第7章第5节三角形内角和定理课件北师大版数学八年级上册

A
B
证明：延长BE与CD相交于F
E
∴ ∠ BED＝∠1＋∠D (三角形的外角定理).
1
CF
D
∵∠ BED＝∠B＋∠D(已知).
∴ ∠ B＝∠1 (等式性质).
∴ AB∥CD
思考题
已知：如图，∠AMN+∠MNF+∠NFC=360°， 求证：AB∥CD（用多种方法证明）
A
M
B
N
C
F
D
亲爱的亲读爱者的：读者：
4 3
证明：作射线AD
1 D2
B
C
(2)∵∠1是△ABD的一个外角(外角定义),
∴ ∠1=∠3+∠B(三角形的外角定理).
同理得 ∠2=∠4+∠C(三角形的外角定理)
∴ ∠BDC =∠1 ＋∠2 = ∠3+∠B ＋∠4+∠C = ∠A+∠B+∠C(等式性质).
已知：△ABC，CD是∠ACE的平分线
第七章 平行线的证明
7.5 三角形内角和定理 （第1,2课时）
三角形内角和定理 定理：三角形三个内角的和等于1800
∠A+∠B+∠C=1800
A
B
C
撕纸验证三角形三个内角的和为 __18_0_°___.
证明:三角形三个内角的和等于180°
已知：如图,△ABC
A
E
求证：∠A+∠B+∠C=180°
问题： 一个三角形有多少个外角？ 三角形外角和又是多少？
2 1
3
已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个 外角．
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
证明：∵ ∠BAF=∠2 + ∠3 (三角形的外角定理)
∠CBD =∠1 + ∠3
∠ACE = ∠1 + ∠2
∠1+ ∠2 + ∠3= 180 ° (三角形内角和定理) F
D
求证：∠3＞∠B
∠3＞∠1（ ∠1＝∠2 （ ∠3＞∠2 （ ∠2＞∠B （ ∠3＞∠B （
）
A
）
3 12
B
）
C
E
） ）
今天的收获
证明三角形内角和定理的几种方法 辅助线的作法技巧 三角形内角和定理的简单应用
例1 已知: AB∥CD
求证:∠ BED＝∠B＋∠D.
A
证明：过E作EF∥AB ∥CD
〖方法1〗证明：作BC的延长线CD，
过点C作射线CE∥BA。 ∵CE∥BA
B
CD
∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等） ∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等） ∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°(1平角=180°) ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)
证明:三角形三个内角的和等于180°
A
1
∴ ∠1+ ∠2 + ∠3 +∠BAF +∠CBD+∠ACE
=3× 180° 又∵ ∠1+ ∠2 + ∠3= 180 °
(三角形内角和定理)
23
B CE
D
∴ ∠BAF +∠CBD +∠ACE = 540 °- 180°= 360°
例2 已知:在△ABC中,∠1是它的一个 外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连接 D
D
例1 已知:在△ABC中,AD平分外角 ∠EAC,∠B＝∠C. 求证:AD∥BC.
证明:∵ ∠EAC=∠B+∠C (三角形外角定理）
E
∵∠B=∠C (已知),
1 C＝ 2 EAC（等式性质）
A
D
1
∵ AD平分∠EAC(已知).
1
1＝ 2 EAC（角平分线定义）B
C
∴∠1=∠C(等量代换).
∴ AD∥BC(内错角相等,两直线平行).
∴∠ BED＝∠B＋∠D(等量代换).
例1 已知: AB∥CD
求证:∠ BED＝∠B＋∠D.
A
证明：连结BD
∵ AB∥CD
C
∴ ∠3＋∠4 ＋∠1＋∠2 ＝180°(
B
E3 1
42
D
).
∵ ∠BED＋∠1＋∠2＝180°(三角形内角和定理).
∴∠ BED＝∠3＋∠4(等式性质).
即∠ BED＝∠B＋∠D
证明：延长BD与AC相交于E B
A
E
D C
(1)∵∠BDC是△DCE的一个外角(外角定义）
∴ ∠BDC＞∠CED(三角形的外角定理).
∵ ∠DEC是△ABE的一个外角 (外角定义), ∴ ∠DEC＞∠A(三角形的外角定理). ∴ ∠BDC＞∠A (不等式的性质).
已知:如图 求证:(1)∠BDC＞∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
4 3
证明：作射线AD
1 D2
B
C
(1)∵∠1是△ABD的一个外角(外角定义),
∴ ∠1＞∠3(三角形的外角定理).
