人教A版高中数学选修4-5课件第一讲二2.绝对值不等式的解法第二课时
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(1)令每个绝对值里的代数式_值__为__0_,并求出 相应的根(又叫零点);
(2)把这些根按由__小__到__大__排__列__在__数__轴__上__,把不 等式的存在域(未知数的取值范围)分成若干 段;
(3)在每一段上去掉绝___对__值_符号组成若干个不 等式(组),解这些不等式(组),求出交集;
误区警示
求例使不等式|x-4|+|x-3|<a有解的a的取值范 围. 【错解】 ∵|x-4|+|x-3|≥|x-4+3-x|=1. ∴|x-4|+|x-3|有最小值为1. ∴a<1时原不等式有解. 【错因】 “|x-4|+|x-3|<a有解”理解错. 上述解法是无解的情况.
法二:设数x、3、4在数轴上对应的点分别 为P、A、B,由绝对值的几何意义,知|PA| +|PB|<a成立.又∵AB=1, ∴数轴上的点到A、B的距离之和大于等于1 ,
高中数学课件
(金戈铁骑 整理制作)
第二课时
第二课时
学习目标 课前自主学案 课堂互动讲练 知能优化训练
学习目标 掌握常见不等式|x-c|+|x-b|≥a的解法.并 会运用分段讨论法、图象法和几何法来求解 .
课前自主学案
1.一般地说,解含绝对值不等式的基本思 想是_去__掉__绝__对__值__符__号_,就是采用正确的方法 ,化去绝对值符号,方法有公式法(同解原 理法:如|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x),不必 讨论g(x)的正负)、平方法、分段讨论法等. 2.运用分段讨论法解绝对值符号里是一次 式的不等式(特别是含两个或两个以上绝对 值符号的),其一般步骤是:
f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a. f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.
变式训练3 若不等式|x+3|-|x-5|<m对 x∈R恒成立,则m的取值范围为________. 解析:|x+3|-|x-5|≤|x+3-x+5|=8, ∴|x+3|-|x+5|的最大值为8, ∴m>8. 答案:(8,+∞)
【解】 (1)∵f(x)=|x-3|+|x+2|≥|(x-3) -(x+2)|=5,
即f(x)min=5,∴a<5. (2)问题可转化为a>f(x)的某些值,由题意 a>f(x)min,同上得a>5. (3)问题可转化为对一切x∈R恒有
a≤f(x)⇔a≤f(x)min,可知a≤5.
【名师点评】 解关于恒成立问题时注意等 价转化思想的应用.
即|x-4|+|x-3|≥1. ∴当a>1时,不等式有解.
方法感悟
1.解含两个或两个以上绝对值的不等式的 常见解法有:(1)分段讨论法;(2)图象法; (3)几何法,有时还可采用两边平方法.
2.几何解法的关键是对绝对值几何意义的 理解.例如|x-a|+|x-b|<c (c>0)的解集为 到A(a),B(b)距离之和小于c的全体.
(4)取这些不等式(组)的解集的_并__集_就是原不 等式的解集.
在变形的过程中要特别注意保证同解,还要 注意步骤的简捷与表达的明晰.区别“并” 还是“交”的关键是“或”还是“且”,同 时还要分清端点是否包括.
3.解|x-a|+|x-b|≥c、|x-a|+|x-b|≤c型 不等式,除分段讨论法外,还可用 函__数__法__或__几__何__意__义__(课本上叫做图象法、几 何法).
【思路点拨】 对(1)来说,a<f(x)对x∈R恒 成立等价于a<f(x)的最小值,求f(x)的最小值 ,只需使用含绝对值的重要不等式|x-3|+|x +2|≥|(x-3)-(x+2)|=5,求出|x-3|+|x+ 2|的最小值,则问题获解.
对(2)(3)来说,问题的关键是如何转化,是 求函数f(x)=|x-3|+|x+2|的最大值还是最 小值.
当x<1时,原不等式变为-(x-1)-(x-2)>3 +x,即x<0,∴x<0.
综上可知,原不等式解集为{x|x<0或x>6}.
【名师点评】 以上例题用的解法叫零点分 段讨论法,含绝对值两个或两个以上的不等 式常用此法.首先找到使每个绝对值等于零 的点,然后分段讨论,再求各段结果的并集 .一般地,n个零点把数轴分成n+1段.
3.因为|x-a|+|x-b|≥|x-a-(x-b)|=|a- b|,所以当c<|a-b|时,不等式|x-a|+|x- b|<c无解;而当|a-b|>c时,不等式|x-a|+ |x-b|>c的解集为R.
变式训练2 解不等式:|x-1|+|3x+5|≤4x +4.
当x≥1时,有 x-1+3x+5≤4x+4. ∴4≤4成立, ∴原不等式解集为{x|x≥1}.
形如|x+m|±|x+n|<(或>)a 恒成立的问题
例(1)3对任意x∈R,若|x-3|+|x+2|>a恒成立 ,求实数a的取值范围. (2)关于x的不等式a>|x-3|+|x+2|的解集非 空,求实数a的取值范围. (3)关于x的不等式a>|x-3|+|x+2|在R上无 解,求实数a的取值范围.
思考感悟
|x|以及|x-a|±|x-b|表示的几何意义是什么? 提示:|x|表示数轴上的点x到原点0的距离;|x -a|±|x-b|表示数轴上的点x到点a、b的距离 之和(差).
课堂互动讲练
考点突破
形如|x+m|±|x+n|<(或>)a 的不等式的求解 例解1不等式|x-1|+|x-2|>2. 【思路点拨】 可用零点分段讨论,可用图 象法,也可用绝对值几何意义求解.
其图象如图.
【名师点评】 法一关键是找零点,法二关 键是正确作出图象.
变式训练1 解ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ等式:|x+2|-|x-1|<2x.
形如|x+m|±|x+n|<(或>)x +p的不等式的解法
解例不2 等式|x-1|+|2-x|>3+x.
【解】 原不等式变为|x-1|+|x-2|>3+x, 当x≥2时,原不等式变为x-1+x-2>3+x , 即x>6,∴x>6; 当1≤x<2时,原不等式变为x-1-(x-2)>3 +x, 即x<-2, ∴x∈∅;