反比例函数知识点及举例

反比例函数
知识梳理
知识点l. 反比例函数的概念
重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念
一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成x
k y =或y=kx -1
（k 为常数，0k ≠）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。

反比例函数的概念需注意以下几点：
（1）k 是常数，且k 不为零；（2）
x k
中分母x 的指数为1，如22y x
=不是反比例函数。

（3）自变量x 的取值范围是0x ≠一切实数.（4）自变量y 的取值范围是0y ≠一切实数。

知识点2. 反比例函数的图象及性质
重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用
反比例函数x
k
y =
的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限。

它们关于原点对称、反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。

画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；
（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是0x ≠，因此不能把两个分支连接起来。

（3）由于在反比例函数中，x 和y 的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x 轴和y 轴的变化趋势。

反比例函数的性质
x
k
y =
)0k (≠的变形形式为k xy =（常数）所以： （1）其图象的位置是：
当0k >时，x 、y 同号，图象在第一、三象限； 当0k <时，x 、y 异号，图象在第二、四象限。

（2）若点(m,n)在反比例函数x
k
y =的图象上，则点（-m,-n ）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称。

（3）当0k >时，在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当0k <时，在每个象限内，y 随x 的增大而增大； 知识点3. 反比例函数解析式的确定。

重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式
（1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式x
k
y =中，只有一个待定系数k ，确定了k 的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x 、y 的对
应值或图象上点的坐标，代入x
k
y =中即可求出k 的值，从而确定反比例函数的关系式。

（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为：x
k
y =
（0k ≠）； ②根据已知条件，列出含k 的方程； ③解出待定系数k 的值； ④把k 值代入函数关系式x
k
y =中。

知识点4. 用反比例函数解决实际问题 反比例函数的应用须注意以下几点：
①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。

②针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。

③列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。

知识点5.反比例函数综合
最新考题
综观2009年全国各地的中考数学试卷，反比例函数的命题放在各个位置都有，突出考查学生的数形结合思想、学科内综合、学科间综合、实际应用题、新课程下出现的新题等方面，在考查学生的基础知识和基本技能等基本的数学素养的同时，加强对学生数学能力的考查，突出数学的思维价值。

函数题型富有时代特征和人文气息，很好地践行了新课程理念，“学生的数学学习内容应当是现实的，有意义的，富有挑战性的。

” 2010年中考反比例函数复习策略： 1． 抓实双基，掌握常见题型； 2． 重视函数的开放性试题； 考查目标一.反比例函数的基本题 例1在函数1
2
y x =
-中，自变量x 的取值范围是（ ）。

A 、x ≠0 B 、x ≥2 C 、x ≤2 D 、x ≠2 例2．反比例函数6
y x
=-
图象上一个点的坐标是 。

考查目标二. 反比例函数的图象
例1．根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p (p a )与它的体积v (m 3)的乘积是一个常数k ，即pv ＝k (k 为常数，k ＞0)，下列图象能正确反映
p 与v 之间函数关系的是（ ）。

例2已知反比例函数)0(<=
k x
k
y 的图像上有两点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )，且21x x <，则21y y -的值是 （ ）
A 、正数
B 、 负数
C 、非正数
D 、不能确定 考查目标三、反比例函数图象的面积与k 问题
例1、反比例函数x
k
y =
（k >0）在第一象限内的图象如图1所示，P 为该图象上任一点，PQ ⊥x 轴，设△POQ 的面积为S ，则S 与k 之间的关系是（ ）
A ．4k S =
B ．2
k
S = C ．S =k D ．S >k 例2．设P 是函数4
p x
=在第一象限的图像上任意一点，点P 关于原点
的对称点为P ’，过P 作PA 平行于y 轴，过P ’作P ’A 平行于x 轴，PA 与P ’A 交于A 点，则PAP '△的面积（ ）
A ．等于2
B ．等于4
C ．等于8
D ．随P 点的变化而变化 考查目标四.利用图象，比较大小 例1．已知三点
111()P x y ，，222()P x y ，，3(1
2)P -，都在反比例函数k
y x =
的图象上，若
10x <，20x >，则下列式子正确的是（ ）
A ．1
20y y << B ．120y y <<C ．120y y >> D ．1
20y y >>
考查目标五.反比例函数经常与一次函数、二次函数、圆等知识相联系
例1．如图，A 、B 是反比例函数y ＝
2
x
的图象上的两点。