同理得∴ ∠2＞∠4(三角形的外角定理).
∴ ∠1 ＋∠2＞ ∠3 ＋∠4(不等式性质).
即∠BDC＞∠BAC
已知:如图
A
求证:(1)∠BDC＞∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
D
A
E
已知：如图,△ABC
求证：∠A+∠B+∠C=180° 〖方法2〗证明：过A点作DE∥BC
∵DE∥BC（已作）
B
C
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C
（两直线平行，内错角相等）
∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180°(1平角=180°) ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换) A
B
C
结论: ①直角三角形的两个锐角互余； ②等边三角形每个内角60°
1、人生盛生活年如不逆相重旅信来，眼我泪一亦，日是眼难行泪再人并晨。不代及20表时.7.软宜14弱自7.。勉14，2.02岁.072.月1042不70.:待1343人.220。0:23。032:22004:.3J7u3.1l2-4027:03.21304:2:.32430J2u0l-20:2303:2303:33:25Jul-2020:33
②三角形的外角
A
∠2叫三角形的外角
B
12
C
D
三角形的内角的邻补角叫外角
三角形的外角
定义：三角形内角的一边与另一边的延长线 所组成的角，叫做三角形的外角。
A
D
特征：
BC
(1) 顶点在三角形的一个顶点上．
(2) 一条边是三角形某内角的一边．
(3) 另一条边是三角形某边的延长线．
A 2
3 B
41
C
D
∠1是△ABC的一个外角, ∠1与图
亲爱的读者： 2、利世千所上里在没之的有行地绝，方望始，的于天处足下境人，。都只20向有20那对年里处7月去境1。绝4日二望星〇的期二人二〇。年二七〇月二十〇四年日七月20十20四年日7月201240日年星7月期1二4日星期二 春去春春又去回春，又新回桃，换新旧桃符换。旧在符那。桃在花那盛桃开花的盛地开方的，地在方，在 3、不成少宽功年恕都易众永学生远老，不难不会成原言，谅弃一众，寸生放光，弃阴是者不苦永可了远轻你不。自会。己成20。功:33。270.:1343.72.01240.22002:303270.:1343.72.01240.22002:3032200:3:332:02:5373.:124.72.01240.22002:303270.:1343.72.01240.2020
中的其它角有什么关系?
A
∠1＋∠4＝1800 ;
2
∠1＝∠2＋∠3. ∠1＞∠2;∠1＞∠3;
3 B
41
C
D
能证明你的结论吗?
证明：三角形的一个外角等于和它不相邻
的两个内角的和．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.
求证： ∠1= ∠2+ ∠3
A
证明：∵ ∠4 +∠2+∠3=180° （三角形内角和定理）
这醉人这芬春醉芳去人的春芬季又芳节回的，，季愿新节你桃，生换愿活旧你像符生春。活天在像一那春样桃天阳花一光盛样，开阳心的光情地，像方心桃，情在像桃 54、努不海力要内不为存不它知一的已定结，成束天功而涯，哭若不，比努应邻力当。一为Tu定它es不的da成开y,功始Ju。而ly笑T1u。4e,s72d.0a12y40,.2J0u2ly021704.1T,42u.02e20sd02aJ0uy2,l0yJ:32u30ly2T10u4:e3,s32d20a02y:03, 73Ju/:12ly4/212040:,232030:22407/14/2020 花一这样醉花美人一丽芬样，芳美感的丽谢季，你节感的，谢阅愿你读你的。生阅活读像。春天一样阳光，心情像桃 65、莫你生愁必命前须的路非成无常长知努，已力需，，要天才吃下能饭谁看，人起还不来需识毫要君不吃。费苦8时力，3。吃3分亏8时8。时3T33u分3e分8sd时1a43y-3J, u分Jlu-1l2y401-7J4.u1,l42-2.02020702.J10u4l.y202200Tuesday, July 14, 20207/14/2020
B
E1 F 2
D
例2 已知: ∠ BED＝∠B＋∠D.
求证:AD∥BC.
A
证明：连结BD
∵ ∠BED＋∠1＋∠2＝180°
(
).
C
B
E3 1
42
D
∵∠ BED＝∠3＋∠4(已知).
∴ ∠3＋∠4 ＋∠1＋∠2 ＝180°(等量代换).
