(第11讲)极点配置与状态反馈

Agenda
• 状态反馈与输出反馈
• 闭环系统的能控性和能观性 • SISO系统的极点配置
四川理工自动化教研室
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线性反馈系统的时间域综合 综合问题的提法
•问题：受控系统。限于考虑严格真连续时 间线性时不变系统
x Ax Bv y Cx
•目标：性能指标。综合后系统应该满足的 一些特征量或运动过程的某种期望形式。 •手段：控制输入。用反馈控制形式，包括 状态反馈和输出反馈。即：
• 反馈属性：状态反馈是完全信息反馈，输出 反馈往往是不完全信息反馈。 • 反馈功能：（基于时间域性能指标进行综合） 状态反馈优于输出反馈，输出反馈一定能由 状态反馈实现，即令FC=K即可。 • 反馈途径：输出反馈是物理可构成的，状态 反馈在物理上不能构成。即，输出反馈实现 起来比较方便。 • 扩展等价：不能测量或不便测量的状态，需 要利用状态观测器进行重构，才能进行状态 反馈；提高输出反馈的能力是进行输出变量 的动态反馈。最终二者实质是等价的。 tgq77@126.com 四川理工自动化教研室
•在外扰下无静差跟踪。如使状态和控制的 二次型积分函数最小，即最优控制。
J (x, u) xT Qx uT Ru dt
0


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SISO系统的极点配置：问题表述
已知系统方程
x Ax bv y cx
* * 1 , * ,, * 和n个期望闭环极点值 2 n
u v Kx，或u v Fy
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性能指标的类型
•渐进稳定。即镇定问题。稳定是系统能够 正常工作的前提，是系统综合的基本要求。 •一组期望闭环性能特征值。即极点配置。 如阶跃响应上升时间、超调量、调节时间、 峰值、剪切频率等主要由系统特征值决定。 •将MIMO化为多个SISO。即解耦控制。
c o c o c




1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 Ao 0 0 0 1 0 , b o 2 , co 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 a0 a1 a2 a3 a4 4
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Agenda
• 状态反馈与输出反馈
• 闭环系统的能控性和能观性 • SISO系统的极点配置
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无直接传输系统的状态反馈
原系统 x Ax Bu y Cx 引入状态反馈
u v Kx
现代控制理论
（第11讲 2009年4月26日） 状态反馈与输出反馈 闭环系统能控性和能观性 SISO系统的极点配置
自动化教研室 谭功全
Review
状态空间模型的结构图和状态图
D
u
B
x

s 1 I x
C

y
x Ax B u y C x Du
A
D
u
x s 1 I x C B
u
B
x

A
H
x
C
y
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输出反馈至参考输入处
新系统 传递函数
x ( A BFC)x Bv y Cx
C( sI A BFC) B
1
v
u
B
x

A
x
C
y
F
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状态反馈与输出反馈的比较
P 1
n 1 cA 1 c Ao P 1 AP, b o P 1b, c o cP 1


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Review
状态变换不改变系统能控/能观性
x Ax Bu 状态变换 x P 1 APx P 1 Bu x Px y CPx y Cx 1 xP x


求状态反馈矩阵k，使所导出的闭环系统
x ( A bk )x bv , k k 0 y cx k n 1
的特征值满足
( A bk ) *
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注：期望闭环极点组由一对主导极点和不小 于主导极点离虚轴4-6倍的n-2个极点组成。
新系统 x ( A BK )x Bv y Cx
v
u
B
x

