北京市陈经纶中学2012-2013学年高一上学期期中统练数学试题

号 学
题
答
要
不
请
名
内
姓
线
封
密
级
班
北京市陈经纶中学期中统练
高一 年级
数学
学科
（时间： 100 分钟
满分： 100 分）
一、选择题：本大题共 10 个小题，每题 4 分，共 40 分. 在每题给出的四个选项中，有且只有一项为哪一项切合题目要求的 .
1．设会合 A=｛ 4， 5， 7， 9｝，B=｛ 3，4， 7， 8，9｝，全集 U=A B ，则会合 U (A B) 中的
元素共有 （
）
A ．3 个 B.4
个 C.5 个 D.6
个 2. 若 f (x)
2 ， 则 f ( x) 的定义域是（ ）
lg(1
x)
A ． (1,
) B ． (0,1) (1, ) C ． ( , 1)
( 1,0) D ．( ,0)
(0,1)
3 . 若 a ( 1 ) 2
, b ( 1 )1.5
,c log 2 1
，则
（
）
2 2
2
A ． b a c
B ． b c a
C ． a b c
D ． a c b
4. 已知函数 y
f ( x 1) 定义域是 [ 2，3] ，则 y f ( 2x 1) 的定义域是 （
）
5
A.
[ 1，4] B. [ 0， ] C. [ 5，5] D. [ 3，7] 2
5. 函数 f (x)
1 e x 的图象大概是（
）
y y
y
y
O
Ox
x
Ox
O
x
A ．
B
．
C ．
D ．
6. 函数 f ( x)
2x
2 a 的一个零点在区间 (1,2) 内，则实数 a 的取值范围是 A ． (1,3)
x ． (0,3) ． (1,2)
． (0, 2)
B C D
7. 已知函数 f ( x)
x x
2x ，则以下结论正确的选项是（
）
A ． f (x) 是偶函数，递加区间是 (0, )
B ． f (x) 是偶函数，递减区间是 ( ,1)
C ． f (x) 是奇函数，递加区间是
( ,0) D ． f (x) 是奇函数，递减区间是
( 1,1)
8．设 x 1 x 2 ，定义区间 [ x 1, x 2 ] 的长度为 x 2
x 1 . 已知函数 y
2| x| 的定义域为 [ a, b] ，值
域为 [1, 2] ，则区间 [ a, b] 的长度的最大值与最小值的差为
A ． 3
B ．2
C ． 1
D ． 0.5
9. 对 a, b R , 记 max a, b
a, a b , ＜
，
b a
b
函数 f (x) max x 1, x 2 ( x R) 的最小值是 （
）
号
学
题
答
要
不
请
名内姓
线
封
密
13
A.0
B.2
C.2
D.3
10.关于函数 f ( x） lg x2 1 ，有以下三个命题：
① f (x2) 是偶函数；② f ( x) 在区间 (, 2) 上是减函数，在区间 2 ,上是增函数；
③ f (x2) f ( x) 在区间2,上是增函数．此中正确命题的序号是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
二、填空题：本大题共 6 个小题，每题 4 分，共 24 分 .
11.若幂函数 y f (x) 的图象经过点（3,27 ），则f (x).
1
0x c,
12.函数 f ( x)
x 2 ,
此中 c 0 ，那么 f ( x) 的零点是_ ___．
x2x,2x0,
13.函数 y log1 ( x2 2 x 3) 的单一增区间是,值域为
2
14.函数 f ( x)log a ( x1) （ a0且 a1）在 [
1
,1] 上的最小值是1，则a =.
2
1x15
, x
4,
若方程 f ( x)k0 有两个不等实根，则实数k 的15.已知函数 f (x)216
log 2x, 0x 4.
取值范围是．
16.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100 万元，别的每生产 1 件该产品还需要增添
投资 1 万元，年产量为x （x N ）件.当x 20时，年销售总收入为（33x x2）万元；当 x20 时，年销售总收入为260 万元 . 记该工厂生产并销售这类产品所得的年利润为 y 万元，则 y （万元）与x（件）的函数关系式为，该工厂的年产量为件时，所得年收益最大. （年收益 =年销售总收入年总投资）
北京市陈经纶中学期中统练(答题纸 )
高一年级数学学科
（时间： 100 分钟满分：100分）
二、填空题：本大题共 6 个小题，每题 4 分，共 24 分 .
11..12..13.，.
级班
14..15..16.，.
三、解答题：本大题共 4 小题，共 36 分.
17.（本小题满分 8 分）
已知非空会合 A x 2a 1x 3a 5 ， B x 3 x 22 ，（Ⅰ）当 a10时，求 A B，A B ；
（Ⅱ）求能使A( A B) 建立的 a 的取值范围.
18．（本小题满分8 分）
已知函数 f (x)
x
. x1
（Ⅰ）证明：关于定义域中随意的x 均有 f (1x) f (1x) 2 ；（Ⅱ）用函数单一性的定义证明函数 f ( x)在 (1,)上是减函数.
