应力波基础 PPT
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空间坐标中观察应力波传播，t时刻波阵面传播到空间
点x，以x=j(t)表示波阵面在空间坐标中的传播规律，则
c
dx dt
w
j (t )
2.1 物质坐标和空间坐标
二、两类坐标描述质点物理量
6．随波微商(第三种时间微商)
随波阵面观察任一物理量y
对时间t的总变化率
dw dt
W
2u t 2
C2
2u X 2
0
以位移u为未知函数 的二阶偏微分方程
2.2 物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
三、讨论
1．平面假定(一维假定)的讨论 忽略质点横向运动的惯性效应； 质点横向运动导致应力分布的不均匀及横 截面的非平面性； 波长远大于杆横向尺寸时，近似满足—— 初等理论或工程理论。
应力波基础
目录 第一章 绪论 第二章 一维杆中应力波的初等理论 第三章 弹性波的相互作用
第一章 绪 论
一、高速加载的特点
1．静态和动态载荷下物体的力学响应不同 1)材料力学实验的要求； 2)Hopkinson重物下落实验； 3)动载荷下玻璃的破坏——穿洞不裂、背面脱落
(层裂)； 4)碎甲弹与穿甲弹；
X
t
v
X t
2.2 物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
二、控制方程
3．运动方程
R
规定：s和拉为 P(X)
正，v沿X轴正向 为正
dX X
P( X dX , t) P( X , t) P( X , t) dX X
牛顿第二定律
S P(X+dX) X
X+dX
0 A0dX
波的传播、反射、透射、相互作用
第一章 绪论
一、高速加载的特点
3．高应变率材料力学行为的变化 1)高速加载——高加载率(高应变率)；
2)应变率：物体单位时间内发生的应变，准静态 试验10-6~10-2/s，冲击下102～107/s
3)高应变率下，材料弹性变形可看成瞬态响应， 变化很小，其它非弹性或断裂行为都是应变率 相关的，简称率相关力学行为。随应变率提高， 材料屈服极限、强度极限提高，延伸率降低， 屈服滞后和断裂滞后等。
二、两类坐标描述质点物理量
3．物理量在两类坐标间的转换 f ( x, t) F[X ( x, t), t]
F ( X , t) f [x( X , t), t]
4．两类时间微商
1)空间微商(Euler微商)——给定空间位置x上量y
对时间t的变化率
y
t
f
( x, t
t
)
2.1 物质坐标和空间坐标
二、两类坐标描述质点物理量
1．物质坐标(Lagrange法) 随介质中固定质点观察物质的运动，研究给 定质点上各物理量随时间的变化，以及这些 量由一质点到其他质点时的变化。即把物理
量y 看作质点X和时间t的函数 y F(X,t)
X——Lagrange坐标或物质坐标
2.1 物质坐标和空间坐标
2．应变率无关假定
应力s只是应变的单值函数，即材料本构关 系可写成 s s ( ) (绝热方程)
2.2 物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
二、控制方程
1．基本方程 运动学条件(连续方程或质量守恒方程)； 动力学条件(运动方程或动量守恒方程)； 材料本构关系(物性方程)。
2．连续方程
轴向应变 u 质点速度 v u
2.1 物质坐标和空间坐标
一、描述质点空间位置的方法
1．构形 将物体看作由连续质点构成的系统，各质点 在一定时刻的相互位置配置
2．描述质点空间位置的两类坐标系 1)质点X，空间位置x，由质点得到其空间位置
x x(X , t) 固定X——同一质点随时间运动，即其空间位
置随时间变化；
固定t——同一时间各质点的空间位置；
t
X
v
X t
以和v为未知函数的
一阶偏微分方程组
2.2 物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
