集合第一单元高考数学备考第一轮复习

集合第一单元高考数学备考第一轮复习

第一单元集合

一、知识要点

二、基本要求：理解集合、空集的意义，会用列举法和描述法表示集合；理解子集、集合相等概念，能判断两个简单集合之间的包含关系；理解交集、并集，掌握集合的交、并运算，知道有关的基本运算性质，理解全集的意义，能求出已知集合的补集。

三、重点和难点

重点：集合的概念及其运算。难点：对集合概念的理解。

四、复习要点与例题

(A组)

1.会用列举法和描述法表示集合。

例1．用列举法表示下列集合

2**(1){|23,,};

8

(2){|,}

3x y x x x R y N x x Z N x =--+∈∈∈∈-且

例2.用描述法表示下列集合

1{243524（）不在第一，三象限的点｝（）｛绝对值不超过的所有整数｝（）｛被除余的自然数｝（）｛所有负奇数｝

3.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，

例6 若2

1｛，｝a a ∈，则a ＝_____（答：0）；

例7设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，

}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个。（答：8）

例8设{(,)|,}U x y x R y R =∈∈，{(,)|20}A x y x y m =-+>，

{(,)|B x y x y n =+-0}≤，那么点)()3,2(B C A P u ∈的充要条件是________（答：5,1<->n m ）；

例9非空集合}5,4,3,2,1{⊆S ，且满足“若S a ∈，则S a ∈-6”，这样的S 共有_____个（答：7）

判断某一元素是否属于指定集合,即要检验该元素是否满足集合的确定属性. 例10（新基本要求

2

P 例2） 已知集合

{|2lg lg(815),},{|cos

0,}2x

A x x x x R

B x x R ==-∈=>∈，求A B ⋂的元素个数__

例11(2002年全国高考题)设集合M ={x |x =412+k ,k ∈Z },N ={x |x =214+

k ,k ∈Z },则（ ）B

A.M =N

B.M N

C.M N

D.M ∩N =∅

7.遇到A

B =∅时，是否注意到“极端”情况：A =∅或B =∅；同样当A B ⊆时，

是否忘记∅=A 的情形？要注意到∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

例5集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且A B B =，则实数a ＝______

（答：1

0,1,

2a =）；

例6已知A={

,01)2(2=+++x p x x R

x ∈}, B={

>

x x 0}, 若A φ=B ，则实数p 的取

值范围为 （答：p >-4）

例（基本要求P3例3） 设集合

2

{|60,}M x x mx x R =-+=∈，且{2,3}M M ⋂=，求实数m 的取值范围。

6.对于含有n 个元素的有限集合M ，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数

依次为，n 2，12-n ，12-n .22-n

例7满足

{1,2}{1,2,3,4,5}

M ⊂⊆≠集合M 有______个。 （答：7）

例15 如果集合2

{|340,}A x x x x R =--<∈，那么A N ⋂的真子集的个数是__15_____

个。

例16（基本要求P2例1） 已知集合{|sin

,}3n A x x n Z π

==∈，求集合A 的子集个数。

2.集合的运算性质：

⑴A B A B A =⇔⊆； ⑵A B B B A =⇔⊆； ⑶A B ⊆⇔

u

u A B

⊇； ⑷u

u

A

B A B

=∅⇔

⊆； ⑸u

A B U A B

=⇔⊆； ⑹

()U C A B U U C A C B

=；

⑺

()U U U C A B C A C B

=.

例3设全集

}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，

}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___.（答：{2,3}A =，{2,4}B =）

例4（2004年上海秋季）设集合

2{5,log (3)}

A a =+，集合{,}

B a b =，若{2}A B ⋂=，

则A B ⋃=____________________{1,2,5}

例5已知A ={x |x 3

＋3x 2

＋2x ＞0}，B ={x |x 2

＋ax ＋b ≤0}且A ∩B ={x |0＜x ≤2}，A ∪B ＝｛x ｜x

＞－2｝，求a 、b 的值.

解：A ={x |－2＜x ＜－1或x ＞0}， 设B =［x 1，x 2］，由A ∩B =（0，2］知x 2＝2， 且－1≤x 1≤0， ①

由A ∪B =（－2，+∞）知－2≤x 1≤－1.

②

由①②知x 1＝－1，x 2＝2，

∴a ＝－（x 1＋x 2）＝－1，b ＝x 1x 2＝－2.

评述：本题应熟悉集合的交与并的涵义，熟练掌握在数轴上表示区间（集合）的交与并的方法.

5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。

如：

{}x y x lg |=—函数的定义域；{}x y y lg |=—函数的值域；{}x y y x lg |),(=—函

数图象上的点集。

例12设集合{|2}M x y x ==-，集合N ＝{}

2|,y y x x M =∈，则M

N =___（答：

[4,)+∞）；

例13设集合{|(1,2)(3,4),}M a a R λλ==+∈，

{|(2,3)(4,5)N a a λ==+，}R λ∈，则=N M _____（答：)}2,2{(--）

例（基本要求P2例2） 已知集合

{|2lg lg(815),},{|cos

0,}2x

A x x x x R

B x x R ==-∈=>∈，求A B ⋂的元素。

8. 进行交、并、补运算时，一要尽可能借助数轴、直角坐标系、韦恩图等，将抽象的

代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决。在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

例11已知函数

12)2(24)(2

2+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，求实数p 的取值范围。 （答：

3

(3,)

2-） 9.定义新运算在集合方面也是一个新的命题背景,引进新的集合运算,可以考查考生接

受新知识的能力和对集合语言的理解能力.

例21. 已知集合A={0,2,3},定义集合运算A ※A={x |x =a ·b ,a A,b A},则A ※A=( )A.{0,2} B.{0,6} C.{0,6,4,9} D.{0,2,3}.注意这里的元素a,b 可以相同,正确答案选C.

例2005年苏州一模试题“设※是集合A 中元素的一种运算,如果对于任意的x 、y A ∈,都有

x ※y A ∈,则称运算※对集合A 是封闭的,若M={x |x =a +b ,a ,b Z },则对集合M 不封闭的运算