【三维设计】高考数学一轮复习 第2节 函数的定义域和值域 课件

[正确解答] 由函数f(x)的值域为(－∞，0]可知，函数f(x)的最大 值为0，可求得a＝－2. [答案] C
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解析：由题意知f(x)＝xx－ 3－22，，xx∈∈[－1，2，2]1，]， 当x∈[－2,1]时，f(x)∈[－4；－1]； 当x∈(1,2]时，f(x)∈(－1,6]， ∴当x∈[－2,2]时，f(x)∈[－4,6]．
答案：[－4,6]
[冲关锦囊] 函数的值域是由其对应关系和定义域共同决定 的．常用的求解方法有 (1)基本不等式法，此时要注意其应用的条件； (2)配方法，主要适用于可化为二次函数的函数，此时要 特别注意自变量的范围；
第
第
二
二
章
节
函
函
数、
数
导
的
数
定
及
义
其
域
应
和
用
值
域
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[备考方向要明了] 考什么
1.了解定义域、值域是构成函数的要素． 2.会求一些简单函数的定义域和值域.
怎么考
函数的定义域与值域是每年高考必考的知识点之一， 考查重点是求函数的定义域和值域，近几年加强了求 已知函数的定义域与值域的考查，多与指数函数、对 数函数相关.
确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的 作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用．
2．基本初等函数的值域 (1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是 R . (2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为
{y|y≥4ac4－a b2} ；当a＜0时，值域为 {y|y≥4ac4－a b2} ．
(3)法一：(换元法)令 1－2x＝t，则t≥0且x＝1－2 t2， 于是y＝1－2 t2－t＝－12(t＋1)2＋1， 由于t≥0，所以y≤12，故函数的值域是－∞，12. 法二：(单调性法)容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足1 －2x≥0，即x≤12，所以y≤f12＝12，即函数的值域是－∞，12.
答案：B
2．(2012·烟台调研)已知函数f(x)的图象如图所示， 则函数g(x)＝log 2f(x)的定义域是________． 解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝log 2f(x)有意义，由函数f(x)的 图象，知x∈(2,8]．
答案：(2,8]
[冲关锦囊] 求具体函数y＝f(x)的定义域
[答案] C
若本例中的函数变为f(x)＝ log21 x2－x＋1 1，试求f(x)的定义域．
2
2x－1≥0，
解：由已知得2x＋1＞0，
log 1 2x＋1≠0，
2
x≥12， ∴x>－12，
2x＋1≠1.
∴x≥12.
∴f(x)的定义域为12，＋∞.
[例2] (2012·青岛模拟)已知函数f(x2－1)的定义域为[0,3]， 则函数y＝f(x)的定义域为________． [自主解答] ∵0≤x≤3， ∴0≤x2≤9， －1 ≤x2－1≤8. ∴函数y＝f(x)的定义域为[－1,8]． [答案] [－1,8]
6．(2012·烟台模拟)已知函数f(x)＝|x|＋4 2－1的定义域是 [a，b](a，b∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数 对(a，b)共有________个．
解析：由0≤|x|＋4 2－1≤1，即1≤|x|＋4 2≤2得0≤|x|≤2，满足整 数数对的有(－2,0)，(－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个．
[自主解答] (1)y＝11－ ＋xx22＝1＋2x2－1，∵1＋x2≥1， ∴0<1＋2 x2≤2. ∴－1<1＋2 x2－1≤1.即y∈(－1,1]． ∴函数的值域为(－1,1]．
(2)∵x<0，∴x＋4x＝－－x－4x≤－4， 当且仅当x＝－2时“＝”成立． ∴y∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]．
答案：C
3．函数y＝x2＋1 2的值域为
A．R
B．{y|y≥12}
C．{y|y≤12}
D．{y|0<y≤12}
解析：∵x2＋2≥2，∴0<x2＋1 2≤12.∴0<y≤12.
答案： D
()
4．(教材习题改编)函数f(x)＝ |xx|－－54的定义域为________． 解析：由|xx－|－45≥≠00， ∴x≥4且x≠5.
答案：[－1,0]
[冲关锦囊] 求解定义域为R或值域为R的函数问题时，都是依 据题意，对问题进行转化，转化为不等式恒成立问题进 行解决，而解决不等式恒成立问题，一是利用判别式法， 二是利用分离参数法，有时还可利用数形结合法．
易错矫正 乱用等价性致误
[考题范例]
(2012·海淀模拟)函数f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4的定义
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012·广东揭阳一模)函数f(x)＝ 2x－2 x－lg(x－1)的定义域
是
()
A．(0,2)
B．(1,2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，1)
解析：函数有意义需满足2x－ －x1>>00， ， 即1<x<2，所以，函数的定义域为(1,2)．
返回
5．y＝logax(a＞0且a≠1)的定义域为 (0，＋∞) ． 6．y＝tan x的定义域为 {x|x≠kπ＋π2，k∈Z} ．
7．实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有
意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．
二、函数的值域 1．在函数概念的三要素中，值域是由 定义域 和对应关系 所
答案： 5
7．(2012·合肥模拟)若函数 f(x)＝ 2x2＋2ax－a－1的定义域为 R，则 a 的取值范围为________．
解析：函数f(x)的定义域为R，所以2 x2＋2ax－a －1≥0对 x∈R恒成立，即2 x2＋2ax－a ≥1，x2＋2ax－a≥0恒成立，因 此有Δ＝(2a)2＋4a≤0，解得－1≤a≤0.