二、控制方程
5．控制方程
2)消去
v X
t
d ds
s
t
1
C 20
s
t
s
t
0C
2
v X
以s和v为未知函数的
s
X
0
v t
一阶偏微分方程组
3)波动方程—1)式中代入和v的表达式
应，导致应力波传播。
核爆：几ms内中心压力达到107～108 大气压(103～ 104 GPa)量级；
子弹打击：102～103 m/s，历时几十ms，接触面压 力达104～105大气压(1～10 GPa)量级；
波的产生：一质点运动，与周围发生相对变形， 带动周围质点运动，由于惯性后质点的运动落后 于前质点，扰动逐渐传播出去——波，如抖绳、 水波、声波等。
当y 为质点空间位置x(X，t)，有
则有
x X
t
(1 )
——工程应变
c v 1 C
在初始质点速度和初始应变为零的介质中传 播的平面波，空间波速和物质波速相同。
2.2 物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
一、两个基本假定
1．平面假定(一维假定) 杆在变形时横截面保持为平面，沿截面只有 均布的轴向应力。于是各运动参量都只是x和 t的函数，整个问题简化为一维问题。
1)空间坐标
dy
dt
W
y
t
x
c
y
x
t
2)物质坐标
dy
dt
W
y
t
X
C
y
X
t
2.1 物质坐标和空间坐标
二、两类坐标描述质点物理量
6．随波微商(第三种时间微商)
3)空间波速c和物质波速C间关系
第一章 绪论
一、高速加载的特点
1．静态和动态载荷下物体的力学响应不同 5)厚壁圆筒在爆炸载荷下的破坏； 6)物体静态载荷作用下的均匀变形与高速载荷
作用下的不均匀变形。
2．静力学理论与动力学理论的区别
1)静力学：忽略惯性效应，认为物体各质点同 时受力
第一章 绪论
一、高速加载的特点
2．静力学理论与动力学理论的区别 2)动力学：短历时(ms以下)，不可忽略惯性效
的研究，材料在高应变率下的力学性能和本构 关系的研究，动态断裂的研究，以及高能量密 度粒子束如电子束、x射线、激光等对材料的作 用的研究。
4．本课程讨论的内容
一维杆中应力波的初等理论，弹性波，建 立SHPB实验的理论基础。
第二章 一维杆中应力波的初等理论
2.1 物质坐标和空间坐标 2.2 物质坐标描述的杆中纵波的控制方程 2.3 特征线和特征线上相容关系 2.4 半无限长杆中的弹塑性加载纵波 2.6 强间断和弱间断，冲击波和连续波 2.7 波阵面上的守恒条件 2.8 横向惯性引起的弥散效应
2.1 物质坐标和空间坐标
一、描述质点空间位置的方法
2．描述质点空间位置的两类坐标系 2)由质点空间位置确定质点
X X(x,t) 3)命名质点方法：时刻t0质点空间位置x0命名质
点，记为X，则 X X ( x0, t0 )
x x( X , t) x( X ( x0, t0 ), t) ——(x,t)与(x0,t0)关系
x
f
xX
x
,
t
,
t
t
x t
X
f
x,
t
t
x
f
x,
x
tБайду номын сангаас
t
x t
X
既考虑空间位置x对t的导数，也考虑物理量对t的
导数，是全微分
2.1 物质坐标和空间坐标
二、两类坐标描述质点物理量
4．两类时间微商
第一章 绪论
一、高速加载的特点
3．高应变率材料力学行为的变化 4)热力学机理：静态——等温过程(等温曲线)，
高应变率——绝热过程(绝热曲线，热力耦合， 如冲击相变)
第一章 绪论
二、应力波研究内容
1．应力波研究中的两类问题 1)已知材料动态力学性能，在给定外载荷条件下
研究介质的运动——应力波传播规律的研究(正 问题)。
二、两类坐标描述质点物理量
2．空间坐标(Euler法)
固定空间点观察物质的运动，研究给定空间 点上不同时刻到达该点的不同质点的各物理 量随时间的变化，以及这些量由一空间点转
到其他空间点时的变化，即把物理量y 看作
空间点x和时间t的函数
y f (x,t)
x——Euler坐标或空间坐标
2.1 物质坐标和空间坐标
三个未知函数s(X,t)，(X,t)和v(X,t)。
