高等数学 函数图形的描绘

极大
值1 2
5) 作图
(0,1) 1 (1,)
0
拐点
(1,
1 2e
)
y
1 2
y
C
1 2
e
x2 2
A
B
o
x
x (,1) 1 (1,0) 0
( x)
0
( x) ( x)
0
拐点
(1,
1 2e
)
极大
值1 2
(0,1) 1 (1,)
0
拐点
(1,
1 2e
)
y1
2
1
o
1
x
(x)
1 2
e
x2 2
补 2 描绘方程 (x 3)2 4 y 4xy 0的图形 .
例如 ,
双曲线
x2 a2
y2 b2
1
L PN
o
x
有渐近线
x a
y b
0
y
但抛物线 y x2 无渐近线 .
o
x
渐近线的分类: 水平渐近线; 铅直渐近线; 斜渐近线
1. 水平渐近线 ( P35) (平行于 x 轴的渐近线)
若
lim
x
f
(x)
b,
或 lim f (x) b , x
( 其中 b 为常数)
3) 判别曲线形态
x (, 1) 1 (1,1) 1 (1,3) 3 (3, )
y y
0
无 定
0
y
2
义
0
( 极大 )
( 极小 )
4) 求渐近线
lim y , x 1 为铅直渐近线
x1
y
(x 4(
3)2 x 1)
,
y
(
x 4(
3)(x x 1)2
1)
,
y
(x
2 1)3
又因
lim y x x
解 : 1) 定义域为(, ),无对称性及周期性 .
2) y 3x2 2x 1 (3x 1)(x 1) y 6x 2 2(3x 1)
令 3)
y
x y
0, 得x
(,
1) 3
1 3
,
1
13(
0
1, 3
令 1) 3
y
1 3
0, 得 (1 , 1) 3
x
1 0
1 3
(1,
)
y
b x
]
lim
x
x[
f
(x) x
k
b x
]
0
k
lim
x
f
(x) x
(或 x )
lim [
x
f
(x) x
k
b x
]
0
b lim [ f (x) k x]
x (或 x )
例 2. 求曲线
y
x2
x3 2x 3
的渐近 线
.
解:
y
(x
x3 3)(x
1)
,
lim y ,
x3
(或 x 1)
3
所以有铅直渐近线 x 3 及 x 1
1 4
,
即
k
1 4
b
lim (
x
y
1 4
x)
lim [(x 3)2 x 4(x 1)
1 4
x]
lim
x
5x 9 4(x 1)
5 4
y
1 4
x
5 4
为斜渐
近线
5) 求特殊点 x 0 2
y
9 4
1 4
y
(x 3)2 4(x 1)
的点 ;
在
3. 列表判别增减及凹凸区间 , 求出极值和拐点 ;
4. 求渐近线 ;
5. 确定某些特殊点 , 用光滑曲线描绘函数图形 .
小结
函数图形的描绘综合运用函数性态的研究 ,
是导数应用的综合考察 .
y
y f (x)
凹的 最 小
a值
拐 点
o
凸的
单增
单减
最
极
大
大
值
值
极
小
值
bx
例 3. 描绘y x3 x 2 x 1 的图形 .
1
lim(
x1
1 x 1
2)
,
x
1为垂直渐近线
.
3. 斜渐近线 ( P75 题 13)
若 lim [ f (x) (k x b) ] 0, 则曲线 y f (x) 有
x (或 x )
斜渐近线 y k x b.
lim [ f (x) (k x b)] 0
x
k
lim [
x
f
(x) x
y x2 1
又因
k
lim
x
f (x) x
lim
x
x2
x2 2x 3
1
b
lim [
x
f
(x)
x]
lim
x
2x2 3x x2 2x 3
2
y x 2为曲线的斜渐近线 .
二、函数图 形的描绘
步骤 : 1. 确定函数 y f (x) 的定义域 ,并讨论其对称性
( 奇偶性 ) 及周期性
2. ; 求f (x), f (x),并求出 f (x) 及 f (x) 为 0 和不存
.
解
:
1)
y
(x 4(
3)2 x 1)
,
定义域为 (,1), (1, )
2) 求关键点 2(x 3) 4 y 4 y 4xy 0
y
x 3 2y 2(x 1)
(x 3)(x 1) 4(x 1)2
2 4 y 8y 4xy 0
y
1 4y 2(x 1)
(
x
2 1)3
令 y 0 得 x 1, 3 ;
第六节 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
一、曲线的渐近线 ( P76 题 14)
定义 . 若曲线 C 上的动点 M 沿着曲线无限地远离原点
时动, 点 M 与某一定直线 L 的距离趋于 则称直线 L
为0,曲线 C 的渐近线
y
.
或为“纵 坐标 差”
C
y f (x)
M y kxb
则直线 x x0 为曲线 y f (x)
的铅直渐近线 .
例如
双曲线
y
1 x
有铅直渐近线
x0
y ln x 有铅直渐近线 x 0
y tan x 有多条垂直渐近线
x
2
k
,
x
2
k
y ex
y ln x
例
1.
求曲线y
x
1 1
2
的渐近 线
.
解
:
lim (
x
1 x 1
2)
2
2
y 2 为水平渐近线;
A (1,0)
1
1 3
o
1 3
1
x
y x3 x2 x 1
例 4. 描绘函数 y
1
2
e
x2 2
的图形 .
解 : 1) 定义域为(, ), 图形对称于
( Gauss
线y 轴) .
曲
2)
求y 关 键 点12Leabharlann xex2 2
,
y
1
2
e
x2 2
(1
x2
)
令 y 0 得 x 0; 令 y 0 得 x 1
0
y
32
16
27
27
0
4)
x 1 y0
( 极 3 ( 拐点） ( 极
0大 ) 2
小)
1
5
8
( 补充 点)
x
(, 13)
1 3
(
1 3
,
13)
1 3
f ( x)
0
f ( x)
f (x)
极大
值32 27
拐点
(
1 3
,
1267 )
y
B (0,1)
(13 ,1)
1
0
极小
值0
(1, )
C (23 , 85)
则直线 y b 为曲线 y f (x)
的水平渐近线 .
例如
双曲线
y
1 x
有水平渐近线
y0
y e x 有水平渐近线 y 0
y arctan x 有两条水平渐近线
y
2
,
y
2
2. 铅直渐近线 ( P41) (垂直于 x 轴的渐近线)
若
lim
x x0
f
(x)
,
或
lim f (x) ,
x x0
3) 判别曲线形态
x (, 1) 1 (1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, )
y
0
y
0
0
y
1
1
1
2 e
2
2 e
( 拐点 ) ( 极大 ) ( 拐点 )
x (,1) 1 (1,0) 0
( x)
0
(x)
0
( x)
拐点
(1,
1 2e
)
4) 求渐近线
lim y 0
x
y 0 为水平渐近线