1415济南大学线性代数试题答案
济大线代大作业答案
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线性代数大作业
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x 2y z 9 0 x 2y 9 0 也即 有无穷多解， 3 x By z D 0 有无穷多解， 3x By D 0 z0
又
1 0 k 3 R 1 1 0 R ( 1 , 2 , 3 ) 3 ， 0 1 1
1 0 k ∴ 1 1 0 k 1 0 0 1 1
即
k 1 。
5．解 1：过 L 的平面束方程为
( x 2 y z 9) (3x By z D) 0
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4．解： AP PB
A PBP
1
0 1 0 2 0 0 6 1 1
A 2 PBP 1 PBP 1 PB 2 P 1 ， 同理 A5 PB5 P 1
又 B B ，故
有条件知行列式可被 16 整除.
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第二章 矩阵及其运算
一、是非题 二、填空题
1. √ 2. × 3. × 4. × 5. √ 4. a 0
1. 4 ； 2
3. a11a 22 a nn 0
2.
1 0 0 0
B
0 0 1 0
1 0 2. 解：D r2 r1 (1), r3 r1 (1), r4 r1 (1) 0 0 1 0 r3 r2 (2), r4 r2 (3) 0 0 1 1 0 0 1 1 2 3 =1 1 3 3 10 1 1 2 3 1 1 2 3 5 9 9 19
14-15-1学期-《线性代数A》B卷-答案
鲁东大学2014—2015学年第1学期2013级物理类、计算类、电子类、软件本、电气本、能源本专业本科卷B 参考答案与评分标准 课程名称 线性代数A课程号（2190050） 考试形式（闭卷笔试） 时间（120分钟）一、判断题：本大题共5个小题，每小题4分。
共20分。
如果命题成立，则在题后（ ）内划“√”，否则划“×”。
1. √;2. ×;3. × ;4. √ ;5.√. 二、填空题 本题共5小题，满分15分。
1、 CB ；2、010⎛⎫ ⎪± ⎪ ⎪⎝⎭；3、3 ；4、 01020315k ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；5、 0 .三、选择题 本题共5小题，满分15分。
1、C ;2、D ;3、A;4、B ;5、B. 四 、计算题 本题共4小题，满分60分。
1、（12分）计算行列式6427811694143211111=D ＝4818401262032101111---------------（5分）＝481841262321---------------（3分）＝3610062321=600620321=12---------------（4分）注： 解法不是唯一的，根据解题情况适当给分．2、（14分）求解矩阵方程X A AX +=，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010312022A 。
解：把所给方程变形为A X E A =-)(，而由⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-010110312302022021)(A EA ---------------------（3分）经初等行变换，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----312100302010622001~)(A EA ---------------------（6分）所以，得E A -可逆，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-=-312302622)(1A E A X ---------------------（5分）（也可以按照公式法求解）3、（14分）求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=++-=++-11511322326417532432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解.解：对增广矩阵)(b A 进行初等行变换得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000000811100211610231~)(b A ---------------------（8分）所以方程组的特解为T)0,0,0,21(=η ---------------------（2分）导出组的基础解系为：TT)16,22,0,1(,)0,0,2,3(21-==ξξ ---------------------（2分） 方程组的通解为R c c c c x ∈++=212211,,ηξξ ---------------------（2分）4、（20分）把实二次型222123123121323(,,)4484f x x x x x x x x x x x x =++---用正交变换x Py =化二次型为标准形，求出所用正交变换以及所得到的标准形.解：二次型对应的矩阵为A=124242421--⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦………………… （3分） 则2124242(4)(5)0421I A λλλλλλ--=-=+-=- ………………… （4分）特征值分别为234,51λλλ=-== ………………… （1分） （1）当4A+4E X=0λ=-时，解方程组（）由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=+5242824254E A 初等行变换⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0002110101，得一特征向量T p )2,1,2(1= …………………（3分）（2）当5A-5E X=0λ=时，解方程组（）由⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------=-4242124245E A 初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000001211，得两个特征向量Tp )0,2,1(2-=，T p )1,2,0(3-=． ………………… （3分）利用施密特正交化方法确定正交矩阵为231315203P ⎡-⎢⎢⎢⎢=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，…………………（5分） 则1455P AP --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦即标准形为222123123(,,)455q y y y y y y =-++。
大一线性代数期末考试试卷+答案
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ）5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 £ s £ n）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
线性代数试题及答案
线性代数习题和答案第一部分选择题 (共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
14年线性代数与空间解析几何A考试试题试题
济南大学2014～2015学年第一学期课程考试试卷（A 卷）课 程 线性代数与空间解析几何 考试时间 2015 年1月12日………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。
