安徽省淮北市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题含答案

安徽省淮北市第一中学2016—2017学年高一下学期
第一次月考数学试题
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1。

设集合2
{|4}A x Z x =∈≤，{|1}B x x =>-，则A
B =（ ）
A ． {0,1}
B ．(1,2]-
C ．{0,1,2}
D ．{1,0,1}- 2。

设{A =小于90的角}，{B =第一象限角}，则A B =（ )
A ．{锐角｝
B ．｛小于90的角}
C ．{第一象限角｝
D ．{|36036090,0}k k k Z k αα<<+∈≤且
3.始边与x 轴正半轴重合，终边所在直线与y 轴夹角为6
π
的角的集合是（ ） A ．{|,}6k k Z πααπ=±∈ B ．{|,}3k k Z π
ααπ=±∈
C ．{|2,}6k k Z πααπ=±∈
D ．{|2,}3
k k Z π
ααπ=±∈
4。

要使1
()3
x g x t +=+的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为（ ）
A ．1t ≤-
B ．1t <- C. 3t ≤- D ．3t ≥- 5.若08
π
θ-
<<,则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系（ ）
A ．sin cos tan θθθ<<
B ．sin tan cos θθθ<< C. tan sin cos θθθ<< D ．以上都不是
6.一个几何体的三视图如图所示，其表面积为62ππ+，则该几何体的体积为( ）
A ．4π
B ．2π
C 。

11
3
π D ．3π 7。

设函数()sin()(0,)2
2
f x x π
π
ωϕωϕ=+>-<<
的最小正周期为π，且图象关于直线23
x π
=
对称，则它的一个对称中心的坐标是( ）
A ．(,0)12π-
B ．(,0)12π
C 。

(,0)6π-
D ．(,0)6
π
8.函数cos sin y x x x =+的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C 。

D ．
9。

已知sin α是方程2
5760x x --=的根，且α是第三象限角,则
233sin()cos()tan ()22cos()sin()
22
ππ
ααπαππαα--
--=-+（ ） A ．
916 B ．916- C. 34 D ．3
4
- 10。

AOB ∠如图，
O 与x 轴的正半轴交点为A ，点,B C 在O 上,且34
(,)55
B -，点
C 在第一象限，
AOC α∠=,1BC =，则5cos()6
π
α-=（ )
A ．45-
B ．35- C. 35 D ．45
11.已知函数()y f x =是(1,1)-上的偶函数,且在区间(1,0)-单调递增，,,A B C 是锐角ABC ∆的三个内角，则下列不等式中一定成立的是（ )
A ．(sin )(cos )f A f A >
B ．(sin )(cos )f A f B > C. (cos )(sin )f
C f B >
D ．(sin )(cos )f C f B >
12.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数,当0x ≥时，5
sin(),0142
()1()1,14
x x x f x x π⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩，若关于x 的方程
2[()]()0(,)f x af x b a b R ++=∈有且仅有6个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ )
A ．
59(,)24-- B ．9(,1)4-- C. 59(,)
24
--9(,1)4-- D ．5
(,1)2
-- 二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知3cos(
)6
3π
α+=
，则5cos()6
π
α-的值为 ． 14.函数2()tan 14f x x x =
-+-的定义域为 ．
15。

一圆内切于一圆心角为3
π
，半径为R 的扇形,则该圆的面积该与扇形的面积之比为 ． 16.已知函数sin (0)2
a y a π
=>在区间(0,1)内至少取得两次最小值，且至多取得三次最大值，则a 的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17。

（1）已知角α终边上一点(4,3)P -，求cos()sin()
2119cos()sin()
22
π
απαππαα+---+的值． (2)设k 为整数，化简
sin()cos[(1)]sin[(1)]cos()
k k k k παπαπαπα-+--++．
18。

如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ,BE BC =,F 为CE 上的一点,且BF ⊥平面ACE ．
(1）求证：AE BE ⊥； （2)求证：//AE 平面BFD ．
19。

若函数2
cos sin y x a x b =-+的最大值为0，最小值为—4，试求a 与b 的值，并求使y 取得最大值和最小值时的x 值．
20. 设函数()f x 的定义域是(0,)+∞,且对任意的正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+恒成立，已知(2)1f =，且
1x >时,()0f x >．
（1）求1()2
f 的值；
（2）判断()y f x =在(0,)+∞上的单调性，并给出你的证明； （3）解不等式2
()(86)1f x f x >--．
21. 已知圆2
2
:2430C x y x y ++-+=．
(1)若圆C 的切线在x 轴和y 轴上的截距相等,求此切线的方程；
（2）从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线,切点为M ，O 为坐标原点，且有||||PM PO =，求使得||PM 取得最小值的点P 的坐标．
22。

定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈,存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立,则称()f x 是D 上的有界函数，其中D 称为()f x 的上界，已知函数11()1()()2
4
x
x
f x a =++．
(1）当1a =时，求函数()f x 在(,0)-∞上的值域，并判断函数()f x 在(,0)-∞上是否有上界，请说明理由； (2)若函数()f x 在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．
淮北一中2016-2017学年高一下学期
答案和解析
【答案】
1。

