江苏省无锡一中2013届高三数学上学期第一次质量检测试题_理_苏教版

2012—2013学年度高三第一学期质量检测数学（理）试题一 填空题（本大题共14个小题，每小题5分，共70分）1．集合2{0,2,},{1,}A a B a ==，若{0,1,2,4,16}A B = ，则a 的值为 ． 2．如图所示的韦恩图中，A 、B 是非空集合，定义A *B 表示阴影部分集合．若,x y R ∈，{}A x y ==，{}3,0xBy y x ==>，则A *B = ．3．已知函数2()68,[1,]f x x x x a =-+∈，并且函数()f x 的最小值为()f a ，则实数a 的取值范围是 ．4．若函数()2121f x x x +=-+的定义域为[]26,-，则函数()y f x =的单调递减区间 ．5．已知)(x f ,)(x g 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且0)3(=-g ，当0<x 时，0)(')()()('>+x g x f x g x f ，则不等式()()0f x g x ⋅<的解集是 ．6．已知函数2211()1x x f x x axx ⎧+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若[(0)]4f f a =，则实数a 等于 ．7．已知p ：12x>，q1<，则q 是p 的 条件．8．当)2,1(∈x 时，不等式x x a log )1(2<-恒成立，则a 的取值范围为 ． 9．已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意0)()(,212121<--≠x x x f x f x x 都有成立，则a 的取值范围是 ． 10．已知偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若在区间[1,3]-内，函数()()g x f x kx k =--有四个零点，则实数k 的取值范围 ． 11．函数35()sin 3f x x x x =+--在[2,2]ππ-上最大值与最小值之和为 ．12．给出如下四个命题： ①(0,)x ∀∈+∞，23x x >；②(0,)x ∃∈+∞，x x e >；③函数()f x 定义域为R ，且(2)()f x f x -=，则()f x 的图象关于直线1x =对称； ④ 若函数2()lg()f x x ax a =+-的值域为R ，则4a ≤-或0a ≥； 其中正确的命题是 ．（写出所有正确命题的题号）13．已知定义在(1,)-+∞上的函数21,0()31,101x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+-<<⎪+⎩，若2(3)(2)f a f a ->，则实数a 取值范围为 ．14．已知函数lg ,010,()110,50,2x x f x x x ⎧<≤⎪=⎨>-+⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则lg lg lg a b c ++的取值范围是 ．二 解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）若集合{}2(,)|20,A x y x m x y x R =+-+=∈，{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤当A B φ≠ 时，求实数m 的取值范围．16．（本小题满分14分）已知x 满足03log7)(log221221≤++x x ，求)4)(l og2(l og22xxy =的最大值与最小值及相应的x 的值．17．（本小题满分14分）设函数)(x f y =是定义在R ＋上的减函数，并且满足)()()(y f x f xy f +=，131=⎪⎭⎫⎝⎛f ．（1）求)1(f 的值， （2）如果2)2()(<-+x f x f ，求x 的取值范围．18．（ 本小题满分16分）某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低(08)x x ≤≤元时，每天多卖出的件数与2x x +成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．（1）试将该商品一天的销售利表示成x 的函数；（2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？19．（ 本小题满分16分）设函数2()x x f x e e a =+-，（a 为实数，x R ∈）． （1）求证：函数()f x 不是奇函数；（2）若()ag x x =在(0,)+∞单调减，求满足不等式2()f x a >的x 的取值范围； （3）求函数()f x 的值域（用a 表示）．20．（ 本小题满分16分）已知奇函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =处取得极大值2．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值1x ，2x 都有12()()f x f x c -≤，求实数c 的最小值；（3）若关于p 的一元二次方程2240p m p -+=两个根均大于1，求函数()()ln f x g x m x x=+ 的单调区间．高三数学附加题21．已知,a b R ∈，若13a M b-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所对应的变换M T 把直线:23L x y -=变换为自身，求实数,a b ，并求M 的逆矩阵．22．已知直线l的参数方程为1222x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），若以直角坐标系xoy 的O 点为极点，ox 方向为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-．（1）求直线l 的倾斜角；（2）若直线l 与曲线C 、B 两点，求AB ．23．甲、乙两名乒乓球运动员进行比赛，采用五局三胜制．若每一局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13．现已完成一局比赛，乙暂时以1:0领先．（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设比赛结束时比赛的局数为X ，求随机变量X 的概率分布列和数学期望．24．已知多项式5431111()52330f n n n n n =++-．（1）求(1)f -及(2)f 的值；（2）试探求对一切整数n ，()f n 是否一定是整数？并证明你的结论．参考答案1．