2.2 物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
二、控制方程
5．控制方程
若s()连续可微，设其一阶导数＞0，引入
C 2 1 ds ，(ds 0) 0 d d
1)消去s
0
v t
s
X
ds d
X
C 20
X
v C 2
敏感材料；应变率对材料力学性能的影响不显 著——应变率不敏感材料。
2)应变率无关理论：近似假定材料本构关系与应 变率无关建立的应力波理论，包括线弹性波、 非线性弹性波、塑性波理论等。
3)应变率相关理论：考虑材料本构关系应变率相 关性建立的应力波理论，包括粘弹性波、粘弹 塑性波、弹粘塑性波理论。
第一章 绪论
2)借助应力被传播的分析研究材料本身在高应变 率下的动态力学性能——材料动态力学性能或 本构关系的研究(反问题)。
3)问题的矛盾，研究应力波传播基于材料动态力 学性能，研究材料动态力学性能需要应力波传 播知识(狗咬尾巴)。
第一章 绪论
二、应力波研究内容
2．两类理论 1)应变率对材料力学性能的影响显著——应变率
第一章 绪论
一、高速加载的特点
2．静力学理论与动力学理论的区别 3)波的几个概念
波阵面：扰动区域与未扰动区域的界面
波速：波阵面传播速度，不是质点运动速度。
纵波与横波：波阵面与质点运动方向一致——纵 波，波阵面与质点运动方向垂直——横波。
波阵面形状：平面波(一维)；柱面波、球面波(二、 三维)。
v
x t
X
dx dt
dy y v y
dt t x
若y =v：物质微商是质点加速度a
a
v
t
X
dv dt
a v v v t x
第一项是质点速度在空间位置x处对时间t的变化率，
称为局部加速度，在定常场中此项为零；
第二项是质点速度由于空间位置改变而引起的时间 变化率，称为迁移加速度，在均匀场中此项为零。
2.3 特征线和特征线上相容关系
一、相关概念
2．波动方程的求解方法——特征线法 特征线法是解双曲线型P．D．E的一种方 法——将两个自变量的P．D．E转化为特 征线上的常微分方程。
v t
P(X
dX , t)
P(X
,t)
P X
dX
s P
A0
0
v t
s
X
2.2 物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
二、控制方程
4．所有基本方程
1)连续方程
v
X t
2)运动方程
0
v t
s
X
3)材料本构关系 s s ( )
杆中纵向应力波的传播问题就是从这些基本 方程，按给定的初始条件和边界条件来求解
2.1 物质坐标和空间坐标
二、两类坐标描述质点物理量
5．两类波速 1)物质波速(Lagrange波速)，或内禀波速
物质坐标中观察应力波传播，t时刻波阵面传播到质点
X，以X=F(t)表示波阵面在物质坐标中的传播规律，则
C dX (t)
dt W 2)空间波速(Euler波速)
二、应力波研究内容
3．应力波的应用 1)地震研究；
2)工程爆破，爆炸加工，爆炸合成；
3)超声波和声发射技术，机械设备的冲击强度， 工程结构建筑的动态响应，武器效应；
4)微陨石和雨雪冰沙等对飞行器的高速撞击，地 球和月球表面的陨星坑的研究；
第一章 绪论
二、应力波研究内容
3．应力波的应用 5)动态高压下材料力学性能、电磁性能和相变等
x
不考虑空间位置x对t的导数，所以是偏导数
2.1 物质坐标和空间坐标
二、两类坐标描述质点物理量
4．两类时间微商
1)物质微商(Lagrange微商)，或随体微商——给
定质点X来观察的量y 对时间t的变化率
dy
dt
F
(X t
,
t)
X
dy
dt
f
xX
t
,
t
,
t
2．应变率无关假定的讨论 不是应变率无关材料或弹性响应才适用； 理解为材料在某一应变率范围平均概念的动 态应力应变关系，即反映了应变率影响。
2.3 特征线和特征线上相容关系
一、相关概念