号
学
题
答
要
不
请
名内姓
线
封
密19．（本小题满分10 分）
设函数
( )log（ 0 a 1）.
f x a x
（Ⅰ）若f ( x2x) f (2)，求 x 的取值范围；
（Ⅱ）记函数 f ( x) 的反函数为 g (x) .若 a kg(x 1)0在 [2,) 上恒建立，求k 的最小值.
级班
20．（本小题满分10 分）
借助计算机（器）作某些分段函数图象时，分段函数的表示有时能够利用函数
1,x0,x, x2,
S( x)
例如要表示分段函数 g( x)0, x 2,可以将 g(x) 表示为0, x
0.
x, x 2.
g( x) xS(x2)(x) S(2x) .
设 f ( x)(x2 4 x3)S(x 1) ( x21)S(1x) .
（Ⅰ）请把函数 f ( x) 写成分段函数的形式；
（Ⅱ）设 F ( x) f ( x k ) ，且 F ( x) 为奇函数，写出知足条件的k 值；（不需证明）（Ⅲ）设 h(x)( x2x a a2 ) S( x a) ( x2x a a2 )S( a x) ，求函数h( x)的最小值.
北京市陈经纶中学期中统练
(答案 )
高一 年级
数学
学科
（时间： 100 分钟
满分： 100 分）
1．A
2． D 3．C 4． B 5．A 6．B 7．D
8．C 9．C 10．A
11． x 3
12． 1和 0
13． 1,3 ，
2,
14.
3 15. 15 ,1
2
16
x 2 32x 100,0 x 20, x N * ,
16
16． 答案： y x,
x 20, x
N * ,
160
17. a
6,9
18. 明：（Ⅰ）
1 x 1 x
f (1 x) f (1 x)
1 1 x 1
1 x 分
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
2
1 x 1 x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
x
2 .
x
（Ⅱ） x 1，x 2 是 (1，
) 上的两个随意 数，且
x 1 x 2 ，
x
x 2 x 1 0 ，
y
f ( x 2 ) f (x 1 )
x 2
x 1
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分
x 2 1 x 1 1
x 2 (x 1 1) x 1 ( x 2 1)
x 1
x 2
.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
( x 1 1)(x 2 1)
( x 1 1)(x 2 1)
因 1
x 1
x 2 ， 因此 x 1 1 0 ， x 2
1 0， x 1
x 2 0 ，
因此
y 0 ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
因此 f ( x) 在 (0， ) 上是减函数 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
19. 解：（Ⅰ）由已知 log a ( x 2
x) log a 2 ，
因 0
a 1，因此 0 x 2 x
2 ，
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分
解 x 2 x 2，得 1 x 2 .
解 x 2
x 0 ，得 x
1或 x 0 .
因此 x 的取 范 是 { x
1 x 0 或 1 x 2} .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分 （Ⅱ） g( x) f ( x) 的反函数，因此 g x a x
.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分
( )
由已知 a ka x 1
0 在区 [2,
) 上恒建立，
因 a x
1
0 ，因此 k
( 1 ) x 2 在区 [2,
) 上恒建立，
⋯ 6 分
( 1 )x
a
即 k 大于等于
2
的最大 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
a
1
因 0
a 1，因此 1，又 x
2 [0,
) ，
a
因此 ( 1
)
x 2
的最小
1 ，
( 1
) x 2 的最大
1， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分
a
a
因此 k
1 ，
因此 k 的最小
1.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
20. 解：（Ⅰ） f ( x)
x 2 4x 3, x 1,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2
x 2 1, x 1.
分
（Ⅱ）当 k
1 ， F ( x) 奇函数 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分
（Ⅲ）由已知 h( x)
x 2 x a a 2 , x a, x
2
x a
a 2
, x
a .
而且函数 s
x 2 x a a 2 与 t
x 2 x a a 2 在 x
a 的 同样 . ⋯⋯ 5 分
当 a
1 ， h( x) 在区 ( ,
1
) 上 减，在区
( 1
,a) 上 增，在区
2 2
2
( a, ) 上 增 .
因此， h( x) 的最小 f (
1) ( 1 )2 ( 1 ) a a 2
a 2
a
1 . ⋯⋯⋯ 6分
2
2 2
4
当
1 a 1 ， h( x) 在区 ( ,
1
) 上 减，在区
(
1
, a) 上 增，
2 2
2
2
在区 (a, 1
)
上 减，在区
(1
,
) 上 增 .
2
2
因此 h(x) 最小 f (
1
) 与 f ( 1
) 中 小的一个，即 a 2
a 1 与 a 2
a
1 中 小的一个 .
2 2
4
4
当
1 a 0 ， h( x) 的最小 a 2
a 1 .
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分
2 1
1 4
当 0
a ， h( x) 的最小 a 2 a
. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8 分
2
4
当 a
1 ，在区 (
, a) 上 减， 在区 (a, 1
) 上 减， 在区 ( 1
,
)
上 增 . 2
2
2
因此 h(x) 的最小 f ( 1
)
(1)2
( 1
) a a 2
a 2 a
1 . ⋯⋯9分
2
2
2
1
4
上，当 a
0 ， h( x) 的最小
a 2
a ，当 a
0 ， h(x) 的最小
1
4
a 2 a
.
⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分
4。