20240317云南文山州高中数学教师技能大赛试题-试题版

绝密⋆启用前试卷类型：A
云南省文山州高中教师技能大赛
数学试题
命题人：崔用亮
2024年3月
本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.函数f (x )=e x +a e −x 为奇函数，则实数a 的值为(
)1
A.−1
B.0
C.e
D.2.若正四面体的棱长为√6，则该正四面体的外接球体积为()9πA.92πB.94
πC.98πD.3.2024年3月5日，十四届全国人大二次会议举行首场“部长通道”集中采访活动。

农业农村部部长唐仁健在回答记者提问时表示，尽管去年中国遭遇了频繁、极端的自然灾害，但还是实现“以秋补夏”“以丰补歉”。

根据国家统计局公布的统计数据显示，2023年全年粮食产量69541万吨，比上年增加888万吨，增产1.3%。

其中，夏粮产量14615万吨，减产0.8%；早稻产量2834万吨，增产0.8%；秋粮产量52092万吨，增产1.9%。

谷物产量64143万吨，比上年增产1.3%。

其中，稻谷产量20660万吨，减产0.9%；小麦产量13659万吨，减产0.8%；玉米产量28884万吨，增产4.2%。

大豆产量2084万吨，增产2.8%。

以下说法正确的是()
2022年全国粮食产量低于6亿吨
A.与上一年相比，2023年秋粮中，玉米的增产量约为谷物的增产量的3倍
B.与上一年相比，2023年全年粮食的增产量大于秋粮的增产量
C.2023年，夏粮和秋粮的总产量占全年粮食产量的90%以上
D.4.由sin α+π3 +sin 2α+π6 =−98，则cos α−π6 =()14A.18B.−14C.−18
D.5.若数列{a n }的前n 项和为S n ，且数列{a n }满足：对任意m 、n 、p 、q ∈N ∗，若m +n =p +q ，则a m +a n =a p +a q .下列说法正确的是(
)数列{a n }是等差数列
A.数列{a n }不可能是等比数列
B.数列{S n }是等差数列
C.数列ßS n n
™不可能是等差数列D.
6.函数f (x )=2x sin x +e x 在x =0处的切线方程为(
)x +y +1=0A.x −y +1=0B.x −y −1=0
C.x +y −1=0
D.7.某次跳水比赛计分规则如下：针对运动员每次跳水，共有7个裁判评分，去掉最高分与最低分，剩下的分数相加后乘以难度分，即可得出最终得分.下列说法正确的是(
)
去掉最高分与最低分前后，两组数据的中位数不变
A.去掉最高分与最低分前后，两组数据的方差不变
B.去掉最高分与最低分前后，两组数据的平均数不变
C.去掉最高分与最低分前后，两组数据的众数不变
D.8.若函数f (x )=e ·a x −a a +1·x a +1(a >0)在(0,+∞)上单调递增，则a 的值为()1A.1e B.e C.e 2
D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.若z 1，z 2为复数，则以下说法正确的是(
)|z 1+z 2|=|z 1|+|z 2|
A.z 1·z 1=|z 1|2
B.|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|
C. z 1+1z 1
≥2D.10.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）的离心率为12
，左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，其中点B (0,b ).直线AF 2与y 轴交于点P ，
|OP |=313√3.则下列说法正确的是()椭圆C 的方程为x 24+y 2
3=1A.−−→BF 1+−−→BF 2=138
−−→BP B.△ABF 2的面积为85√3C.△AF 1P 的面积为2465D.11.已知函数f (x )的定义域为R ，常数k ∈N ∗，f (xy )=y k f (x )+x k f (y )+ x k −1 y k −1 .
则()
f (0)=f (1)=0
A.函数f (x )在(0,1)上不可能是单调函数
B.若k 为奇数，则函数f (x )图象关于(0,1)中心对称
C.若k 为偶数，则函数f (x )为偶函数
D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.
x2−
1
x
6
的展开式中，常数项为.
13.2024年3月5日，习近平总书记参加十四届全国人大二次会议江苏代表团审议时强调，
因地制宜发展新质生产力.新质生产力是高水平现代化生产力，具有技术水平高、质量好、效率高、可持续等特征.3月12日，工业和信息化部召开干部大会，提出要把发展新质生产力作为巩固和增强工业经济的重要着力点.完善现代化产业体系，需要改造提升传统产业，培育壮大新兴产业，布局建设未来产业.某小组6人来进行传统产业、新兴产业、未来产业调研，其中传统产业至少1人，新兴产业至少2人，未来产业至少2人，则总计安排方法共有种.
14.等腰梯形ABCD中，A=π
6
，|AB|=4，|CD|=1，底边AB的中点为O，动点P、Q分
别在腰BC、AD（包含端点）上，且¨−→
OP,
−→
OQ
∂
=
2π
3
，若
−→
OC+
−−→
OD
//
λ
−→
OP+µ
−→
OQ
，
其中λ,µ∈R，则4λ+5µ
2λ+3µ
的取值范围为.
三、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本题13分）四面体A−BCD中，AB=AD=BC=CD=√
5，BD=2
√
2，点
M、N分别在棱AB、AD上，且AM=2MB，AN=2ND.
(1)证明：AC⊥BD；
(2)若AC=2，求直线AC与平面MCN所成角的正弦值.
16.（本题15分）已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，过点A作
AH⊥BC交BC于H，AH=3，a=4.
(1)求−→
AB·
−→
AC的取值范围.
(2)若∠BAC的平分线交BC于点M，且AM=2√
3，求cos A.
17.（本题15分）一个袋子里有6个红球，4个黑球，现从袋子里抽取球，每次随机抽取1
个球.
(1)每次取球后都不放回，在前3次抽取的球均为红球的情况下，求第5次抽取的球为
黑球的概率；
(2)若每次取球后都放回，然后再随机抽取，设4次取球后黑球的个数为X，求X的
分布列；
(3)若每次取球后都放回，然后再随机抽取，设η1为取5次球中红球个数；若每次取球
后都不放回，然后再随机抽取，设η2为取出5次球中红球的个数；若前三次取球每次取球后放回，后三次取球每次取球后不放回，设η3为取出的5次球中红球的个数，试比较三次不同取球方式对应的红球个数期望Eη1、Eη2、Eη3的大小（只需写出结论，不需要证明）.
18.（本题17分）已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√53
.设椭圆E 的上、下顶点分别为A 、C ,左、右顶点分别为B 、D ，|AC |=4.
(1)求椭圆E 的方程;(2)已知点G 95,85
，点P 在椭圆E 的第一象限上运动,直线P D 与直线BC 交于点M ,直线GP 与直线y =−2交于点N .求证:直线MN 过定点.19.（本题17分）定义针对函数f (x )、g (x )的T 变换，满足：
1
T (sin x )=cos x ，T (cos x )=sin x +cos x ；2
T (C ·f (x ))=C ·T (f (x ))，其中C 为常数，C ∈R ；3T (f (x )+g (x ))=T (f (x ))+T (g (x ))；
若f 1(x )=sin x +cos x ，且f n +1(x )=T (f n (x ))(n ∈N ∗)，数列{a n }，{b n }满足f n (x )=a n sin x +b n cos x .
(1)求f 3(x )；
(2)证明：存在常数t ∈R ，使得{a n +1−ta n }是等比数列，并求出t 的所有可能值以及对应的公比；(3)证明：存在正整数N ，使得对任意n >N ，函数f n (x )在 −π6,π6
上没有极值点.。