1．波动方程的特点 应力只是应变的函数，则C2只是应变的函 数，波动方程是两个自变量的二阶拟线性 偏微分方程(P．D．E)。 特殊情况下，应力是应变的线性函数，则 C2是常数——线性P．D．E。 仅考虑应力随应变单调递增——双曲线型 P．D．E。
点x，以x=j(t)表示波阵面在空间坐标中的传播规律，则
c
dx dt
w
j (t )
2.1 物质坐标和空间坐标
二、两类坐标描述质点物理量
6．随波微商(第三种时间微商)
随波阵面观察任一物理量y
对时间t的总变化率
dw dt
W
2u t 2
C2
2u X 2
0
以位移u为未知函数 的二阶偏微分方程
2.2 物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
三、讨论
1．平面假定(一维假定)的讨论 忽略质点横向运动的惯性效应； 质点横向运动导致应力分布的不均匀及横 截面的非平面性； 波长远大于杆横向尺寸时，近似满足—— 初等理论或工程理论。
应力波基础
目录 第一章 绪论 第二章 一维杆中应力波的初等理论 第三章 弹性波的相互作用
第一章 绪 论
一、高速加载的特点
1．静态和动态载荷下物体的力学响应不同 1)材料力学实验的要求； 2)Hopkinson重物下落实验； 3)动载荷下玻璃的破坏——穿洞不裂、背面脱落
(层裂)； 4)碎甲弹与穿甲弹；
X
t
v
X t
2.2 物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
二、控制方程
3．运动方程
R
规定：s和拉为 P(X)
正，v沿X轴正向 为正
dX X
P( X dX , t) P( X , t) P( X , t) dX X
牛顿第二定律
S P(X+dX) X
X+dX
0 A0dX
波的传播、反射、透射、相互作用
第一章 绪论
一、高速加载的特点
3．高应变率材料力学行为的变化 1)高速加载——高加载率(高应变率)；
2)应变率：物体单位时间内发生的应变，准静态 试验10-6~10-2/s，冲击下102～107/s
3)高应变率下，材料弹性变形可看成瞬态响应， 变化很小，其它非弹性或断裂行为都是应变率 相关的，简称率相关力学行为。随应变率提高， 材料屈服极限、强度极限提高，延伸率降低， 屈服滞后和断裂滞后等。
二、两类坐标描述质点物理量
3．物理量在两类坐标间的转换 f ( x, t) F[X ( x, t), t]
F ( X , t) f [x( X , t), t]
4．两类时间微商
1)空间微商(Euler微商)——给定空间位置x上量y
对时间t的变化率
y
t
f
( x, t
t
)
2.1 物质坐标和空间坐标
二、两类坐标描述质点物理量
1．物质坐标(Lagrange法) 随介质中固定质点观察物质的运动，研究给 定质点上各物理量随时间的变化，以及这些 量由一质点到其他质点时的变化。即把物理
量y 看作质点X和时间t的函数 y F(X,t)
X——Lagrange坐标或物质坐标
2.1 物质坐标和空间坐标
2．应变率无关假定
应力s只是应变的单值函数，即材料本构关 系可写成 s s ( ) (绝热方程)
2.2 物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
二、控制方程
1．基本方程 运动学条件(连续方程或质量守恒方程)； 动力学条件(运动方程或动量守恒方程)； 材料本构关系(物性方程)。
2．连续方程
轴向应变 u 质点速度 v u
2.1 物质坐标和空间坐标
一、描述质点空间位置的方法
1．构形 将物体看作由连续质点构成的系统，各质点 在一定时刻的相互位置配置
2．描述质点空间位置的两类坐标系 1)质点X，空间位置x，由质点得到其空间位置
x x(X , t) 固定X——同一质点随时间运动，即其空间位
置随时间变化；
固定t——同一时间各质点的空间位置；
t
X
v
X t
以和v为未知函数的
一阶偏微分方程组
2.2 物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
二、控制方程
5．控制方程
2)消去
v X
t
