【配套K12]三年高考两年模拟2017版高考数学专题汇编 第二章 函数的概念与基本初等函数7 理

第七节 函数与方程
A 组 三年高考真题（2016～2014年）
1.(2015·山东，10)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3x －1，x ＜1，2x
，x ≥1，
则满足f (f (a ))＝2
f (a )
的a 取值范围是
( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1
B.[0,1]
C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫23，＋∞ D.[1, ＋∞)
2.(2015·天津，8)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2－|x |，x ≤2，x －2
，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b
∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，74 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫74，2 3.(2014·湖南，10)已知函数f (x )＝x 2＋e x －12(x <0)与g (x )＝x 2
＋ln(x ＋a )的图象上存在关
于y 轴对称的点，则a 的取值范围是( ) A.⎝
⎛⎭⎪⎫－∞，
1e B.()－∞，e C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，e D.⎝
⎛⎭⎪⎫
－e ，1e
4.(2016·山东，15)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧|x |，x ≤m ，
x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0，若存在实数b ，使得关
于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________.
5.(2015·湖南，15)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 3
，x ≤a ，x 2
，x ＞a ，
若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b
有两个零点，则a 的取值范围是________.
6.(2015·安徽，15)设x 3
＋ax ＋b ＝0，其中a ，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).
①a ＝－3，b ＝－3；②a ＝－3，b ＝2；③a ＝－3，b >2；④a ＝0，b ＝2；⑤a ＝1，b ＝2.
7.(2015·江苏，13)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
0，0＜x ≤1，
|x 2
－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )
＋g (x )|＝1实根的个数为________.
8.(2015·北京，14)设函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪
⎧
2x
－a ，x ＜1，x －a x －2a ，x ≥1.
(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；
(2)若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________.
B 组 两年模拟精选(2016～2015年)
1.(2016·湖北荆门模拟)对于函数f (x )＝x 2
＋mx ＋n ，若f (a )>0，f (b )>0，则函数f (x )在区间(a ，b )内( )
A.一定有零点
B.一定没有零点
C.可能有两个零点
D.至多有一个零点
2.(2016·陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，
1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )
A.1
2
，0
B.－2，0
C.12
D.0
3.(2016·黑龙江佳木斯模拟)已知符号函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.则函数f (x )＝sgn(ln x )－
ln x 的零点个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
4.(2015·湖南衡阳模拟)设方程2x
＋x ＋2＝0和方程log 2x ＋x ＋2＝0的根分别为p 和q ，设函数f (x )＝(x ＋p )(x ＋q )＋2，则( ) A.f (2)＝f (0)<f (3) B.f (0)<f (2)<f (3) C.f (3)<f (2)＝f (0)
D.f (0)<f (3)<f (2)
5.(2015·青岛市模拟)函数f (x )＝ln(x ＋1)－2
x
的零点所在的大致区间是( )
A.(0，1)
B.(1，2)
C.(2，e)
D.(3，4)
6.(2015·济宁高三期末)设x 1，x 2是方程ln|x －2|＝m (m 为实常数)的两根，则x 1＋x 2的值为( ) A.4
B.2
C.－4
D.与m 有关
7. (2015·南昌二模)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1，1]时，f (x )＝2|x |
－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( ) A.9
B.10
C.11
D.18
8.(2016·广西南宁模拟)已知函数f (x )＝a x
＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )其中常数a ，
b 满足2a ＝3，3b ＝2，则n ＝________.
9.(2016·天津南开中学模拟)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧2x
－1，x >0，－x 2
－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________.
10.(2016·江西十校二联)给定方程⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
＋sin x －1＝0，下列命题中：
①方程没有小于0的实数解； ②方程有无数个实数解；
③方程在(－∞，0)内有且只有一个实数解；
④若x 0是方程的实数解，则x 0>－1. 正确命题是________.
11.(2015·长春模拟)设函数f (x )＝x ＋1
x
的图象为C 1，C 1关于点A (2，1)对称的图象为C 2，C 2
对应的函数为g (x ). (1)求g (x )的解析式；
(2)若直线y ＝m 与C 2只有一个交点，求m 的值和交点坐标.
12.(2015·青岛模拟)已知函数f (x )＝|x 2
－4x ＋3|.若关于x 的方程f (x )－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，求实数a 的取值范围.
