第二十二章 二次函数 复习小结

解：（1）抛物线的解 析式为y=-x2+2x+3.
（2）点F在抛物线的对称轴上运动，是否存在点F，使
△BFC的面积为4，如果存在，求出点F的坐标；如果不
存在，请说明理由.
（2）存在.由（1）得抛物线的对称轴为x=1，且
B（-1，0），∴C（3，0）.
设F（1，m），
∵△BFC的面积为4，∴
.
∴ =2.解得m=2或m=-2.
a<0时，对称轴左侧(x<- 2a )， 函数值y随x的增大而增大 ；对称轴
右侧(x>减小 。
2a
)，函数值y随x的增大而
（2） a>0时，y最小=
4ac-b2 4a
a<0时，y最大=
4ac-b2 4a
一、定义
使用
二、图象的特点 和性质
一般式
解析式
范围
y=ax2+bx+c
三个点的 坐标
三、解析式的求法
（2）存在.当AB为平行四边形的边长时，如答图22-
28-2，答图22-28-3，M1，M2为所求点. ①∵四边形ANM1B为平行四边形， ∴△ANH≌△BM1G. 则M1的横坐标为-2，代入二次函数表达式， 解得M1坐标为（-2，5）；
②∵四边形AM2NB为平行四边形， ∴△ABG≌△M2NH. 则M2的横坐标为4，代入二次函数表达式， 解得M2的坐标为（4，5）； ③当AB为平行四边形的对角线时，如答图22-28-4
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b 2a
的位置:
ab>0 ab=0 ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0 Δ<0
典型例题 知识点1：二次函数的图象和性质 【例1】 抛物线y=-5（x+2）2-6的对称轴和顶点分别是（ C ） A. x=2和（2，-6） B. x=2和（-2，-6） C. x=-2和（-2，-6） D. x=-2和（2，-6）
图 26.2.1
(二) 性质：
（1） a>0时，y轴左侧，函数 值y随x的增大而减小 ； y轴右 侧，函数值y随x的增大而增大 。
a<0时， y轴左侧，函数值 y随x的增大而增大 ； y轴右侧， 函数值y随x的增大而减小 。
（2） a>0时，y最小=0
a<0时，y最大=0
2.二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
解：（1）W=（x-30）·y =（x-30）（-x+60）=-x2+30x+60x-1 800 =-x2+90x-1 800，
即W与x之间的函数解析式为W=-x2+90x-1 800.
（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售 利润最大？最大利润是多少元？
（2）由（1）得 W=-x2+90x-1 800 =-（x-45）2+225.
（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积. 解： （2）如图，连接OM. 由（1）知，A（-1，0），B （3，0），则OA=1，OB=3. ∵抛物线y=x2-2x+3的顶点为M， ∴M（1，-4）. ∴S四边形ABMC=S△AOC+S△OMC+S△BOM = OA·OC+ OC·Mx+ OB·My = ×1×3+ ×3×1+ ×3×4=9. 即四边形ABMC的面积是9.
∴点F的坐标为（1，2）或（1，-2）.
分层训练
A组
1.抛物线y=2（x-3）2+4的顶点坐标是
（ A）
A. （3，4）
B. （-3，4）
C. （3，-4）
D. （2，4）
2.抛物线y=x2-2x-3与y轴的交点的纵坐标为 （ A ）
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
B组 3.已知矩形的周长为60，请表示出这个矩形的面积与其 一边长的关系，并求出当矩形面积取得最大值时，矩形 的边长.
解：设矩形的面积为S，一边长为a，则
S=
.
∴当a=15时，S取得最大值，此时S=225.
答：这个矩形的面积与其一边长的关系式是S=-
a2+30a，当矩形面积取得最大值时，长和宽都是15.
4.如图，抛物线y=x2-2x+k与x轴交于A,B两点，与y轴交 于点C（0，-3）.
（1）k=_____-_3____，点A的坐标为_（__-_1_，__0_）__，点B的 坐标为__（__3_，_0_）___；
解：（1）y=-2（x-2）2+4. （2）与y轴的交点为（0,-4），与x轴的 交点为（2+ ，0）和（2- ，0）.
变式训练 1.二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（4，3）和点（3， 0）. （1）求二次函数的解析式； （2）该函数的图象可以由y=x2的图象经过怎样的平移 得到？
解：（1）y=x2-4x+3. （2）y=x2-4x+3=（x-2）2-1,可以由y=x2的图象向右 平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到.
一、定义
二、图象特点和性质
三、解析式的求法
四、图象位置与a、 b、c、 的正负关 系
一般地，形如 y=ax2+bx+c(a，b，c
是常数，a≠0)的函数， 叫做二次函数.
1.二次函数 y=ax2 (a≠0)的图象和性质 (一) 图象:
图 26.2.1
(1)是一条抛物线； (2)对称轴是y轴； (3)顶点在原点； (4)开口方向: a>0时,开口向上； a<0时,开口向下.
典型例题 知识点3：二次函数的实际应用及综合问题 【例3】 某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成 本价为每个30元. 市场调查发现，这种双肩包每天的销 售量y（单位：个）与销售单价x（单位：元）有如下关 系：y=-x+60（30≤x≤60）. 设这种双肩包每天的销售 利润为W元.
（1）求W与x之间的函数解析式；
C组 5.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，-3），且与x 轴的交点坐标为（-1，0）和（3，0）. （1）求抛物线的解析式；
解：（1）y=x2-2x-3. （2）若点M在抛物线上，点N 在抛物线的对称轴上，是否存 在以点A，B，M，N为顶点的四 边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的 点M的坐标；若不存在，请说明理由.
，M3与点C重合，故M3（0，-3）. 故点M的坐标为（0，-3），（4，5），（-2，5）.
顶点（h,k)
四、图象位置与a、顶点式 b、c、 的正负 关系
y=a(x-h)2+k
及另一个 点坐标
与x轴的
交点式
y=a(x-x1)(x-x2)
两个交点 及另一个
点坐标
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
y
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0 c<0
0
x
(3)a、b确定对称轴
x=-
∵a=-1＜0， ∴当x=45时，W有最大值，最大值是225，即当 销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最 大利润为225元.
变式训练 1.如图，抛物线y=ax2+2x+c经过点A（0，3），B（-1，0）. （1）求抛物线的解析式； （2）点F在抛物线的对称轴上运动，是否存在点F，使 △BFC的面积为4，如果存在，求出点F的坐标；如果不存在 请说明理由.
变式训练 1.下列关于抛物线y=-x2+2的说法正确的是 （ D ） A. 抛物线开口向上 B. 顶点坐标为（-1，2） C. 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 D. 抛物线与x轴有两个交点
典型例题 知识点2：用待定系数法求抛物线的解析式 【例2】 已知抛物线的顶点为（2，4），并过点（1，2）. （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线与x轴，y轴的交点坐标.
(一) 图象:
(1)是一条抛物线；
(2)对称轴是:x=- 2a
(3)顶点坐标是:(- ,2a
)4ac-b2 4a
(4)开口方向:
a>0时,开口向上；
a<0时,开口向下.
图 26.2.4
图 26.2.4
(二) 性质：
（函1数）值ay>随0时x的，增对大称而轴减左小侧；( x对< 称-2a轴)， 右侧(x>- )，函数值y随x的增大而 增大 。 2a