d ds
s
t
1
C 20
s
t
s
t
0C
2
v X
以s和v为未知函数的
s
X
0
v t
一阶偏微分方程组
3)波动方程—1)式中代入和v的表达式
应，导致应力波传播。
核爆：几ms内中心压力达到107～108 大气压(103～ 104 GPa)量级；
子弹打击：102～103 m/s，历时几十ms，接触面压 力达104～105大气压(1～10 GPa)量级；
波的产生：一质点运动，与周围发生相对变形， 带动周围质点运动，由于惯性后质点的运动落后 于前质点，扰动逐渐传播出去——波，如抖绳、 水波、声波等。
当y 为质点空间位置x(X，t)，有
则有
x X
t
(1 )
——工程应变
c v 1 C
在初始质点速度和初始应变为零的介质中传 播的平面波，空间波速和物质波速相同。
2.2 物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
一、两个基本假定
1．平面假定(一维假定) 杆在变形时横截面保持为平面，沿截面只有 均布的轴向应力。于是各运动参量都只是x和 t的函数，整个问题简化为一维问题。
1)空间坐标
dy
dt
W
y
t
x
c
y
x
t
2)物质坐标
dy
dt
W
y
t
X
C
y
X
t
2.1 物质坐标和空间坐标
二、两类坐标描述质点物理量
6．随波微商(第三种时间微商)
3)空间波速c和物质波速C间关系
第一章 绪论
一、高速加载的特点
1．静态和动态载荷下物体的力学响应不同 5)厚壁圆筒在爆炸载荷下的破坏； 6)物体静态载荷作用下的均匀变形与高速载荷
作用下的不均匀变形。
2．静力学理论与动力学理论的区别
1)静力学：忽略惯性效应，认为物体各质点同 时受力
第一章 绪论
一、高速加载的特点
2．静力学理论与动力学理论的区别 2)动力学：短历时(ms以下)，不可忽略惯性效
的研究，材料在高应变率下的力学性能和本构 关系的研究，动态断裂的研究，以及高能量密 度粒子束如电子束、x射线、激光等对材料的作 用的研究。
4．本课程讨论的内容
一维杆中应力波的初等理论，弹性波，建 立SHPB实验的理论基础。
第二章 一维杆中应力波的初等理论
2.1 物质坐标和空间坐标 2.2 物质坐标描述的杆中纵波的控制方程 2.3 特征线和特征线上相容关系 2.4 半无限长杆中的弹塑性加载纵波 2.6 强间断和弱间断，冲击波和连续波 2.7 波阵面上的守恒条件 2.8 横向惯性引起的弥散效应
2.1 物质坐标和空间坐标
一、描述质点空间位置的方法
2．描述质点空间位置的两类坐标系 2)由质点空间位置确定质点
X X(x,t) 3)命名质点方法：时刻t0质点空间位置x0命名质
点，记为X，则 X X ( x0, t0 )
x x( X , t) x( X ( x0, t0 ), t) ——(x,t)与(x0,t0)关系
x
f
xX
x
,
t
,
t
t
x t
X
f
x,
t
t
x
f
x,
x
tБайду номын сангаас
t
x t
X
既考虑空间位置x对t的导数，也考虑物理量对t的
导数，是全微分
2.1 物质坐标和空间坐标
二、两类坐标描述质点物理量
4．两类时间微商
第一章 绪论
一、高速加载的特点
3．高应变率材料力学行为的变化 4)热力学机理：静态——等温过程(等温曲线)，
高应变率——绝热过程(绝热曲线，热力耦合， 如冲击相变)
第一章 绪论
二、应力波研究内容
1．应力波研究中的两类问题 1)已知材料动态力学性能，在给定外载荷条件下
研究介质的运动——应力波传播规律的研究(正 问题)。
二、两类坐标描述质点物理量
2．空间坐标(Euler法)
固定空间点观察物质的运动，研究给定空间 点上不同时刻到达该点的不同质点的各物理 量随时间的变化，以及这些量由一空间点转
到其他空间点时的变化，即把物理量y 看作
空间点x和时间t的函数
y f (x,t)
x——Euler坐标或空间坐标
2.1 物质坐标和空间坐标
三个未知函数s(X,t)，(X,t)和v(X,t)。