AC 、BD 都垂直于x 轴，垂足分别为C 、D 。

AB 的延长线交x 轴于点E 。

若C 、D 的坐标分别为（1，0）、（4，0），则ΔBDE 的面积与ΔACE 的面积的比值是（ ）
A ．21
B ．41 Ｃ．81 D ．161
例2．如图，二次函数m
x m
x y +++=)14(412（m <4）的图
象与x 轴相交于点A 、B 两点．（1）求点A 、B 的坐标（可用含字母m 的代数式表示）；
（2）如果这个二次函数的图象与反比例函数9
y x
=的图象相
交于点C ，且∠BAC 的余弦值为4
5
，求这个二次函数的解析式．
p v O p v O p v O p
v O A B C DD
例题精讲
突破点一：:反比例函数系数K 的几何意义 1.如图：双曲线y=
x
k
（k>0,x>0）的图像上有两点P1（x1,y1）和P2（x2,y2），且x1<x2,分别过P1和P2向x 轴作垂线，垂足分别为B,D.过点P1，P2向y 轴作垂线，垂足分别为A,C 。

（1）若记四边形AP1BO 和四边形CP2DO 的面积分别为S1和S2，周长为C1和C2，试比较S1和S2，C1和C2的大小； （2）若P 是双曲线y=
x
k
（k>0,x>0）的图像上一点，过点P 分别向x 轴，y 轴作垂线，垂足分别为M,N 。

试问当点P 落在何处时，四边形PMON 的周长最小？
2.如图，已知A,C 两点在双曲线y=
x
1
上，点C 的横坐标比点A 的横坐标多2，AB 垂直x 轴，CD 垂直x 轴，CE 垂直AB ，垂足分别是B,D,E 。

（1）当A 的横坐标是1时，求∆AEC 的面积S1； （2）当A 的横坐标是n 时，求∆AEC 的面积Sn ；
（3）当A 的横坐标分别是1,2，.........10时，∆AEC 的面积相应的是S1，S2..........S10，求S1+S2+...............+S10的值。

突破点二：反比例函数的增减性 3,.已知A （a,y1）.B(2a,y2)是反比例函数y=x
k
(k>0)图像上的两点。

（1）比较y1与y2的大小关系； （2）若A,B 两点在一次函数y= -
3
4
x+b 第一象限的图像上如图所示，分别过A,B 两点作x 轴的垂线，垂足分别为C,D ，联结OA,OB,且S ∆OAB=8，求a 的值； （3）在（2）的条件下，如果3m= -4x+24, 3n=
x
32
,求使得m>n 的x 的取值范围。

反比例函数与四边形
已知边长为4的正方形ABCD ，顶点A 与坐标原点重合，一反比例函数图像过顶点C ，动点P 以每秒1个单位的速度从点A 出发沿AB 方向运动，动点Q 同时以每秒4个单位的速度从点D 出发沿正方形的边DC →CB →BA 方向运动，当点P 与点Q 相遇时停止运动，设点P 的运动时间为t 。

（1）求出该反比例函数的表达式；
（2）连结PD ，当以点Q 和正方形的某两个顶点组成的三角形和∆PAD 全等时，求点Q 的坐标；
（3）用含t 的代数式表示以点Q,P,D 为顶点的三角形的面积S ，并指出相应t 的取值范围。

反比例函数与三角形 如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt ∆AOB 的斜边OB 在x 轴上，直线y=3x-4经过等腰Rt ∆AOB 直角顶点A ，交y 轴于点C ，双曲线y=x
k
(k ≠0,x>0)也恰好经过点A 。

（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，过点O 作OD 垂直AC 于点D ，求CD 2
-AD 2
的值；
（3）如图3，P 为x 轴上一动点。

在（1）中的双曲线上是否存在一点Q ，使得∆PAQ 是以点A 为直角顶点的等腰三角形，若存在，求出点P,Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

反比例函数与运动型问题的综合应用
如图，在平面直角坐标系中，直线y= -x-5交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P （0，-1），D 是线段AB 上一动点，DC 垂直y 轴于点C ，反比例函数y=
x
k
的图像经过点D 。

（1）若C 为BP 的中点，求k 的值；
（2）DH 垂直DC 交OA 与点H ，若点D 的横坐标为x ，四边形DHOC 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式；
（3）将直线AB 沿y 轴正方向平移a 个单位（a>5），交x 轴，y 轴于E,F 点，G 是y 轴负半轴上一点，G （0，-a+5），点M,N 以相同的速度分别从E,G 两点同时出发，沿x 轴，y 轴向点O 运动（不到达O 点），同时静止，联结并延长FM 交EN 于点K ，联结OK,NM,当M,N 两点在运动过程中以下两个结论：1：角EFM=角MNK; 2：角FMO=角OKN 。