答案精析
A 组 三年高考真题（2016～2014年）
1.C [当a ＝2时，f (a )＝f (2)＝22＝4＞1，f (f (a ))＝2
f (a )
，
∴a ＝2满足题意，排除A ，B 选项；当a ＝23时，f (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝3×23－1＝1，f (f (a ))＝2f (a )
，
∴a ＝2
3
满足题意，排除D 选项，故答案为C.]
2.D [记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图，直线AB ：y ＝x －4，当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎪⎨
⎪
⎧y ＝x ＋b ′，y ＝（x －2）2
，
解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74
，
所以曲线h (x )向上平移7
4个单位后，所得图象与f (x )的图象有四个公共点，平移2个单位后，
两图象有无数个公共点，因此，当7
4＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有四个不同的交点，即y
＝f (x )－g (x )恰有4个零点.选D.]
3.B [由题意可得，当x >0时，y ＝f (－x )与y ＝g (x )的图象有交点，即g (x )＝f (－x )
有正解，即x 2＋ln(x ＋a )＝(－x )2＋e －x －12有正解，即e －x
－ln(x ＋a )－12＝0有正解，令F (x )
＝e －x －ln(x ＋a )－12，则F ′(x )＝－e －x －1x ＋a <0，故函数F (x )＝e －x
－ln(x ＋a )－12在(0，＋
∞)上是单调递减的，要使方程g (x )＝f (－x )有正解，则存在正数x 使得F (x )≥0，即e －x
－
ln(x ＋a )－12
≥0，所以a ≤1e 2
e
x x ---，又y ＝1
e 2e x x ---在(0，＋∞)上单调递减，所以a <1e 02
e 0--
-＝12
e ，选B.]
4.(3，＋∞) [如图,当x ≤m 时，f (x )＝|x |;当x >m 时，f (x )＝x 2－2mx ＋4m ，在(m ，＋∞)为增函数，若存在实数b ,使方程f (x )＝b 有三个不同的根,则m 2
－2m ·m ＋4m <|m |. ∵m >0，∴m 2
－3m >0，解得m >3.
5.(－∞，0)∪(1，＋∞) [若0≤a ≤1时，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧x 3
（x ≤a ），
x 2 （x ＞a ）在R 上递增，若
a ＞1或a ＜0时，
由图象知y ＝f (x )－b 存在b 使之有两个零点，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞).] 6.①③④⑤ [令f (x )＝x 3
＋ax ＋b ，f ′(x )＝3x 2
＋a ，
当a ≥0时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，必有一个实根，④⑤正确；
当a <0时，由于选项当中a ＝－3，∴只考虑a ＝－3这一种情况，f ′(x )＝3x 2
－3＝3(x ＋1)(x －1)，∴f (x )极大＝f (－1)＝－1＋3＋b ＝b ＋2，f (x )极小＝f (1)＝1－3＋b ＝b －2，要有一根，
f (x )极大<0或f (x )极小>0，∴b <－2或b >2，①③正确，所有正确条件为①③④⑤.]
7.4 [令h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ≤1，－x 2
＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )
＝－2x ＋1x ＝1－2x
2
x
＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和
y ＝1的图象如图所示.
由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.]
8.(1)－1 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞) [(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x
－1，x <1，4（x －1）（x －2），x ≥1.
当x <1时，2x
－1>－1.
当x ≥1时，且当x ＝32时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－1，∴f (x )最小值为－1. (2)1°当a ≤0时，2x
－a >0，
由4(x －a )(x －2a )＝0得x ＝a 或x ＝2a .a ∉[1，＋∞)， 2a ∉[1，＋∞)， ∴此时f (x )无零点.
2°当0<a <1时，若有2个零点，只须⎩
⎪⎨⎪⎧a <1，2a ≥1，∴1
2≤a <1.
3°当1≤a <2时，x ＜1，2x
＝a ，x ＝log 2a ∈[0，1)，
x ≥1时，由f (x )＝0，得x ＝a 或2a ，a ∈[1，＋∞).
2a ∈[1，＋∞)，有3个零点，不合题意. 4°当a ≥2时，x <1，则2x
－a <0，
x ≥1时，由f (x )＝0，得x ＝a 或2a ，a ，2a ∈[1，＋∞)，
此时恰有2个零点，综上1
2
≤a ＜1或a ≥2.]
B 组 两年模拟精选(2016～2015年)
1.C [利用排除法，f (a )·f (b )<0是函数f (x )在区间(a ，b )内有零点的充分不必要条件，故选C.]