4 2．{x |0≤x ≤1或x ＞2} 3．13a <≤ 4．[]12,- 5．（－∞，－3）∪（0，3） 6．2 7．必要不充分 8．21≤<a 9．⎥⎦⎤ ⎝⎛41,010．0<k ≤14 11．-6 12．③④13．（12-，1） 14．(1,2)15．{}2(,)|20,A x y x mx y x R =+-+=∈，{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤，若A B φ≠ ，求实数m 的取值范围．解：问题等价于方程组{221y x m x y x =++=+在[0,2]上有解，即2(1)10x m x +-+=在[0,2]上有解，令2()(1)1f x x m x =+-+，则由(0)1f =知抛物线()y f x =过点(0,1)，∴抛物线()y f x =在[0,2]上与x 轴有交点等价于2(2)22(1)10f m =+-+≤ ① 或22(1)401022(2)22(1)10m m f m ∆=--≥⎧-⎪<<⎨⎪=+-+>⎩ ② 由①得32m ≤-，由②得312m -<≤，∴实数m 的取值范围为(,1]-∞-．16．已知x 满足03log7)(log221221≤++x x ，求)4)(l o g2(l o g22xxy =的最大值与最小值及相应的x 的值． 解：由题意可得21log321-≤≤-x ，∴3log212≤≤x又∵)4)(log2(log22xxy ==)2)(log1(log22--x x =2log3)(log222+-x x =41)23(log22--x -∴当23log2=x 时，41m in -=y ，当3lo g 2=x时，2m ax =y 即，当22=x 时，41m in -=y ；当8=x 时，2m ax =y17．设函数)(x f y =是定义在R ＋上的减函数，并且满足)()()(y f x f xy f +=，131=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，（1）求)1(f 的值， （2）如果2)2()(<-+x f x f ，求x 的取值范围． 解：（1）令1==y x ，则)1()1()1(f f f +=，∴0)1(=f（2）∵131=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ∴23131)3131(91=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯=⎪⎭⎫⎝⎛f f f f∴()()[]⎪⎭⎫⎝⎛<-=-+91)2(2f x x f x f x f ，又由)(x f y =是定义在R ＋上的减函数，得：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->>-020912x x x x 解之得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∈3221,3221x ． 18．某种商品每件进价12元，售价20元，每天可卖出48件．若售价降低，销售量可以增加，且售价降低(08)x x ≤≤元时，每天多卖出的件数与2x x +成正比．已知商品售价降低3元时，一天可多卖出36件．（1）试将该商品一天的销售利润表示成x 的函数；（2）该商品售价为多少元时一天的销售利润最大？解：（1）由题意可设，每天多卖出的件数为2()k x x +，∴236(33)k =+，∴3k = 又每件商品的利润为(2012)x --元，每天卖出的商品件数为2483()x x ++ ∴该商品一天的销售利润为232()(8)[483()]32124384(08)f x x x x x x x x =-++=-+-+≤≤（2）由2'()942243(4)(32)f x x x x x =-+-=--- 令'()0f x =可得23x =或4x =当x 变化时，'()f x 、()f x 的变化情况如下表：19．设函数2()x x f x e e a =+-，（a 为实数，x R ∈）．（1）求证：函数()f x 不是奇函数；（2）若()ag x x =在(0,)+∞单调减，求满足不等式2()f x a >的x 的取值范围； （3）求函数()f x 的值域（用a 表示）．解：（1）假设()f x 是奇函数，则()()f x f x -=-，而x R ∈，则(0)0f =，而(0)110f e e a a =+-=+-≠，故假设不成立，从而函数()f x 不是奇函数．（2）因()a g x x =在(0,)+∞单调减，则0a <，222x x x x e e a e e a a +-=+-> 则()(1)0x x e a e a -++>，而()x e a ->，则1xe a >--，于是l n [(x a >-+；（3）设x e t =，则0t >，2()y f x t t a ==+-，当0a ≤时，2()y f x t t a ==+-在0t >时单调增，则()(0)f x f a >=-； 当102a ≤≤时，22()()y f x t t a f a a ==+-≥=；当12a ≥时，211()()24y f x t t a f a ==+-≥=-；故当0a ≤时，()f x 的值域为(,)a -+∞； 当102a ≤≤时，()f x 的值域为2(,)a +∞；当12a ≥时，()f x 的值域为1(,)4a -+∞．20．已知奇函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =处取得极大值2．（1）求函数()y f x =的解析式；（2）对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值1x ，2x 都有12()()f x f x c -≤，求实数c 的最小值；（３）若关于p 的一元二次方程2240p m p -+=两个根均大于1，求函数()()ln f x g x m x x=+的单调区间．解：（1）由题()()01012b f f =⎧⎪'=⎨⎪=⎩，解得103a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，()33f x x x =-+；（2）12max min ()()()()f x f x f x f x -≤-=4，故c 的最小值为4；（3）2240p m p -+=两个根均大于1，则求得522m ≤<，()23ln g x x m x =-++，则0x >．()2122x mg x x m xx-+'=-+⋅=．而522m ≤<，则x ⎛∈⎝时，()0g x '>，故⎛ ⎝是()g x 的单调增区间，x ⎛⎫∈+∞⎪ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭是()g x 的单调减区间．。