第十七章 勾股定理 单元测试训练卷

人教版八年级数学下册
第十七章 勾股定理
单元测试训练卷
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 下列各组数中，为勾股数的是( )
A ．1，2，3
B ．3，4，5
C ．1.5，2，2.5
D ．5，10，12
2. 如图所示的数轴上的四点E ，F ，G ，H 中，表示实数－ 5 的点是( )
A ．点E
B ．点F
C ．点G
D ．点H
3. 若一直角三角形的两直角边的长分别是4和6，则它的斜边长为( )
A ．6
B ．213
C ．37
D ．10
4. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是( ) A ．365 B ．1225
C ．94
D ．334
5. 如图，矩形ABCD 的对角线AC ＝10，BC ＝8，则图中五个小矩形的周长之和为( )
A ．14
B ．16
C ．20
D ．28
6. 如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，若BD 是△ABC 的高，则BD 的长为( )
A ．1013 13
B ．913 13
C ．813 13
D ．713 13 7. 若△ABC 的三边长a ，b ，c 满足(a －b)2＋|a 2＋b 2－c 2|＝0，则△ABC 的形状是( )
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．无法确定
8. 如图是台阶的示意图，已知每级台阶的宽度都是30 cm ，每级台阶的高度都是15 cm ，连接AB ，则AB 等于( )
A ．195 cm
B ．200 cm
C ．205 cm
D ．210 cm 9. 如图是一块长、宽、高分别是6 cm ，4 cm ，3 cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需爬行的最短路程是( )
A ．(3＋213 ) cm
B ．97 cm
C ．85 cm
D ．109 cm 10. 在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝210BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 等于( )
A ．10
B ．8
C ．6或10
D ．8或10 二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，AB ＝10，BC ＝________．
12. 在平面直角坐标系中，已知点A(－1，－3)和点B(1，－2)，则线段AB 的长为__ __.
13. 公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时创造了“赵爽弦图”．如图，设勾a ＝6，弦c ＝10，则小正方形ABCD 的面积是__ __．
14. 如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E(BE ＞CE)，点F 是AC 的中点，连接AE ，EF ，若BC ＝7，AC ＝5，则△CEF 的周长为________．
15. 如图，长方体的长、宽、高分别为8 cm，4 cm，5 cm.一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A 爬到点B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是__ __cm.
16. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，则PB＋PE的最小值是__ _．
三．解答题（共6小题，56分）
17．(6分) 如图，在四边形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC，试说明：AC⊥CD.
18．(8分) 如图，有一个长方形的场院ABCD，其中AB＝9 m，AD＝12 m，在B处竖直立着一根电线杆，在电线杆上距地面8 m的E处有一盏电灯，则点D到灯E的距离是多少？
19．(8分) 如图，已知CD＝6，AB＝4，∠ABC＝∠D＝90°，BD＝DC，求AC的长．
20．(10分) 如图，在一条公路CD的同一侧有A，B两个村庄，A，B到公路的距离AC，BD分别为50 m，70 m，且C，D两地相距50 m，若要在公路旁(在CD上)建一个集贸市场(看作一个点)，求A，B两村庄到集贸市场的距离之和的最小值．
21．(12分) 如图，某沿海城市A接到台风警报，在该城市正南方向260 km的B处有一台风中心，沿BC方向以15 km/h的速度向C移动，已知城市A到BC的距离AD＝100 km，那么台风中心经过多长时间从B点移动到D点？如果在距台风中心30 km的圆形区域内都将受到台风的影响，正在D点休息的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可以免受台风的影响？
22．(12分) 阅读与思考
如图是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．
×年×月×日星期日
没有直角尺也能作出直角
今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图①所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线AB，现根据木板的情况，要过AB上的一点C，作出AB的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺，怎么办呢？
办法一：如图①，可利用一把有刻度的直尺在AB上量出CD＝30 cm，然后分别以D，C为圆心，以50 cm与40 cm为半径画圆弧，两弧相交于点E，作直线CE，则∠DCE必为90°.
办法二：如图②，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出M，N两点，然后把木棒斜放在木板上，使点M与点C重合，用铅笔在木板上将点N对应的位置标记为点Q，保持点N不动，将木棒绕点N旋转，使点M落在AB上，在木板上将点M对应的位置标记为点R.然后将RQ延长，在延长线上截取线段QS＝MN，得到点S，作直线SC，则∠RCS＝90°.
我有如下思考：以上两种办法依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？……
任务：
(1)填空：“办法一”依据的一个数学定理是__ __；
(2)根据“办法二”的操作过程，证明∠RCS＝90°；
(3)①尺规作图：请在图③的木板上，过点C作出AB的垂线(在木板上保留作图痕迹，不写作法)；
②说明你的作法所依据的数学定理或基本事实(写出一个即可).
参考答案
1-5BABAD 6-10DCACC
11．8 12. 5
13. 4
14. 8 15. 145
16. 10
17．解：在△ABC 中，AB ⊥BC ，根据勾股定理得AC 2＝AB 2＋BC 2＝12＋22＝5， ∵在△ACD 中，AC 2＋CD 2＝5＋4＝9，AD 2＝9，
∴AC 2＋CD 2＝AD 2，
∴根据勾股定理的逆定理得，△ACD 为直角三角形，
∴AC ⊥CD.
18．解：∵在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，
∴BD ＝AB 2＋AD 2 ＝92＋122 ＝15(m).
又∵在Rt △BDE 中，∠EBD ＝90°，
∴ED ＝EB 2＋BD 2 ＝82＋152 ＝17(m)，
∴点D 到灯E 的距离是17 m
19．解：在Rt △BDC 中，BC 2＝BD 2＋DC 2，在Rt △ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2，∴AC 2＝AB 2＋BD 2＋DC 2，又∵BD ＝DC ，∴AC 2＝AB 2＋2CD 2＝42＋2×62＝88，∴AC ＝222 ，即AC 的长为222
20．解：设A 关于直线CD 的对称点为A′，连接A′B ，则A′B 即为A ，B 两村到集贸市场的距离之和的最小值，过A′作BD 的垂线A′H 交BD 的延长线于点H ，在Rt △BHA′中，BH ＝50＋70＝120 (m)，A′H ＝50 m ，∴A′B ＝1202＋502＝130(m)，故A ，B 两村庄到集贸市场的距离之和的最小值为130 m.
21．解：由题意可知∠ADB ＝90°.
在Rt △ABD 中，
∵AB ＝260 km ，AD ＝100 km ，
∴BD ＝2602－1002＝240(km)．
∴台风中心从B 点移动到D 点所用的时间为24015
＝16(h)． 在D 点休息的游人应在台风中心距D 点30 km 前撤离，30÷15＝2(h)，16－2＝14(h)． ∴在接到台风警报后的14 h 内撤离才可以免受台风的影响．
22．解：(1)∵CD ＝30，DE ＝50，CE ＝40，∴CD 2＋CE 2＝302＋402＝502＝DE 2，∴∠DCE
＝90°，故“办法一”依据的一个数学定理是勾股定理的逆定理，故答案为：勾股定理的逆定理
(2)由作图方法可知，QR＝QC，QS＝QC，∴∠QCR＝∠QRC，∠QCS＝∠QSC，∵∠SRC ＋∠RCS＋∠QSC＝180°，即∠QCR＋∠QCS＋∠QRC＋∠QSC＝180°，∴2(∠QCR＋∠QCS)＝180°，∴∠QCR＋∠QCS＝90°，即∠RCS＝90°
(3)①如图③所示，直线PC即为所求；
②答案不唯一，到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。