其中只有一个结论是正确的，请判断并证明你的结论。

过关测试
一、选择题：
1、若反比例函数2
2
)12(--=m x m y 的图像在第二、四象限，则m 的值是（ ）
A 、－1或1
B 、小于
2
1
的任意实数 C 、－1 Ｄ、不能确定 2、正比例函数kx y =和反比例函数x
k
y =在同一坐标系内的图象为（ ）
A B
C
D
3、在函数y=x
k
(k<0)的图像上有A(1,y 1)、B(－1,y 2)、C(－2,y 3)三个点，则下列各式中正确的是（ ）
(A) y 1<y 2<y 3 (B) y 1<y 3<y 2 (C) y 3<y 2<y 1 (D) y 2<y 3<y 1 4、在同一直角坐标平面内，如果直线x k y 1=与双曲线x
k y 2
=没有交点，那么1k 和2k 的关系一定是（ ） A 1k <0，2k >0 B 1k >0，2k <0
C 1k 、2k 同号
D 1k 、2
k 异号
y o
y o
y
o y o
5、若点（x 1，y 1）、（x 2，y 2）是反比例函数x
y 1
-
=的图象上的点，并且x 1＜x 2＜，则下列各式中正确的是 （ ）
A 、y 1＜y 2
B 、y 1 >y 2
C 、y 1= y 2
D 、不能确定 二、填空题：
1、反比例函数()0>=
k x
k
y 在第一象限内的图象如图，点M 是图像上一点， MP 垂直x 轴于点P ，如果△MOP 的面积为1，那么k 的值是 ；
2、已知y -2与x 成反比例，当x =3时，y =1，则y 与x 间的函数关系式为 ；
3、在体积为20的圆柱体中，底面积S 关于高h 的函数关系式是 ；
4、对于函数2
y x
=
，当2x >时，y 的取值范围是______y <<______；当2x ≤时且0x ≠时，y 的取值范围是y ______1，或y ______。

（提示：利用图像解答） 三解答题
1、如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数m
y x
=的图象相交于A 、B 两点 （1）根据图象，分别写出A 、B 的坐标； （2）求出两函数解析式；
（3）根据图象回答：当x 为何值时，
一次函数的函数值大于反比例函数的函数值
2、如图，Rt △ABO 的顶点A 是双曲线x
k y =
与直线)1(+--=k x y 在第二象限的交点， AB ⊥x 轴于B 且S △ABO=
2
3 （1）求这两个函数的解析式
（2）A ，C 的坐标分别为（-，3）和（3，1）求△AOC 的面积。

3、如图，已知反比例函数y =
x
m
的图象经过点A （1，- 3），一次函数y = kx + b 的图象经过点A 与点C （0，- 4），且与反比例函数的图象相交于另一点B. 试确定这两个函数的表达式；
4、如图，已知点A （4，ｍ），B （－1，ｎ）在反比例函数x y 8
=
y O P M
O
y
x
B A
C
交于点C ，
（1）求n 值
（2）如果点D 在x 轴上，且DA ＝DC ，求点D 的坐标.
5、如图正方形OABC 的面积为4，点O 为坐标原点，点B 在函数k y x =
（k ﹤0,x ﹤0）的图象上，点P(m,n)是函数k y x
=（k ﹤0,x ﹤0）的图象上异于B 的任意一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F 。

（1）设长方形OEPF 的面积为S 1，判断S 1与点P 的位置是否有关（不必说理由）
（2）从长方形OEPF 的面积中减去其与正方形OABC 重合的面积，剩余的面积为S 2，写出S 2与m 的函数关系，并标明m 的取值范围。

答 案
一、1、B 2、A 3、C 4、C 5、B 6、B 7、A 8、D 9、B 10、B 11、D 12、C
二、1、﹥ 2、6 3、2 4、32y x
=-
+ 5、20S h =（ h ﹥0） 6、0 1 ≥ ﹤ 三、1、（1）A （-6，-2） B （4，3）（2）y ＝0.5x ＋１，y ＝x
12（3）－６<x <0或x >4 2、（1）3y x
=- y=-x+2 （2）4 3、3y x
-= 4y x =- 4、（1）2y x -= 1y x =-- （2）x ﹤-2或0﹤x ﹤1 5、（1） n=-8 (2) D(4,0)
6、（1）没有关系
（2）由题意OC=OA=2 B （-2，2）函数关系式为4y x
=- B
∵P（m,n）在
4
y
x
=-的图象上∴
4
n
m
=-
①P点在B点的上方时
24
()2()42
s m m m
m
=-⋅--⋅-=+（-2﹤m﹤0）②P点在B点的下方时
2
448 ()2()4
s m
m m m
=-⋅--⋅-=+（m﹤-2）。