有理数的加减乘除乘方的讲义

有理数的加减乘除乘方运算
一．加减运算 有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
②异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
③一个数同0相加，仍得这个数.
有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数. .
有理数加法运算律：
①加法交换律：两个加数相加，交换加数的位置，和不变.
②加法结合律：三个数加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
有理数加减混合运算的步骤：
①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号；
③利用运算律及技巧简便计算，求出结果. 加减混合运算技巧：
把符号相同的加数相结合； 把和为整数的加数相结合；
把分母相同或便于通分的加数相结合； 既有小数又有分数的运算要统一后再结合； 把带分数拆分后再结合； 分组结合； 先拆项后结合. 例题： 1.计算：
（1）4+（﹣6）； （2）（﹣11
6）+（-2
3）；
()a b a b -=+-a b b a +=+()()a b c a b c ++=++
（3）-2-（﹣3.5）； （4）|（﹣7）+（﹣2）|-（﹣3）；
（5）[1.4﹣（﹣3.6+5.2）﹣4.3]﹣（﹣1.5）.
2.计算：（1）﹣2.4+
3.5﹣
4.6+3.5； （2）(−47
8
)−(−51
2
)+(−41
4
)−(+317
8
)；
（3）−20095
6
−(+20082
3
)−(−40183
4
)+(−11
2
)；
（4）1+（﹣2）+3+（﹣4）…+2015+（﹣2016）+2017+（﹣2018）. 练习： 1．计算：
（1）（﹣61）﹣（﹣71）﹣|﹣8|． （2）3﹣[（﹣3）﹣（+12）]．
（3）2.75﹣（﹣3）﹣（+0.5）+（﹣7）．
2．计算：
（1）﹣3+（﹣4）﹣（﹣5）； （2）1+（﹣2）+|﹣2|﹣5；
（3）﹣5﹣（+11）+； （4）
．
二． 乘除运算
有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数同相乘，都得．
有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值． 多个有理数相乘：
（1）几个不是的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”．
（2）几个数相乘，如果其中有因数为，那么积等于． 有理数乘法运算律：
（1）乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等．
00000ab ba
（2）乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．
（3）分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．
倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数．
整除：一个整数a除以一个不为0的整数b，商是整数，而没有余数，则我们说a能被b整除（或说b能整除a）.
例题：
1.计算：（1）（﹣2）×（﹣8）；（2）（﹣8）÷（﹣1.25）；
（3）11÷1
7×(−4
11
)；（4）(−1.5)×4
5
÷(−2
5
)×3
4
．
2.计算：
()()
ab c a bc
=
()
a b c ab ac
+=+
1
（1）37×（﹣45）×712×58； （2）292324÷（﹣1
12）；
（3）﹣5×（﹣11
5
）+13×（﹣11
5
）﹣3×（﹣11
5
）.
练习：
1．﹣125×0.42÷（﹣7）
2．观察下列解题过程． 计算：（﹣）÷（1﹣﹣
）．
解：原式=（﹣）÷1﹣（﹣）÷﹣（﹣）÷
=（﹣）×﹣（﹣）×﹣（﹣）×
=﹣+1+ =2
你认为以上解题是否正确，若不正确，请写出正确的解题过程．
3．计算：
（1）（﹣）×（﹣3）÷（﹣1）÷3； （2）（﹣8）÷×（﹣1）÷（﹣9）． 三．乘方
乘方的概念：求个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂．
（1）一般地，个相同的因数相乘，即
，记作，读作“的次方”；
（2）在中，叫做底数，叫做指数；
（3）当看作的次方的结果时，读作的次幂． 注意：，其底数为，；
，其底数为，；
，其底数为，； ，其底数为，； ，带分数的乘方运算，一定要先化成假分数后再运算． 一个数可以看作这个数本身的一次方，例如，就是，指数通常省略不写． 正数的任何次幂都是正数；负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数.
特别的，一个数的二次方，也称为这个数的平方；一个数的三次方，也称为这个数的立方. 科学记数法：把一个大于的数表示成的形式（其中，是正整数）． 用科学记数法表示一个位整数，其中的指数是，的指数比整数的位数少． 万，亿 . 例题：
n n a n a a a a
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个
n a a n n a a n n a a n a n ()2
24-=()2-()()()2
2224-=-⨯-=224-=-2()()22
2121224-=-⨯=-⨯⨯=-2
39=749
⎛⎫
⎪
⎝⎭372
333977749⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭239=77323339
777
⨯==2
2
1391224⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
51511010n a ⨯110a ≤<n n 101n -101410=810=
1.一张纸的厚度为0.09mm（毫米），将这张纸连续对折8次，这时它的厚度是多少？假设连续对折始终是可能的，那么对折15次后，所得的厚度是否可以超过你的身高？先猜猜，然后计算出实际答案．
2.若|x−2|+(y−2
)2=0，则y x=__________．
3
3.德国科学家贝塞尔推算出天鹅座第61颗暗星距地球102000000000000km，比太阳到地球的距离还远690000倍．
（1）用科学记数法表示出暗星到地球的距离；
（2）用科学记数法表示出690000这个数；
（3）如果光的速度大约是300000km/s，那么你能计算出从暗星发出的光线到地球需要多少秒吗？用科学记数法表示出来．
练习：
1．计算：﹣0.52+﹣|﹣22﹣4|﹣×．
2．计算：﹣22×﹣27×﹣（﹣1）2015．
3．﹣23+（﹣3）2﹣32×（﹣2）2．
4．﹣22﹣（﹣3）3﹣（﹣2）﹣|﹣3|3．
综合练习：
1.若|a|=2，b=﹣3，c 是最大的负整数，a+b ﹣c 的值为_______．
2.2.5+（﹣21
4）﹣1.75+（﹣1
2）=____．
3.某外贸企业为参加2016年中国江阴外贸洽谈会，印制了105 000张宣传彩页．105 000这个数字用科学记数法表示为___________．
4.一根1米长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第四次后剩下的绳子的长度是_______ 米；第n 次后剩下的绳子的长度是_______ 米．
5.将一张长方形的纸按如图对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，第一次对折后可得到1条折痕（图中虚线），第二次对折后可得到3条折痕，第三次对折后得到7条折痕，那么第10次对折后得到的折痕比第9次对折后得到的折痕多_______条．
6.计算：（﹣0.5）+|0﹣61
4|﹣（﹣71
2）﹣（﹣4.75）．
7.高速公路养护小组，乘车沿东西向公路巡视维护，如果约定向东为正，向西为负，当天的行驶记录如下（单位：千米）：
+18，﹣9，+7，﹣14，﹣3，+11，﹣6，﹣8，+6，+15． （1）养护小组最后到达的地方在出发点的哪个方向？距出发点多远？ （2）养护过程中，最远处离出发点有多远？
（3）若汽车行驶每千米耗油量为a 升，求这次养护小组的汽车共耗油多少升？ 8.计算下列各式：
（1）（﹣14）×（﹣100）×（﹣6）×（0.01）； （2）918
19×15；
（3）﹣100×1
8﹣0.125×35.5+14.5×（﹣12.5%）；
（4）（1﹣2）×（2﹣3）×（3﹣4）×（4﹣5）×…（19﹣20）．
9.已知（x+3）2+|3x+y+m|=0中，y 的平方等于它本身，求m 的值.。