………………一、填空题（每小题2分，共14分）1、123123123++=+x x x .2、若向量组α1=(1,1,1)T , α2=(1, n , 0)T , α3=(1,2,3)T 线性无关，那么n 应满足 .3、已知11102321⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦X ,则X = . 4、设n 元非齐次线性方程组Ax =b 有解，其中A 为(n +1)×n 矩阵，则Ax =b 的增广矩阵的行列式A b = . 5、过点(0,1,-3)且与平面3x -y +4z -8=0垂直的直线方程是 . 6、方程z =4x 2+5y 2所表示的曲面为 .7、已知100021,053⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则A -1=.二、选择题（每小题2分，共14分）1、已知矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡642752321，则矩阵A 的秩R (A )= _______. （A ）1； （B ）2； （C ）3； （D ）0.2、002001103012021-=-[ ](A ) 12； (B ) -12； (C ) 6； (D ) -6.3、设向量组A 的秩为r 1，向量组B 的秩为r 2，A 组可由B 组线性表示，则1r 与2r 的关系为[ ](A ) r 1≤r 2； (B ) r 1≥r 2； (C ) r 1=r 2； (D )不能确定. 4、设A 为4阶矩阵，且|A |=2，则 | 2A -1 |=[ ](A ) 4； (B ) 16； (C ) 1； (D ) 8.5、若3阶矩阵A 与B 相似，A 的特征值为-1, 2, 4，则行列式|B +2E |= [ ](A ) -24； (B ) -8； (C ) 24； (D ) 11.6、球面6222=++z y x 与旋转抛物面22y x z +=的交线在xOy 平面上的投影曲线方程为[ ] 2222222223()2;()3;();().00x y x y A x y B x y C D z z ⎧⎧+=+=+=+=⎨⎨==⎩⎩7、设12,λλ分别是3阶矩阵A 的一重和二重特征值，对角矩阵122000000λλλ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Λ，则[ ] (A ) A 与对角矩阵Λ相似； (B ) A 与对角矩阵Λ不相似；(C ) 当R (A -λ2 E )=2时，A 与对角矩阵Λ相似； (D ) 当R (A -λ2 E )=1时，A 与对角矩阵Λ相似.三、计算题（每小题10分，共40分）1、已知矩阵*21100220,(())().111A A A A A E A E **-⎡⎤⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎣⎦是的伴随矩阵，求: 2、已知向量(1,2,1),(2,1,3)T T αβ=-=，矩阵A=αβ T =[]122131-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求f (A )=A 3-2A 2-2A . 3、a 为何值时，向量组1234(1,1,2,4),(3,0,7,14),(0,3,1,),(1,2,5,0)T T T T a a αααα=-===--- 线性相关？并在该向量组线性相关时，求其秩及一个最大线性无关组.4、求二次型222(,,)248=+-+f x y z x y z yz 的矩阵的特征值，并讨论方程222248+-+=x y z yz C (C 为任意常数)所表示的曲面类型.四、解方程组（共10分）求线性方程组12341234123412341222124436x x x x x x x x x x x x x x x x +--=-⎧⎪+--=⎪⎨+++=⎪⎪+--=-⎩的通解.五、综合题（共12分）设三阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3，且行列式|A -2E |=0. 向量(1,2,1)=-T ξ是线性方程组Ax =0的解，求：(1) A 的特征值与特征向量；(2) 矩阵A .六、证明题（每小题5分，共10分）1、设方阵A 满足223--=A A E O ，证明A +2E 可逆.2、设4阶矩阵1234(,,,)αααα=A ，A *是A 的伴随矩阵. 若(1,0,1,0)T 是线性方程组Ax =0的基础解系，证明234,,ααα是A *x =0的基础解系.一、填空题(每小题2分,共14分)1． x 2(x +6) ； 2． n ≠1/2 ; 3．1101-⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 4． 0 ； 5.13314x y z -+==-; 6． 椭圆抛物面 ； 7.100031052⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. 二、选择题(每小题2分,共14分)1.（B ）2.（B ）3.（A ） 4．(D ) 5．（C ） 6.（C ） 7．(D )三、计算题(每小题10分,共40分)1、解：21(())()()**-*-+=-A A E A E A A E ||=-A E A1001003002010220200001111113-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦2、解：f (A )=A 3-2A 2-2A = 9A -6A -2A =A=213426213---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3、解：123413113110320111(,,,)2715000241400026a a a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦A αααα 当a =2时，R (A )=3<4，所以1234,,,αααα线性相关. 此时该向量组的秩为3，其最大无关组为：124,,ααα4、解：二次型222(,,)248f x y z x y z yz =+-+的矩阵为：100024044A ,⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦由100||024(1)(4)(6)0,044λλλλλλλ--=-=--+=--A E 得二次型的矩阵A 的特征值为：1,4,-6. 方程222248+-+=xy z yz C 的标准形为：22211146x y z C +-=，所以当C =0时，方程222111460x y z +-=的图形为二次锥面. 当C >0时，方程22211146x y z C +-=的图形为单叶双曲面. 当C <0时，方程22211146x y z C +-=的图形为双叶双曲面.四、解方程组(共10分)解：[]=b A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------6411341112112122111111111001030032500325⎡⎤---⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎣⎦11000001030001200000⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以与原方程组同解的方程组为123432x x x x =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 故原方程组的通解为：R k k x x x x T T T ∈-+-=,)2,3,0,0()0,0,1,1(),,,(4321五、综合题(满分12分)解：（1）由题意得：11111312021111,,⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A A所以123,0λλ==是矩阵A 的特征值，11122212121112011k k k k k k k k R ,,,,⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⋅≠∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ξξ分别是A 对应特征值123,0λλ==的所有特征向量。