A．{－1,0,3}
B．{0,1,2,3}
C．{y|－1≤y≤3}
D．{y|0≤y≤3}
答案： A
2．(2011·广东高考)函数f(x)＝1－1 x＋lg(1＋x)的定义域是(
)
A．(－∞，－1)
B．(1，＋∞)
C．(－1,1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，＋∞)
解析：由11－ ＋xx≠ ＞00， 得x＞－1且x≠1，即函数f(x)的定义域 为(－1,1)∪(1，＋∞)．
函数给出的方式
确定定义域的方法
列表法 图象法 解析法
实际问题
表中实数x的集合 图象在x轴上的投影所覆盖实数x的集合 使解析式有意义的实数x的集合 由实际意义及使相应解析式有意义的x的 集合
[精析考题] [例 3] 求下列函数的值域． (1)y＝11－ ＋xx22； (2)y＝x＋4x(x<0)； (3)f(x)＝x－ 1－2x.
一、常见基本初等函数的定义域 1．分式函数中分母 不等于零 ． 2．偶次根式函数被开方式 大于或等于0 . 3．一次函数、二次函数的定义域均为 R . 4．y＝ax(a＞0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x，定义域均为 R .
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2021年12月 2021/12/142021/12/142021/12/1412/14/2021 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2021/12/142021/12/14December 14, 2021 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2021/12/142021/12/142021/12/142021/12/14
答案：{x|x≥4且x≠5}
5．(教材习题改编)若 x有意义，则函数y＝x2＋3x－5的值域 是________． 解析：∵ x有意义，∴x≥0. ∴y＝x2＋3x－5＝x＋322－94－5 ∴当x＝0时，ymin＝－5.
答案： [－5，＋∞)
函数的最值与值域的关系 函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也 就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值， 未必能求出函数的值域．
∴lg(x－1)∈[0,1]，即B＝{y|0≤y≤1}，A∩B＝{x|0≤x≤1}．
答案：C
4．(2012·合肥模拟)若函数y＝f(x)的值域是[1,3]，则函数
F(x)＝1－2f(x＋3)的值域是
()
A．[－5，－1]
B．[－2,0]
C．[－6，－2]
D．[1,3]
解析：∵1≤f(x)≤3，∴1≤f(x＋3)≤3，
[精析考题]
[例 1] (2011·江西高考)若 f(x)＝ log 1 12x＋1，则 f(x)的定
2
义域为
()
A.－12，0
B.－12，＋∞
C.－12，0∪(0，＋∞)
D.－12，2
[自主解答]
2x＋1>0，
由已知得
log 1 2x＋1≠0，
2
∴x>－12， 2x＋1≠1.
即x>－12且x≠0.
[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)
3．(2012·湖北联考)函数f(x)＝ 1－x 的定义域为A，函数g(x)＝
lg(x－1)，x∈[2,11]的值域为B，则A∩B为
()
A．(－∞，1]
B．(－∞，1)
C．[0,1]
D．[0,1)
解析：由题知A＝{x|x≤1}，∵x∈[2,11]，则x－1∈[1,10]．
(3)图象法，对于容易画出图形的函数最值问题可借助图 象直观求出；
(4)换元法，用换元法时一定要注意新变元的范围； (5)单调性法，要注意函数的单调性对函数最值的影响，
特别是闭区间上的函数的最值问题； (6)导数法.
[精析考题]
[例 4] (2011·湖南高考)已知函数 f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2
域为R，值域为(－∞，0]，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，2)
B．(－∞，－2)
C．{－2}
D．[－2,2]
[失误展板] 错解：函数 f(x)＝(a－2)x2＋2(a－2)x－4 的值域为(－∞，0]，
即 f(x)≤0 恒成立．
∴aΔ<≤2，0， 解之，得－2≤a<2，故选 D.
错因：错解中误认为值域为(－∞，0 ]等价于 f(x)≤0 恒成立，其实不 然，若 f(x)的值域为(－∞，0]，则函数 f(x)的最大值为 0，而 f(x)≤0 恒成立，则不一定有函数 f(x)的最大值为 0.
－6≤－2f(x＋3)≤－2，－5≤1－2f(x＋3)≤－1.
∴－5≤F(x)≤－1，即函数F(x)的值域是[－5，－1]．
答案：A
5．(2012·海口模拟)在实数的原有运算中，我们定义新 运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时， a⊕b＝b2.设函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]， 则函数f(x)的值域为________．
(3)y＝kx(k≠0)的值域是 {y|y≠0} ． (4)y＝ax(a>0 且 a≠1)的值域为{y|y>0} ． (5)y＝logax(a>0 且 a≠1)的值域是R . (6)y＝sinx，y＝cosx 的值域是 [－1,1] ． (7)y＝tanx 的值域是 R .
1．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为( )
＋4x－3.若有 f(a)＝g(b)，则 b 的取值范围为
()
A．[2－ 2，2＋ 2] B．(2－ 2，2＋ 2)
C．[1,3]
D．(1,3)
[自主解答] f(a)的值域为(－1，＋∞)，由－b2＋4b－3>－1解得 2－ 2<b<2＋ 2.
[答案] B
[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)