2.2 物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
二、控制方程
5．控制方程
若s()连续可微，设其一阶导数＞0，引入
C 2 1 ds ，(ds 0) 0 d d
1)消去s
0
v t
s
X
ds d
X
C 20
X
v C 2
敏感材料；应变率对材料力学性能的影响不显 著——应变率不敏感材料。
2)应变率无关理论：近似假定材料本构关系与应 变率无关建立的应力波理论，包括线弹性波、 非线性弹性波、塑性波理论等。
3)应变率相关理论：考虑材料本构关系应变率相 关性建立的应力波理论，包括粘弹性波、粘弹 塑性波、弹粘塑性波理论。
第一章 绪论
2)借助应力被传播的分析研究材料本身在高应变 率下的动态力学性能——材料动态力学性能或 本构关系的研究(反问题)。
3)问题的矛盾，研究应力波传播基于材料动态力 学性能，研究材料动态力学性能需要应力波传 播知识(狗咬尾巴)。
第一章 绪论
二、应力波研究内容
2．两类理论 1)应变率对材料力学性能的影响显著——应变率
第一章 绪论
一、高速加载的特点
2．静力学理论与动力学理论的区别 3)波的几个概念
波阵面：扰动区域与未扰动区域的界面
波速：波阵面传播速度，不是质点运动速度。
纵波与横波：波阵面与质点运动方向一致——纵 波，波阵面与质点运动方向垂直——横波。
波阵面形状：平面波(一维)；柱面波、球面波(二、 三维)。
v
x t
X
dx dt
dy y v y
dt t x
若y =v：物质微商是质点加速度a
a
v
t
X
dv dt
a v v v t x
第一项是质点速度在空间位置x处对时间t的变化率，
称为局部加速度，在定常场中此项为零；
第二项是质点速度由于空间位置改变而引起的时间 变化率，称为迁移加速度，在均匀场中此项为零。
2.3 特征线和特征线上相容关系
一、相关概念
2．波动方程的求解方法——特征线法 特征线法是解双曲线型P．D．E的一种方 法——将两个自变量的P．D．E转化为特 征线上的常微分方程。
v t
P(X
dX , t)
P(X
,t)
P X
dX
s P
A0
0
v t
s
X
2.2 物质坐标描述的杆中纵波的控制方程
二、控制方程
4．所有基本方程
1)连续方程
v
X t
2)运动方程
0
v t
s
X
3)材料本构关系 s s ( )
杆中纵向应力波的传播问题就是从这些基本 方程，按给定的初始条件和边界条件来求解
2.1 物质坐标和空间坐标
二、两类坐标描述质点物理量
5．两类波速 1)物质波速(Lagrange波速)，或内禀波速
物质坐标中观察应力波传播，t时刻波阵面传播到质点
X，以X=F(t)表示波阵面在物质坐标中的传播规律，则
C dX (t)
dt W 2)空间波速(Euler波速)
二、应力波研究内容
3．应力波的应用 1)地震研究；
2)工程爆破，爆炸加工，爆炸合成；
3)超声波和声发射技术，机械设备的冲击强度， 工程结构建筑的动态响应，武器效应；
4)微陨石和雨雪冰沙等对飞行器的高速撞击，地 球和月球表面的陨星坑的研究；
第一章 绪论
二、应力波研究内容
3．应力波的应用 5)动态高压下材料力学性能、电磁性能和相变等
x
不考虑空间位置x对t的导数，所以是偏导数
2.1 物质坐标和空间坐标
二、两类坐标描述质点物理量
4．两类时间微商
1)物质微商(Lagrange微商)，或随体微商——给
定质点X来观察的量y 对时间t的变化率
dy
dt
F
(X t
,
t)
X
dy
dt
f
xX
t
,
t
,
t
2．应变率无关假定的讨论 不是应变率无关材料或弹性响应才适用； 理解为材料在某一应变率范围平均概念的动 态应力应变关系，即反映了应变率影响。
2.3 特征线和特征线上相容关系
一、相关概念
1．波动方程的特点 应力只是应变的函数，则C2只是应变的函 数，波动方程是两个自变量的二阶拟线性 偏微分方程(P．D．E)。 特殊情况下，应力是应变的线性函数，则 C2是常数——线性P．D．E。 仅考虑应力随应变单调递增——双曲线型 P．D．E。