大一线性代数期末考试试卷+答案
线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
大学《线性代数》第一学期笔试题及答案(精品)
大 学 考 试 试 卷（A 卷） 20XX — 20XX 学年 第一学期课程名称：线性代数（共2页）┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(15分) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=400023012A ，矩阵B 满足E BA ABA +=-12*,其中*A 是AA 的伴随矩阵，1-A 是A 的逆矩阵，E 是单位矩阵，求矩阵B 的行列式||B . 解 由于|A|=4, 所以，A*A=4E, 于是有：A B AB +=24, 即A B E A =-)24( 5分 所以，4|||||24|==-A B E A 10分又由于，168|24|-=-E A 13分 因此，42/1||-=B 15分 分) t 取何值时, 向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0122α与向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=t 211β， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2032β等价，等价时求出相互线性表示式。
解 由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=20202113121),,,(2121t ββαα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→242033303121t ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→020*********t 5分 所以，当t ＝－2时，两个向量组等价。
10分 又由于，t ＝－2时有 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→000011103121),,,(2121ββαα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→000011101101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→0000102/12/1012/12/1 15分 所以， 2112121ββα+-=，2122121ββα+= 211ααβ+-=，212ααβ+= 20分分) 在线性空间3][x R 中定义内积⎰-=11)()()](),([dx x g x f x g x f ，求3][x R 的一组正交基.解 由于2321,,1x x ===ααα是3][x R 的一组基，将其正交化得: ,111==αβ 4分x =-=1111222),(),(ββββααβ 8分1111333),(),(ββββααβ-=31),(),(222223-=-x ββββα 12分 所以，321,,βββ就是3][x R 的一组正交基. 15分2－1四分) 已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+-+=+-+12432132432143214321xbxaxxxxxxxxxx有三个线性无关的解，求ba,的值和方程组的通解.解由于线性方程组bAx=有三个线性无关的解，所以线性方程组0=Ax至少有二个线性无关的解，于是0=Ax的解空间至少是二维的。
线性代数试题(精选版)
线性代数习题和答案第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出の四个选项中只有一个是符合题目要求の，请将其代码填在题后の括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是Aの伴随矩阵，则A *中位于（1，2）の元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵Aの行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0の数λ1，λ2，…，λs和不全为0の数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵Aの秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误の是（）A.η1+η2是Ax=0の一个解B.12η1+12η2是Ax=bの一个解C.η1-η2是Ax=0の一个解D.2η1-η2是Ax=bの一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确の是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是Aの属于特征值λの特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是Aの特征值C.Aの2个不同の特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是Aの3个互不相同の特征值，α1，α2，α3依次是Aの属于λ1，λ2，λ3の特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵Aの特征方程の3重根，Aの属于λ0の线性无关の特征向量の个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误の是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.Aの行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同の特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵の为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确の答案写在每小题の空格内。
线性代数考试题库及答案(一)
线性代数考试题库及答案(一)1.下面是线性代数考试题库及答案的第一部分专项同步练第一章行列式的格式正确版本：一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
3.n阶行列式的展开式中含a11a12的项共有(D) (n-1)。
项。
4.1/1 = (D) 2.5.1/(-1) = (B) -1.6.在函数f(x) = (2x-1)/(2-x^3)中x^3项的系数是(A) 0.7.若D = |a11 a12 a13| |a21 a22 a23| |1 a32 a33|，则D1 =2a11a33 - 4a13a31 - 2a12a32.8.若 |a11 a12| |a21 a22| = a，则 |a12 a11| |ka22 ka21| = (-k^2)a。
