2020衡水中学高考数学二轮复习专题练习：第十章 推理证明、算法、复数

1.(2018·山东)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是()

A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根

B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根

C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根

D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根

2．(2019·山东)观察下列各式：

C01＝40；

C03＋C13＝41;

C05＋C15＋C25＝42；

C07＋C17＋C27＋C37＝43；

……

照此规律，当n∈N*时，C02n

－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－1

2n－1

＝

________．

3．(2019·福建)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n(n∈N*)，其中x k(k＝1，2，…，n)称为第k位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．

已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组：

⎩⎪

⎨

⎪⎧x4⊕x5⊕x6⊕x7＝0，

x2⊕x3⊕x6⊕x7＝0，

x1⊕x3⊕x5⊕x7＝0，

其中运算⊕定义为0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0.

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于________．4．(2018·

安徽)如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝22，过点A 作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________．

5．(2018·福建)若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：

①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________．

6．(2018·陕西)观察分析下表中的数据：

多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)

三棱柱569

五棱锥6610

立方体6812

猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．

7．(2018·重庆)设a1＝1，a n＋1＝a2n－2a n＋2＋b(n∈N*)．

(1)若b＝1，求a2，a3及数列{a n}的通项公式；

(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n＜c＜a2n＋1对所有n∈N*成立？证明你的结论．

考点35 推理与证明、数学归纳法

一年模拟试题精练

1．(2019·陕西师大附中模拟)观察下列等式：

13＋23＝1，73＋83＋103＋113＝12，163＋173＋193＋203＋223＋233＝39，

…，则当n ＜m 且m ，n ∈N 时，3n ＋13＋3n ＋23＋…＋3m －23＋3m －13＝

________．(最后结果用m ，n 表示)

2．(2019·湖北黄冈模拟)对于集合N ＝{1，2，3，…，n }和它的每一个非空子集，定义一种求和称之为“交替和”如下：如集合{1，2，3，4，5}的交替和是5－4＋3－2＋1＝3，集合{3}的交替和为3. 当集合N 中的n ＝2时，集合N ＝{1，2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1，2}，则它的“交替和”的总和S 2＝1＋2＋(2－1)＝4，请你尝试对n ＝3，n ＝4的情况，计算它的“交替和”的总和S 3, S 4，并根据计算结果猜测集合N ＝{1，2，3，…，n }的每一个非空子集的“交替和”的总和S n ＝________ (不必给出证明)．

3．(2019·山东威海模拟)对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数

进行以下方式的“分裂”23⎩⎨⎧35，33⎩⎨⎧7911，43

⎩⎨⎧131517

19

，…仿此，若m 3的“分裂”数中有一个是2 015，则m 的值为________．

4．(2019·湖北七市模拟)将长度为l (l ≥4，l ∈N *)的线段分成n (n ≥3)段，每段长度均为正整数，并要求这n 段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当l ＝4时，只可以分为长度分别为1，1，2的三段，

此时n 的最大值为3；当l ＝7时，可以分为长度分别为1，2，4的三段或长度分别为1，1，1，3的四段，此时n 的最大值为4.则：

(1)当l ＝12时，n 的最大值为________；

(2)当l ＝100时，n 的最大值为________．

5．(2019·广东模拟)已知n ，k ∈N * ，且k ≤n ，k C k n ＝n C k －1n －1，则

可推出C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋k C k n ＋…＋n C n n ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…C k －1n －1

＋…C n －1n －1)＝n ·2n －1，由此，可推出C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋k 2C k n ＋…＋n 2C n n ＝________.

6．(2019·山东日照模拟)已知

2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝44

15，…，若7＋a b ＝7a

b ，(a 、b 均为正实数)，则

类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝________．

7．(2019·安徽淮南模拟)已知函数f 1(x )＝

2x ＋1

，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x ))，且a n ＝f n （0）－1f n （0）＋2

. (1)求证：{a n }为等比数列，并求其通项公式；

(2)设b n ＝（－1）n －12a n ，g (n )＝1＋12＋13＋ (1)

(n ∈N *)，求证：g (b n )≥n ＋22.