.30）
• 当ω=ω0时，
Yin
1 R
• 当ω与ω0不等时， Yin为复数。
Yin
1 R
jC
(1
02 2
)
1 R
j2C
1 R
j2 Q 0 R
Zin
1
R
j2 Q
0
4.2.4 带宽
图4.4 并联谐振电路的带宽
• 4.4.1 矩形波导腔
1. 谐振频率
矩形谐振腔的几何形状如图4.8所示，它由一段长为 d，两端短路（z = 0,d）的矩形波导组成。
图4.8 矩形谐振腔中，TE101和TE102模的电场分布
矩形谐振腔是一种短路波导型的λ/2传输线谐振腔。 矩形腔的截止波数：
kmnp
m
a
2
n
b
2
2) 谐振波长λ0
0TE111
1 (1/ 3.41a)2 (1/ 2l)2
4.5 介质谐振器
• 一个由低损耗、高相对介电常数材料制 成的小圆柱体或立方体，也能用做谐振器， 这种谐振器称为介质谐振器。
• 介质谐振器有很多优点，它成本低、尺 寸和重量小、很容易与平面传输线耦合、 可以调谐谐振频率、品质因数大，因此介 质谐振器成为射频电路常用的器件。
0
2 a 01
2 a
2.405
2.62a
空载品质因数Q0：
Q0(TM010 )
2.405 2 a / 2.405 2 (1 a / l)
2 a2l (2 al 2 a2)
2V
S
其中V和S分别是谐振腔的体积和内表面面积。
（2）TE011模
1) TE011振荡模的场方程式
。
E
200
kc
H
0
J
0
(kc
(l (l
z) z)
j
（4.42）
4.3.1 终端短路 / 2 传输线
相当于串联谐振电路。
l / 2时,
品质因数：
L Z0 , C 2
20
0Z0
Q 0L R 2l 2
4.3.2 终端短路 / 4 传输线
相当于并联谐振电路。
l / 4时,
Q
0RC
4l
2
4.3.3 终端开路 / 2 传输线
在微带电路中，谐振器通常由终端开路的传输线构
成。终端开路传输线 Z L
，由式（4.42）可以得到传输线的输入阻抗为
相当于并联谐振电路。
Q 2l 2
4.3.4 终端开路 / 4 传输线
• 由式（4.59），终端开路传输线的输入 阻抗还可以写为
相当于串联谐振电路。
Q 4l 2
4.4 矩形和圆柱形波导谐振腔
图4.5 例4.1用图
4.3 传输线谐振电路
• 传输线谐振电路通常称 为谐振器。
• 微波频段，不易集总元 件实现，通常用终端短 路或开路的传输线作为 谐振器。
• 传输线谐振器有四种类 型：
图4.6 传输线谐振器
有耗传输线输入阻抗：
其中，
Zin
z
Z0
ZL Z0
jZ0 jZ L
tanh tanh
• 电容C储存电能并提供容抗；
• 当电感L储存的平均磁能与电容C储存 的平均电能相等时，电路产生谐振。
• 此时电感L的感抗和电容C的容抗相互 抵消，输入阻抗为纯电阻R。
4.1.1 谐振频率
图4.1所示的电路，只有当频率为某一特殊值时， 才能产生谐振，此频率称为谐振频率。
电流： I V Zin
输入阻抗：Zin
与腔壁之间的间隙，并不影响这种模式谐振腔的性能。
3)谐振波长λ0
0 (TE011)
1
(01 / 2 a)2 (1/ 2l)2
（3）TE111模
1)场结构 TE111模的场结构如图4.12（a）所示。
在腔长 l 2.1a 时，圆柱腔的最低模是TE111模。其主要用途是中 等精度宽波长计，如图4.12（b）所示。
第4章 射频谐振电路与微波谐振腔
4.1
串联谐振电路
4.2•
并联谐振电路
4.3
传输线谐振电路
4.4 矩形和圆柱形波导谐振腔
4.5
介质谐振器
4.6
谐振器的激励和耦合
• 谐振电路有多种应用，可以在滤波器、振 荡器和匹配电路中使用，其功能是有选择地让 一部分频率的源信号通过，同时衰减通带外的 信号。
• 当频率不高时，谐振电路由集总参数元件 组成，但当频率达到微波波段时，谐振电路通 常由各种形式的传输线实现。
r
)
sin(
l
z)
Hr
j
2 kc
l
H
0
J
0
(kc
r
)
cos(
l
z)
H z j2H0J0 (kcr)sin( l z)
式中， kc 01 / a，01 3.832
2) TE011模的场结构图
图4.11 TE011模的场结构图
TE011模的重要性质： 1. 这种腔的损耗很小，品质因数很好。 2. 由于电流只有圆周方向的分量，故工作于该模式的波长计，活塞
4.2.5 有载品质因数
串联谐振电路和并联谐振电路的参量见表4.1.
• 例4.1 设计一个由理想电感和理想电容构成的并联谐振电 路，要求在负载RL=50Ω及f=142.4MHz时的有载品质因数 QL=1.1,讨论改变电感电容提高有载品质因数的途径。
• 解：可将电感值降低20倍，电容值提高20倍，改进电路如 图（b）。
图4.17 谐振器的耦合
4.6.1 临界耦合
耦合系数：
g Q / Qe
1. g<1，为欠耦合； 2. g=1，为临界耦合； 3. g>1，为过耦合。
4.6.2 用缝隙耦合的微带谐振器
耦合系数为
g
R Z0
2Qbc2
如果 bc / 2Q ,则g<1，谐振器是欠耦合；
如果bc / 2Q ，则g>1，谐振器是过耦合。