9.已知4阶行列式中第1行元依次是-4.0.1.3，第3行元的余子式依次为-2.5.1.x，则x = 3.10.若D = |4 3 1 5| |-1 3 4 1| |2 -1 6 3| |-2 1 3 4|，则D中第一行元的代数余子式的和为(B) -2.11.若D = |-1 5| |3 -2|，则D = (A) -1.12.k等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组x1 + kx2 + x3 = 0，kx1 + x2 + x3 = 0，x2 + x3 = 0有非零解。
(B) -2.二、填空题1.2n阶排列24…(2n)13…(2n-1)的逆序数是n(2n-1)。
2.在六阶行列式中项a32a41a25a13a56a64的符号为-。
改写后的文章：线性代数考试题库及答案第一部分专项同步练第一章行列式一、单项选择题1.下列排列是5阶偶排列的是(A) (B) (C) (D) .2.如果n阶排列j1j2…jn的逆序数是k，则排列jn…j2j1的逆序数是(B) n-k。
大学线性代数期末试卷及答案
大学线性代数期末试题一、填空题（每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3、n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=010*********0010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=TA A （ ）。
① n2② 12-n③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。
① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。
线性代数考试练习题带答案大全(二)
线性代数考试练习题带答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.设A 为m n ⨯矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关， （B ） 列向量组线性相关， （C ）行向量组线性无关， （D ） 行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出， （B ）β必不可由,,αγδ线性表出， （C ）δ必可由,,αβγ线性表出， （D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．(A )1λ>-； （B ）0λ>； （C ）1λ>； （D ）1λ≥．4．初等矩阵（A ）；(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ） 所对应的行列式的值都等于1； （C ） 相乘仍为初等矩阵； （D ） 相加仍为初等矩阵 5．已知12,,,n ααα线性无关，则（C ）A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关；B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；D. 以上都不对。
二、填空题（每小题3分，共15分）6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t7．设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1A -=8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为 。
9．行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则()R AB =_____________；三、计算题（每小题10分，共50分）11．求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
线性代数试题及答案
线性代数习题和答案好东西第一部分选择题共28分一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内;错选或未选均无分;1.设行列式a aa a11122122=m,a aa a13112321=n,则行列式a a aa a a111213212223++等于A. m+nB. -m+nC. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,则A-1等于A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,A是A的伴随矩阵,则A中位于1,2的元素是A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵,如有矩阵关系式AB=AC,则必有A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关,则秩A T等于A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1,α2,…,αs和β1,β2,…,βs均线性相关,则A.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1+β1+λ2α2+β2+…+λsαs+βs=0C.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs使λ1α1-β1+λ2α2-β2+…+λsαs-βs=0D.有不全为0的数λ1,λ2,…,λs和不全为0的数μ1,μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r,则A中A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组,η1,η2是其任意2个解,则下列结论错误的是A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆,则必有A.秩A<nB.秩A=n-1=0 D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n≥3阶方阵,下列陈述中正确的是A.如存在数λ和向量α使Aα=λα,则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α,使λE-Aα=0,则λ是A的特征值的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1,λ2,λ3是A的3个互不相同的特征值,α1,α2,α3依次是A的属于λ1,λ2,λ3的特征向量,则α1,α2,α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根,A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵,则下列结论错误的是A.|A|2必为1B.|A|必为1=A T的行列向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=C T AC.则与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题共72分二、填空题本大题共10小题,每小题2分,共20分不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内;错填或不填均无分;15.11135692536= .16.设A=111111--⎛⎝⎫⎭⎪,B=112234--⎛⎝⎫⎭⎪.则A+2B= .17.设A=a ij3×3,|A|=2,A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式i,j=1,2,3,则a11A21+a12A22+a13A232+a21A21+a22A22+a23A232+a31A21+a32A22+a33A232= .18.