2.D [当x ≤1时,由f (x )＝2x
－1＝0,得x ＝0;当x >1时,由f (x )＝1＋log 2x ＝0,解得x ＝1
2
,又因为x >1，所以此时方程无解，函数f (x )的零点只有0.故选D.] 3.C [依题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ，x >1，0，x ＝1，－1－ln x ，0<x <1，令f (x )＝0得x ＝e,1,1
e
,所以函数有3个
零点，故选C.
4. A [∵方程2x ＋x ＋2＝0和方程log 2 x ＋x ＋2＝0的根分别为函数y ＝2x
，y ＝log 2 x 与直线y ＝－x －2的交点横坐标，而函数y ＝2x
，y ＝log 2 x 互为反函数，其图象关于y ＝x 对称，又直线y ＝－x －2与直线y ＝x 垂直，且两直线的交点坐标为(－1，－1)，∴p ＋q ＝－2，
则f (x )＝x 2
＋(p ＋q )x ＋pq ＋2＝x 2
－2x ＋pq ＋2，
∵该二次函数的对称轴为x ＝1，∴f (2)＝f (0)<f (3).故选A.]
5.B [利用零点存在性定理得到f (1)·f (2)＝(ln 2－2)·(ln 3－1)<0，故选B.]
6.A [方程ln|x －2|＝m 的根即函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 的交点的横坐标，因为函数y ＝ln|x －2|的图象关于x ＝2对称，且在x ＝2两侧单调，值域为R ，所以对任意的实数m ，函数y ＝ln|x －2|的图象与直线y ＝m 必有两交点，且两交点关于直线x ＝2对称，故x 1＋x 2＝4，选A.]
7.B [在坐标平面内画出y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象(如图)，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10，故选B.]
8.－1 [a ＝log 23>1，b ＝log 32<1，令f (x )＝0，得a x
＝－x ＋b ，在同一坐标系中画出函数y ＝a x
和y ＝－x ＋b 的图象，如图所示；由图可知，两函数的图象在区间(－1，0)内有交点，所以函数f (x )在区间(－1，0)内有零点，所以n ＝－1.]
9.(0，1) [f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x
－1，－x 2－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x
－1，x >0，
－（x ＋1）2
＋1，x ≤0，图象如图：由g (x )＝f (x )－m 有3个零点，知f (x )＝m 有三个根，则实数m 的范围是(0，1).]
10.②③④ [在同一坐标系中画出函数y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
－1与y ＝－sin x (该函数的值域是[－
1，1])的大致图象，结合图象可知，它们的交点中，横坐标为负的交点，有且只有一个，因
此方程⎝ ⎛⎭
⎪⎫12x
＋sin x －1＝0在(－∞ ，0)内有且只有一个实数解，故③正确，①不正确，由图象易知②，④均正确.]
11.解(1)设点P (x ，y )是C 2上的任意一点，则P (x ，y )关于点A (2，1)对称的点为P ′(4－x ，2－y )，代入f (x )＝x ＋1x ，可得2－y ＝4－x ＋1
4－x ，
即y ＝x －2＋
1x －4，∴g (x )＝x －2＋1
x －4
.
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧y ＝m ，y ＝x －2＋1
x －4，消去y 得x 2－(m ＋6)x ＋4m ＋9＝0，Δ＝[－(m ＋6)]2
－4(4m ＋9)， ∵直线y ＝m 与C 2只有一个交点， ∴Δ＝0，解得m ＝0或m ＝4.
当m ＝0时，经检验合理，交点为(3，0)； 当m ＝4时，经检验合理，交点为(5，4).
12.解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧（x －2）2
－1，x ∈（－∞，1]∪[3，＋∞），－（x －2）2
＋1，x ∈（1，3），
作出图象如图所示.
原方程变形为|x 2
－4x ＋3|＝x ＋a .
于是，设y ＝x ＋a ，在同一坐标系下再作出y ＝x ＋a 的图象.如图.则当直线y ＝x ＋a 过点(1，0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2
＋4x －3相切时， 由⎩
⎪⎨
⎪
⎧y ＝x ＋a ，y ＝－x 2
＋4x －3⇒x 2
－3x ＋a ＋3＝0.
由Δ＝9－4(3＋a )＝0，得a ＝－34
.
由图象知当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－34时方程至少有三个不等实根.。