周期信号和抽样信号的傅里叶变换

p样 yn à(nEcɡTsh)ōSua(
ns
2
),
Fs ()
E
Ts
n Sa( ns
n
2
) F (
ns )
f (t)
1 F ()
o p(t) E
τ
o
Ts
fs (t)
o
Ts
t 相t 卷 乘积
t
mom
t
p()
E s
2
s o
s
Fs () E
Ts
2
s
om s
第十五页，共27页。
③冲激抽样(chōu yànɡ)(理想抽样
第二十三页，共27页。
3.频域抽样(chōu yànɡ)及频域抽样(chōu yànɡ)定理
①频域抽样 (chōu yànɡ)
连续 F ()
f (t) 单脉冲
()抽样
重复?
离散 F1()
f1(t) 周期性脉冲(màichōn
F1() F () () 其中 () ( n1)
n
F [ (t nT1)] 1 ( n1)
Sa( 2
)
2
G
()
Sa(100t)
2
200
G200 ()
m 100, 2m 200
f (t) 1
F ()
2 200
o 2
200
t
100 o 100 (m )
第二十一页，共27页。
解： ②
F
[Sa(100t) cos(1000t)]
1[
2 100
G200 (
1000)
100
G200 (
----时域抽样定理
第十三页，共27页。
2. 时域抽样(chōu yànɡ)信号的傅里叶变换
①讨论(tǎolùn)均匀抽样情况，抽样周期Ts为 ，抽样频率s 2 / Ts
fs (t) f (t) p(t)
Fs ()
1
2
F() P()
1
2
F () 2
n n
pn (
ns
)
n
1000)]
m 1100, 2m 2200
f (t) 1
F ()
t 2 200
1000
100
200
o
1000 m
第二十二页，共27页。
[例4]：求 Sa2 (100t) 的奈奎斯特角频率.
解： F
Sa2 (100t)
1
2
100
G200
(
)
100
G200
(
)
m 200，则奈奎斯特角频率为 2m 400
F 1 2 () F 1 e j1t 2 ( 1)
F
cos1t F
e j1t
e j1t 2
(
1)
(
1)
F
sin(1t) F
e j1t e j1t
2j
j[ ( 1) ( 1)]
第二页，共27页。
F cos1t
F ()
( )
( )
1 0
1
F sin 1t
理想低通滤波器，输出频谱为 F ()的连续信号 f (t)
频域表示: F (ω) Fs () H ()
Fs ()
1/ Ts
Ts
其中
H(ω)
Ts
ω ωm
0 ω ωm
s m o m s
-- 理想低通滤波器传输函数
F ( )
结论2：满足时域抽样定理， fs (t) 保留 f (t)的全部信息， 可无失真恢复 f (t)
1
m o m
第十九页，共27页。
f (t)
F ()
滤波 抽样 重复 窗函数
fs (t)
Fs ()
条件：满足时域抽样(chōu yànɡ)定理
第二十页，共27页。
[例3] ：求Sa(100t)，Sa(100t)cos(1000t)的奈斯特角频率
解： ①
G
(t
)
Sa( 2
)
Sa (
t
2
)
2
G
()
t
(chōu yànɡ)) f (t)
pn
1 Ts
,
Fs ()
1 Ts
n
F (
n
ns )
F () 1
o
t
p(t )
(1)
Ts o Ts 2Ts
t
fs (t)
mom
P()
(s )
s
o
s
Fs () 1/ Ts
Ts o Ts 2Ts
t
s
o
s
第十六页，共27页。
④时域抽样定理（频带(píndài)受限 信号）
jF ()
( )
1
0
( )
1
第三页，共27页。
②极限法
F
cos 1t
lim F
G (t) cos1t
lim F
G (t) 2
(e
j1t
e j1t
)
lim
1 2
[G
(
1
)
G(
1
)]
lim
2
Sa
(
1
2
)
2
Sa
(
1
2
)
F ()
2
1 0
1
2
1
() lim k Sa(k) lim 1 Sa( )
解：
f0
(t)
EG
(t)
F0
()
E
Sa(
2
)
Fn
1 T1
F0 () |n1
E
T1
Sa(
n1
2
)
F
f (t)
F
Fne
jn1t
2
Fn ( n1)
n
n
2
T1
E
Sa(
n
n1
2
) (
n1 )
E1 Sa(
n
n1
2
) (
n 1)
第十页，共27页。
f (t) E
…
…
0
t
F ()
f (t)
f0 (t)
…… 0 T1 T1
2
……
t
T1
T1
2
0 T1
T1
t
2
2
第六页，共27页。
③ F0 ()与 F ()关系
F
f (t)
2 Fn ( n1),
n
Fn
1 T1
F0 () | n1
F
f (t)
2
T1
F0 (n1) (
n
n1)
1 F0 () (
n
n1)
( E1 ) 2
1 0 1
第十一页，共27页。
二、抽样(chōu yànɡ)信号的傅立叶变换 f (t)
1.抽样(chōu yànɡ)概念
① 抽样过程: fs (t) f (t) p(t)
o
t
p(t)
连续信号 f(t)
抽样
抽样信号 fs(t)
o Ts
t
周期性抽样脉冲序列p(t)