设向量2,-3,5与向量-4,6,a线性相关,则a= .19.设A是3×4矩阵,其秩为3,若η1,η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解,则它的通解为 .20.设A是m×n矩阵,A的秩为r<n,则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量α、β的长度依次为2和3,则向量α+β与α-β的内积α+β,α-β= .22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8,已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为 .23.设矩阵A=01061332108---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,已知α=212-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量,则α所对应的特征值为 .24.设实二次型fx1,x2,x3,x4,x5的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 .三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求1AB T；2|4A |.26.试计算行列式3112513420111533------.27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪,求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103,α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪,α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1,α2,α3的线性组合；若是,则求出组合系数; 29.设矩阵A =1212242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：1秩A ；2A 的列向量组的一个最大线性无关组;30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1,1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ,使T -1AT =D .31.试用配方法化下列二次型为标准形fx 1,x 2,x 3=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--,并写出所用的满秩线性变换;四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.设方阵A 满足A 3=0,试证明E -A 可逆,且E -A -1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解,ξ1,ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 1η1=η0+ξ1,η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； 2η0,η1,η2线性无关;答案：一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分二、填空题本大题共10空,每空2分,共20分 15. 6 16. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪17. 4 18. –1019. η1+c η2-η1或η2+c η2-η1,c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 124. z z z z 12223242++-三、计算题本大题共7小题,每小题6分,共42分25.解1AB T=120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 2|4A |=43|A |=64|A |,而|A |=1203401212-=-. 所以|4A |=64·-2=-12826.解 311251342011153351111113100105530------=-----=5111111550---- =5116205506255301040---=---=+=.27.解 AB =A +2B 即A -2EB =A ,而A -2E -1=2231101211431531641--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-. 所以 B =A -2E -1A =143153164423110123-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=3862962129-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. 28.解一 ----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112 所以α4=2α1+α2+α3,组合系数为2,1,1.解二 考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3,即 -++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x x x x x x x x x .方程组有唯一解2,1,1T,组合系数为2,1,1.29.解 对矩阵A 施行初等行变换A−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102 00062 03282 09632−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B.1秩B=3,所以秩A=秩B=3.2由于A与B的列向量组有相同的线性关系,而B是阶梯形,B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组,故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组;A的第1、2、5列或1、3、4列,或1、3、5列也是30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=2,-1,0T, ξ2=2,0,1T.经正交标准化,得η1=25555//-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,η2=2515451553///⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪,经单位化得η3=132323///.-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为T=25521515135545152305323////////--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵D=100 010 008-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.也可取T=25521515130532355451523////////---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.31.解 fx1,x2,x3=x1+2x2-2x32-2x22+4x2x3-7x32=x1+2x2-2x32-2x2-x32-5x32.