A
x
C
y
K
状态反馈增益矩阵K的维数？系统的特征多项式和传 递函数？ tgq77@126.com 四川理工自动化教研室
输出反馈至参考微分处
新系统
x ( A HC)x Bu y Cx
传递函数 C( sI A HC)1 B
D
u
B
x
P
1
x
s 1 I
x
P
x
C
y
P
1
A
D
x
P
x
u
B
P
1
x
s 1 I
x
P
x
C
y
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A
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基于状态空间模型的设计与综合
包括如下主要内容：
• • • • 状态反馈与输出反馈 闭环系统的能控性和能观性 SISO系统的极点配置 全维观测器及其设计
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教学要求与重点内容
• 教学要求：
– 熟练掌握状态反馈与输出反馈、极点配置 – 熟练掌握状态观测器的设计方法 – 掌握分离原理、全维观测器设计方法
• 重点内容
– 状态反馈与输出反馈的基本结构、性质和 有关定理 – SISO系统的极点配置 – 全维观测器的设计
a1 k1 1
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例题：状态反馈的影响
给定系统
0 1 0 x x 1 u 1 0 y 0 1 x
引入状态反馈
u v kx, k k0
k1
问题：引入状态反馈，对闭环能控性、能 观性有何影响？
Ao P 1 AP, bo P 1b, co cP
第一能观标准型 四川理工自动化教研室
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Review
SISO系统第二能控、能观标准型
第二能控标准型 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 Ac 0 0 0 1 0 , b c 0, cc b0 b1 b2 b3 b4 0 0 0 0 1 0 a0 a1 a2 a3 a4 1 1 n 1 1 cAn 1
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状态反馈极点配置定理
定理：用状态反馈任意配置闭环极点的充要 条件是原系统能控。
注： 1、开环系统可控与闭环系统极点任意配置是等价的。 2、开环系统不完全可控时，可以任意配置的极点个数与可 控子空间的维数相同。 3、单输入量系统的状态反馈矩阵K是一个n维向量，它有n个 元素可以选择，恰好可以调整n个极点。即K具有唯一解。 4、单输入单输出系统的状态反馈不改变系统传递函数的零 点，除非故意制造零点和极点相消。 5、若系统不能控部分是稳定的，则称系统是可镇定的。
A
y
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Review
0 1 Ac 0 0 0
SISO系统第一能控、能观标准型
T Qc b Ab An 1b
第一能控标准型
Ao
0 0 0 a0 1 Ac T 1 AT , b c T 1b, c c cT 0 0 0 0 a1 1 0 0 a2 , b c 0, c c 1 2 3 4 5 0 1 0 a3 0 0 0 0 1 a4 T T T T P 1 Qo c cA cAn1 A ,b c ,c b
Agenda
• 状态反馈与输出反馈
• 闭环系统的能控性和能观性
• SISO系统的极点配置
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状态反馈对能控性、能观性的影响
定理：状态反馈不改变系统的能控性，但 可能改变系统的能观性。（我们不证明）
v u
B
x

A
x
C
y
x ( A BK )x Bv y Cx
1 0 , b 1, c b0 a1 b1
K
0 b1s b0 Y (s) 示例： 2 A U ( s ) s a1s a0 a0
1 0 0 0 A bk 1k 0 k1 a k a0 a1 0 0 b1s b0 Y (s) 2 V ( s ) s ( a1 k1 ) s (a0 k 0 ) 四川理工自动化教研室
输出反馈对能控性、能观性的影响
定理：输出至参考输入的反馈不改变系统的 能控性和能观性。
v u
B
x

A
x
ห้องสมุดไป่ตู้
C
y
x ( A BFC )x Bv y Cx
F
有谁来示意或说明，为什么输出至参考输入 的反馈不改变系统的能控性和能观性？
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思路：计算引入状态反馈前后系统的能控、能观阵
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输出反馈对能控性、能观性的影响
定理：输出至状态微分处的反馈不改变系统 的能观性，但可能改变系统的能控性。
u
B
x

A
H
x
C
y
x ( A HC )x Bv y Cx
0 a0 b1 b1s b0 Y ( s) 示例： 2 A , b b , c 0 1 U ( s ) s a1s a0 1 a1 2 0 a0 h0 0 a0 h0 A hc h 0 1 1 a h 1 1 1 a1 1 b1s b0 Y (s) 2 V ( s ) s ( a1 h1 ) s ( a0 h0 ) tgq77@126.com 四川理工自动化教研室
0 1 Ao 0 0 0
0 0 0 a0 b1 b 0 0 0 a1 2 1 0 0 a2 , b o b3 , c o 0 0 0 0 1 0 1 0 a3 b4 b5 0 0 1 a4
11200926sisotgq77126com四川理工自动化教研室reviewtgq77126com四川理工自动化教研室siso第一能观标准型reviewtgq77126com四川理工自动化教研室siso第二能控标准型第二能观标准型tgq77126com四川理工自动化教研室状态变换reviewtgq77126com四川理工自动化教研室tgq77126com四川理工自动化教研室状态反馈与输出反馈的基本结构性质和有关定理全维观测器的设计tgq77126com四川理工自动化教研室agendasisotgq77126com四川理工自动化教研室原系统新系统引入状态反馈状态反馈增益矩阵k的维数
1 n 1 n 1 1 T A b Ab b 1 n 1 1 Ac T 1 AT , b c T 1b, c c cT
Ao A , b o c , co b
T c T c
T c
第二能观标准型 四川理工自动化教研室
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传递函数、能控标准型与状态反馈
1 0 0 , b , c b b b A 0 1 n 1 0 0 1 u v kx a0 a1 an1 1 k k0 k1 k n 1 bn 1s n 1 b1s b0 Y (s) n U ( s) s an 1s n 1 a1s a0 1 0 0 0 0 , A bk bk 0 0 0 0 1 k0 k1 kn1 a0 k0 a1 k1 an 1 kn1