∴ AB∥CD ( ).
例2 已知: ∠ BED＝∠B＋∠D
求证:AB∥CD.
C
A
B
A
B
C
在△ABC中: ①∠B＝∠C， ∠A =∠B-30°， 则∠B＝_7_0_°.
② ∠B= 2∠C- 6º，∠A＝∠B+∠C，则 ∠B＝___5.8°
③ ∠ A:∠B: ∠C=4:3:2 ，则∠A＝__80_°.
关注三角形的外角
①邻补角
C
∠1 ＋∠2 ＝ 1800
12
∠1 与∠2叫邻补角 A O B
思考题
已知：如图， AB∥CD ， 求证：∠AMN+∠MNF+∠NFC=360° （用多种方法证明）
A
M
B
N
C
F
D
例2 已知: ∠ BED＝∠B＋∠D.
求证:AB∥CD.
A
证明：过E作AB∥EF
∴ ∠ B＝∠1 ( ).
C
∵∠ BED＝∠B＋∠D(已知).
wk.baidu.com
∴ ∠ 2＝∠D (等式性质).
∴ AB∥CD
A
证明: ∵ ∠1 =∠2+ ∠3
2
（三角形的一个外角等于和它 3 1
不相邻的两内角和）
B CD
∴ ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
三角形的外角定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内 角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻 的内角.
A
∠1＝∠2＋∠3.
2
∠1＞∠2;
∠1＞∠3;
3
41
B
C
DE.求证: ∠1＞∠2.
2
证明:∵∠1是△ABC的一个外角(已知), C
∴∠1＞∠3(三角形的外角定理).E 5 3
4
1
∵∠3是△CDE的一个外角 (外A 角定义). B F
∴∠3＞∠2(三角形的外角定理).
∴ ∠1＞∠2(不等式的性质).
已知:如图 求证:(1)∠BDC＞∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
∴ ∠1 ＝∠ B
∠ 2＝∠D ( ).
C
∴∠ BED＝ ∠1＋∠2 =∠B＋∠D (等量代换).
B
E1 F 2
D
例1 已知: AB∥CD
求证:∠ BED＝∠B＋∠D.
A
B
证明：延长BE与CD相交于F
E
∵ AB∥CD
∴ ∠ B＝∠1 (
1
). C F
D
又∵ ∠ BED＝∠1＋∠D(三角形的外角定理).
76、决生人不命生能太贵放过相弃短知，暂世，何界今用上天金没放与有弃钱失了。败明20，天.7.只不14有一20放定.7弃能.1。得42到200.。7.7.1.814时4。23023.0分72.1804时年23073.月7分.1144日。-J星2u0l期-220二0年7二.71月4〇.21二042〇日0年星七期月二十二四〇日二〇年七月十四日
即∠2+ ∠3= 180°-∠4 又∵ ∠1+ ∠4= 180°(1平角= 180°)
即∠1 = 180°-∠4 ∴ ∠ 1= ∠2+ ∠3 (等量代换)
2
34 1
B CD
证明：三角形的一个外角大于任何 一个和它不相邻的内角．
已知：如图，∠1是△ABC的一个外角.
求证： ∠1> ∠2, ∠1> ∠3
420、:3办敏37事而.1刚好4.愎学20自，20用不20，耻:3即下37使问.1失。4.败。20了72.10也42.0从2:03不2302反70悔.:1343。.:2704.21704.12.2400.:23203022700.12:3403.:23203027:30.1324:02.:2530232020:03:3:32250:33:2420:33:24
证明：延长BD与AC相交于E
A
E
D
B
C
(2)∵∠BDC是△DCE的一个外角(外角定义）
∴ ∠BDC=∠CED+∠C(三角形的外角定理).
∵ ∠CED是△ABE的一个外角 (外角定义), ∴ ∠CED=∠A+∠B(三角形的外角定理). ∴ ∠BDC=∠A+∠B+∠C (等量代换).
已知:如图
A
求证:(1)∠BDC＞∠A; (2) ∠BDC=∠A+∠B+∠C.
∴ ∠BAF +∠CBD+∠ACE
A
=2×（∠1+ ∠2 + ∠3）
1
=2 × 180 ° =360°
23
B CE
D
已知：∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三个 外角．
求证：∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°.
证明：∵ ∠1 +∠BAF=180°(平角定义)
F
∠2 +∠CBD=180°
∠3 +∠ACE=180°