设y x x xy x xy x11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪, 即x y yx y yx y112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪,因其系数矩阵C=120011001-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪可逆,故此线性变换满秩;经此变换即得fx1,x2,x3的标准形y12-2y22-5y32 .四、证明题本大题共2小题,每小题5分,共10分32.证由于E-AE+A+A2=E-A3=E,所以E-A可逆,且E-A-1= E+A+A2 .33.证由假设Aη0=b,Aξ1=0,Aξ2=0.1Aη1=Aη0+ξ1=Aη0+Aξ1=b,同理Aη2= b,所以η1,η2是Ax=b的2个解;2考虑l0η0+l1η1+l2η2=0,即l0+l1+l2η0+l1ξ1+l2ξ2=0.则l0+l1+l2=0,否则η0将是Ax=0的解,矛盾;所以l1ξ1+l2ξ2=0.又由假设,ξ1,ξ2线性无关,所以l1=0,l2=0,从而l0=0 .所以η0,η1,η2线性无关;。
线性代数期末考试题及答案
线性代数期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式为：A. 1/2B. 1/4C. 2D. 4答案：B2. 向量α=(1,2,3)和向量β=(4,5,6)，则向量α和向量β的点积为：A. 32B. 22C. 14D. 0答案：A3. 设A为3×3矩阵，且A的秩为2，则A的行向量线性相关，下列说法正确的是：A. 正确B. 错误答案：A4. 若A为n阶方阵，且A^2=0，则A的秩为：A. nB. n-1C. 0D. 不确定答案：C5. 设A为3阶方阵，且A的特征值为1，2，3，则矩阵A的迹为：A. 6B. 1C. 2D. 3答案：A二、填空题（每题5分，共30分）1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]，则矩阵A的转置为\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]。
答案：\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{bmatrix}\]2. 设向量α=(2,3)，向量β=(4,6)，则向量α和向量β共线，其比例系数为2。
答案：23. 若矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 1 \\ 2 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵A的行列式为2。
答案：24. 设矩阵B=\[\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}\]，则矩阵B的逆矩阵为\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 &0\end{bmatrix}\]。
答案：\[\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}\]5. 设矩阵C=\[\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}\]，则矩阵C的特征值为1和2。
济南大学线性代数试题及答案
济南大学线性代数期末试题及参考答案一、判断题(正确填T ，错误填F 。
每小题2分，共10分)1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。
（ ）2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。
（ ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。
( ) 4．若B A ,均为n 阶方阵，则当B A >时，B A ,一定不相似。
( )5．n 维向量组{}4321,,,αααα线性相关，则{}321,,ααα也线性相关。
（ ）二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，（ ）不是初等矩阵。
（A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (B)100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C) 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D) 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）。
（A ）122331,,αααααα--- （B ）1231,,αααα+ （C ）1212,,23αααα- （D ）2323,,2αααα+3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。
则1(2)A E -+=（ ） (A) A E - (B) E A + (C) 1()3A E - (D) 1()3A E +4．设A 为n m ⨯矩阵，则有（ ）。
（A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；（B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；（C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； （D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。
5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（ ）（A ）A 与B 相似 （B ）A B ≠，但|A-B |=0（C ）A=B （D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|三、填空题（每小题4分，共20分）1．01210n n- 。
济南大学 线性代数大作业 2019.7.21
a 1
1 a
x2 x3
12
有无限多个解，
则a
___________.
5. 设 n 元非齐次线性方程组 Ax b 有解， 其中 A 为 (n 1) n 矩阵， 则| Ab | ______.
1 2 2
6.
设矩阵 A
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一、填空题
第二章 矩阵及其运算
1
1. 设 A 31 2 1 ，则 A6 ______________.
2
2. 已知 A 为 2 阶方阵， A* 是 A 的伴随矩阵，且 | A | 3 ，则 | A1 | ___ ， | AA* | ____.
PB
，其中
B
0 0
0 0
01 ，
P
2 2
1 1
0 1
.
(1) 求 A ; (2) ( A) 3E 2 A2 5A5 .
Page 7 of 20
2 1 0
3.
已知
A
1
2
0
，
矩阵 B 满足:
ABA* 2BA* E ，其中 A* 是 A 的伴随矩阵， E 为单位阵.
0 0 1
(1) 求| B | ; (2) B 1 .
4. 已知两个线性变换
x1 x2
y1 y1
y2 y2
y3
和
z1 z2
y1 y2 y3 2 y1 2 y2
x3 2 y1 2 y2 y3 z3 y1 y2
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P
1 4
1 1
,
P 1 AP
2 0
03 .
（3）因为
1 4
是
A
属于-2
的特征向量，所以
A60
1 4
(2)60
1 4
260
1 4
.