C 2.D 3。

B 4。

C 5.C 6。

D 7。

A 8。

D 9.B 10。

A 11.C 12.C
13. 14。

[2,)[,)242πππ-- 15.2：3 16. (7,13]
17.解：（1）∵角α终边上一点(4,3)P -, ∴4x =-,3y =,||5r OP ==，3sin 5y r α=
=，4
cos 5
x r α==-， ∴
cos()sin()
sin sin sin sin sin 32119sin cos cos 4cos()sin()cos()sin()2222
π
απααααααππππααααααα+----====---+++. （2)因为()[(1)]2k k k παπαππ-+-+=-，k Z ∈
()[(1)]2k k k παπαππ+++-=+，k Z ∈
原式=
sin()cos[(1)]sin[(1)]cos()k k k k παπαπαπα-+--++sin cos 1sin (cos )
αα
αα==--
18.解：（1)证明：∵平面ABCD ⊥平面ABE ,平面ABCD 平面ABE AB =，AD AB ⊥，
∴AD ⊥平面ABE ,AD AE ⊥． ∵//AD BC ，则BC AE ⊥． 又BF ⊥平面ACE ,则BF AE ⊥． ∵BC
BF B =，∴AE ⊥平面BCE ，∴AE BE ⊥.
(2）设AC BD G =,连接FG ,易知G 是AC 的中点，
∵BF ⊥平面ACE ,则BF CE ⊥． 而BC BE =，∴F 是EC 中点． 在ACE ∆中,//FG AE ，
∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ， ∴//AE 平面BFD ．
19。

解:2
()cos sin f x y x a x b ==-+ 2
sin sin 1x a x b =--++22(sin )124
a a x
b =-++++，
令sin t x =，11t -≤≤ ，则2
2()124
a a y t
b =-++++，
(i ）当12a
≤-，即2a ≤-时，min max
(1)4(1)0y f a b y f b a =-=+=-⎧⎨==-=⎩,解得22a b =-⎧⎨=-⎩，
（ii ）当102
a
-<-
≤，即02a ≤<时 2
max min
()10
24(1)4a a y f b y f b a ⎧==++=⎪⎨
⎪==-=-⎩
解得22a b =⎧⎨=-⎩(舍去）或6
10
a b =-⎧⎨=-⎩（舍去)
（iii ）当012
a
<-<,即20a -<<时，
2
max min
()10
24(1)4a a y f b y f b a ⎧==++=⎪⎨
⎪=-=+=-⎩
解得22a b =-⎧⎨
=-⎩（舍)或6
10
a b =⎧⎨
=-⎩(舍） (iv ）当12
a
-
≤-,即2a ≥时， max (1)0y f a b =-=+=，max (1)4y f b a ==-=- 解得22a b =⎧⎨=-⎩
，
综上，22a b =⎧⎨
=-⎩,2
2a b =-⎧⎨=-⎩
∴当2,2a b ==-时，22
()cos 2sin 2(sin 1)f x x x x =--=-+
若2()2
x k k Z π
π=
+∈时， y 取得最小值；若2()2
x k k Z π
π=-
+∈时，y 取得最大值.
当2,2a b =-=-时， 2
2
()cos 2sin 2(sin 1)f x x x x =+-=-- 若2()2
x k k Z π
π=-
+∈, y 取得最小值；若2()2
x k k Z π
π=
+∈时， y 取得最大值。

20。

解：(1)令1x y ==,则可得(1)0f =, 再令12,2x y ==
,得1(1)(2)()2f f f =+，故1
()12
f =- (2）设120x x <<，则2
121
()(
)()x f x f f x x += 即2
211
()()(
)x f x f x f x -=, ∵
211x x >，故21
()0x
f x >，即21()()f x f x >, 故()f x 在(0,)+∞上为增函数
(3）由2
()(86)1f x f x >--得2
11()(86)()[(86)]22
f x f x f f x >-+=-，
故得2
43x x >-且860x ->，解得解集为3
{|
13}4
x x x <<>或． 21.解：（1)∵切线在两坐标轴上的截距相等， ∴当截距不为零时，设切线方程为x y a +=, 又∵圆2
2
:(1)(2)2C x y ++-=，
∴圆心(1,2)C -
，
=解得:1a =-或3a =， 当截距为零时，设y kx =，
同理可得2k =+
2k =-
则所求切线的方程为10x y ++=或30x y +-=
或(2y x =+
或(2y x =． （2）∵切线PM 与半径CM 垂直， ∴222
||||||PM PC CM =-．
∴2222
1111(1)(2)x y x y ++-=+．
∴112430x y -+=．
∴动点P 的轨迹是直线2430x y -+=． ∴||PM 的最小值就是||PO 的最小值．
而||PO 的最小值为原点O 到直线2430x y -+=
的距离10
d =
， ∴由221111920
2430x y x y ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，可得11310
35x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
故所求点P 的坐标为33
(,)105
P -
． 22。

解：（1）当1a =时，11
()1()()2
4
x
x
f x =++， 令1(),12
x
t t =>,
则2
2
13()()1()2
4
f x
g t t t t ==++=++
, ∵()g t 在(1,)+∞上单调递增，∴()(1)g t g >， 即()f x 在(,0)-∞上的值域为(3,)+∞， 故不存在常数0M >，使|()|f x M ≤成立， 所以函数()f x 在(,1)-∞上不是有界函数．
（2)由题意知，|()|3f x ≤在[0,)+∞上恒成立． ∴3()3f x -≤≤，1114()()2()4
2
4
x
x
x
a --≤≤-，
∴1142()22()22x
x x x a --≤≤-在[0,)+∞上恒成立，
即max min 11[42()][22()]22
x x x
x a --≤≤-，
设2x
t =,则1142t a t t t --≤≤-，
设1()4h t t t =--，1
()2p t t t
=-,
由[0,)x ∈+∞ 得 1t ≥．设121t t ≤<， 则21121212
()(41)
()()0t t t t h t h t t t ---=
>,
12121212
()(21)
()()0t t t t p t p t t t -+-=
<,
所以,()h t 在[1,)+∞上递减，()p t 在[1,)+∞上递增，
故()h t 在[1,)+∞上的最大值为(1)5h =-，()p t 在[1,)+∞上的最小值为(1)1p =， 所以实数a 的取值范围为[5,1]-。