fs (t)
数字信号 量化编码
n
pn F () ( ns ) pn F ( ns )
n
n
其中(qpnízhōT1ns g)T2Ts2s p(t)e jnstdt
结论1: 时域抽样 →频域重复(幅度被 pn加权, 形状不变，
重复间隔为 s，pn 取决于 p(tห้องสมุดไป่ตู้的形状)
第十四页，共27页。
②矩形脉冲抽
周期(zhōuqī)信号和抽样 信号的傅里叶变换
2021/11/7
第一页，共27页。
一、周期(zhōuqī)信号的傅立叶变换
周期信号
T1
傅里叶级数
？
T1
非周期
傅里叶变换
(zhōuqī)信号
1．正弦、余弦(yúxián)信号的傅立叶变换
① F 1 2 () F 1 e j1t 2 ( 1)
物理解释: 频带受限信号的最高变化速度受最高 频率分量的限制, 其波形不可能在很短的时间内 产生(chǎnshēng)独立的、实质的变化
b) 几个(jǐ ɡè)名奈奎斯特角频率 : s 2m;
词：
奈奎斯特频率 :
fs
2
fm
2(m 2
);
奈奎斯特间隔 :
Ts
1 2 fm
第十八页，共27页。
c)从 fs (t)恢复 f (t)的方法：满足 s 2m ，fs (t) 施加于
f (t)
Fs ()
1
o
t
m o
m
fs (t)
Fs ()
1/ Ts
频谱不混迭:
s 2m
频谱混迭:
s 2m
o Ts fs (t)
t
s m o m
s
Fs ()
1/ Ts
s m
o Ts
t
s m o m s
第十七页，共27页。
a) 定理内容： 频带受限 f (t) (m m ) ，等间隔抽样 (抽样周期为 Ts )，若满足 s 2m ，可保证 Fs ()频谱不混 迭，即信号 f (t)可用等间隔的抽样值 fs (t)唯一地表示
第五页，共27页。
②傅立叶级数系数 Fn与单脉冲傅立叶变换 F0 ( )关系
Fn
1 T1
F0 ()
T1
2 T1
2
f (t)e jn1t dt
1 T1
T1
2 T1
2
f
0
(t
)e
jn1t
dt
f0 (t)e jt dt
T1
2 T1
f0 (t)e jt dt
2
Fn
1 T1
F0 () | n1
1 T (t) / 1
()
1
T1 0 T1 t
f1(t) 1
1
T1 tm0 tm T1 t
第二十五页，共27页。
②频域抽样定理(dìnglǐ)（时间受限信号）
i)
f (t)
F ()
1
tm0 tm
t
0
f1 (t )
F1 ( )
1
1
tm 0 tm T1
t
1 01
T1
2tm
1
2
2tm
,
f1
1 2tm
F
T (t)
F
Fne
jn1t
2
Fn ( n1)
n
n
2
T1
(
n
n1)
1 (
n
n1)
1 ()
第八页，共27页。
……
T (t)
(1)
……
T1 0
T1
T (t)为周期信号 t
……
1
F ()
(1) ……
1 0
1 1
F () 为周期函数
第九页，共27页。
[例2]：求 f (t) EG (t nT1)的傅立叶变换 n
k
/ 2 2 2
F cos1t ( 1) ( 1)
第四页，共27页。
2.一般(yībān)周期信号的傅立叶变换
①周期(zhōuqī)信号
i) f (t)
Fne jn1t ,
n
1 Fn T1
T1
2 T1
f (t)e jn1t dt
2
F
f (t)
F
Fne
jn1t
Fn F
n
n
e jn1t 2 Fn ( n1) n
F
f (t)
2 Fn ( n1),
n
Fn
1 T1
T1
2 T1
f (t)e jn1t dt
2
一些冲激函数（频谱密度概念），位于谐频处，强度为 2 Fn
ii) 周期信号(xìnhào)频谱离散（傅立叶变换和傅立叶级数）
n
n
F
-1[ ( n1)]
n
F
-1[ ()]
1
1
(t nT1)
n
f1(t)
f
(t)
1
1
n
(t
nT1 )
1
1
n
f (t nT1)
第二十四页，共27页。
F(0) F ()
0
()
(1)
1 0 1 (F(0)) F1()
0
1 f (t)
tm0 tm
t
第二十七页，共27页。
o Ts
t
第十二页，共27页。
②与 Sa(t)含义不同
③ f (t) F (), fs (t) Fs (), p(t) P()
问题:
¶Fs ()的形式, Fs ()与 F () 的联系？
----抽样信号的傅里叶变换 ¶ fs (t) 保留 f (t) 的全部信息, 从 fs (t)无失真恢复 f (t)？
f (t) f0 (t nT1) n 重复
f0 (t)
F () 离散
抽样 1 系数
F0 ( ) 连续(liánxù)
第七页，共27页。
[例1]：求 T (t) (t nT1) 傅立叶变换 n
解： f0 (t) (t) F0 () 1
Fn
1 T1
F0 () | n1
1 T1
信号f(t)是受限信号，集中在-tm~+tm时间范围内，若在频域中以不大于 1/2tm的频率间隔对频谱F(w)抽样，则抽样后的频谱可唯一(wéi yī)地表示原 信号
第二十六页，共27页。
ii)恢复方法：用矩形脉冲作选通信号从 周期(zhōuqī)信号中选出单个脉冲
tm T1 tm , f1(t) 1G2 (t) f (t)