济南大学 2014 级本科
线性代数试题答案及评分标准
2015.7.13
五、(满分 12 分) 解：(1) 设1, 2, 3 是该线性方程组的三个线性无关解，则 R(1, 2, 3)=3，且12, 13
是其对应的齐次线性方程组 Ax=0 的两个解.
1 1
1 1
又
(12, 13)=( 1, 2, 3) 1
[A|b]= 4 3 5 1 1 0 1
1
5
3
a 1 3 b 1 0 1 a 3 a b a 1 a
k11 k22 knm nm ,
设 (k1, k2, , knm )T , 则存在一个 nm 维的列向量，使得
是方程组 Ax=0 的基础解系.
于是 4 R(A) ≥ 2，即 R(A) ≤ 2.
故方程组 Ax=0 的解可由1,2 , ,nm 线性表示为
又 A 有一个二阶子式 1
1 0,
因此 R(A) ≥ 2，即 R(A) = 2.
43
(2) 对增广矩阵施行初等行变换，有
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1,2 , ,nm ) B.
1 1 1
1
1
0 1 1
5
3
0 0 4 2a 4a b 5 4 2a
因为方程组有解，所以 R(A)= R(A|b)=2，从而
42a=0, 4a+b5=0，即 a=2, b= 3.
此时，
1 1 1 1 1 1 0 2 4 2
所以由向量组 A 所生成的向量空间的一个基底为 1, 3, 4 , 维数是 3，
2 在该基下的坐标为(2,1,0).
对于 1
3,
由
A
E
=
1
4
1 4
1 0
1
0
，
属于
3
的全部特征向量为
l
1 1
,
l
0.
（2） A 有两个不同的特征值，所以 A 可以相似对角化.令
对于 1
2,
由
A 2 E
4 = 4
1 1
4 0
1 0
，
进而求得属于-2
的全部特征向量为
k
Байду номын сангаас
1
4
,
k
0.
1 1 0 1 1 10 09 3
0
1
1
1
1
0 1 0
28
0 0 1 7 3 0 0 17 3
二、选择题(每小题 3 分,共 15 分)
1.（B） 2.（B） 3.（B） 4．(A) 5．（D）
三、计算题(每小题 10 分,共 40 分)
1234
1、解：
0 D
2
6
8 24.
0038
0004
2、解：由 AX=X+ B 得： (A-E)X= B
1 1 0 1 1 1 1 0 1 1
又 |A|= 123 ， a 2 2 1 2 3, 即 4a 2b2 12, a 1. 得： a 1,b 2. b 0, b 2. .
四、 (共 12 分) 解：（1） A E ( 2)( 3), 特征值为-2,3.
9 3 X 8 2
7 3
1 2 0 2 1 2 0 2 1 2 0 0
3、解： (1, 2 , 3, 4 ) 2 5 1 1 0 1 1
3
0
1
1
0
0 3 3 4 0 0 0 5 0 0 0 1
x2 x3
3 0
k1
1 1
k2
5 0
,
k1,
k2
R.
x4 0 0 1
六、(满分 6 分) 证明：因为 R(A)=m，所以齐次方程组 Ax=0 解空间的维数为 nm. 设 B (1,2 , ,nm ) ，因为 R(B)=nm， AB=O，所以1,2 , ,nm
[A|b] 0 1 1 5
3
0
1
1
5
3 ，
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
同解方程组：
x1 x2
2x3 4x4 2 x3 5x4 3
；
0
,而
R
1
0
2
，
0 1
0 1
所以 2R(12, 13)3+23=2，即 R(12, 13)=2，故12, 13 是齐次线
性方程组 Ax=0 的两个线性无关解.
故原方程组的通解：
x1 2 2 4
( A E | B) 1 0
1
2
0
0
1
1
1
1
1 0 2 5 3 0 1 2 6 4
且二次型 f 经正交变换化为标准形：f 2y12 2y22 3y32 ，所以矩阵 A 的特征值为： 1 2, 2 2, 3 3
济南大学 2014 级本科 一、填空题(每小题 3 分,共 15 分)
1． -37 ； 2． -8/3 ;
3． 2 ；
4．
12
；
5.
3 / 2 1
1 1 .
线性代数试题答案及评分标准
a 0 b
4、解：因为二次型的矩阵 A 0 2
0
，
b 0 2
2015.7.13