期末复习-复变函数与积分变换

复变函数与积分变换
第一章
⒈ 求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角：
（2）2
34.12i i +⎛⎫
⎪-⎝⎭
解(2)()()()()2
2
2
5105212121432143⎪⎭⎫
⎝
⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=i i i i i i i z ()i i 43212
--=+-=，
则 3Re -=z ，4Im -=z ，i z 43+-=；
54322=+=z ； π-=3
4
arctan
arg z 。

⒊ 将下列复数化为三角式和指数式： （3） 31i +；
解 (3) 这里1=x ,3=y ,则()
2312
2
=+
=z ,
从而有21cos =
θ，2
3sin =θ；得 3arg π=z ， 则三角式与指数式分别为:
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭
⎫ ⎝⎛=3sin 3cos 2ππi z ,
i
e z 3
2π
=.
4. 求下列各式的值：
（2） 327-。

解 (2)因为 ()ππsin cos 2727i +=-,
所以
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛++⎪⎭⎫
⎝⎛+=-32sin 32cos 272733ππππk i k ()2,1,0=k ， z
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝
⎛++⎪⎭⎫
⎝⎛+=32sin 32cos 3ππππk i k ， ()2,1,0=k 。

5. 指出下列各题中点的轨迹或所在范围，并作图： （5）122-=+z z ；
解 (5) 设iy x z +=， 由122-=+z z ，得
()()iy x iy x +-=++122， 即
()()[]2222142y x y x +-=++
化简得4)2(2
2
=+-y x
点z 的轨迹表示以2=z 为圆心,以2为半径的圆周.
6. 函数z
1
=
ω把下列平面上的曲线映射成平面上怎样的曲线？ （3）1=x ； 解 ：(3) 211y u +=
，2
1y
y u +-=，消去参数y ,得u v u =+2
2,即41)21(22=+-v u ,是ω平面上一圆周.
8. 下列函数在何处可导？在何处解析？
（2）()x i x e
z f y
sin cos )(+=-； 解 （2）因()x i x e
z f y
sin cos )(+=-,即
x e u y cos -=, x e v y sin -=,
而
x e x u y sin --=∂∂,x e y v y sin --=∂∂,x e y
u y cos --=∂∂,cos y v
e x x -∂=∂在复平面处处连续,且处处满足R C -方程.故()z
f 在复平面上处处可导,处处解析. 10. 下列复函数在点0=z 处解析的是：
（1）()()()
⎪⎩
⎪⎨⎧=+=≠+=+--+=0,0,0,112
233iy x z iy x z y
x i y i x z f 解 （1） 考察极限()()0
0lim
--→z f z f z , 当z 沿虚轴()00→=x 时,有
z z ω
()()()i iy i y iy f iy f y y +=--=-→→11lim 0lim 3
300, 当z 沿直线()0→=x y 时,有
()()()()2
211211lim 0lim 23300i i i x ix x i x i x ix x ix x f x x y -=+=+--+=+-+→→=, 从而()()0
0lim
--→z f z f z 不存在,则函数()z f 在0=z 不可导,即不解析.
第二章
3. 沿抛物线2
y x =计算积分
120
()i x iy dz ++⎰
的值．
解:路线2y x =的参数方程为2
x t y t
=⎧⎨
=⎩，01t ≤≤或2
,01z t it t =+≤≤，则(12)dz it dt =+，所以
1111
222230
()()(12)(1)(2)i
x iy dz t it ti dt i t dt i t dt ++=++=++⎰
⎰⎰⎰
1566
i =-+.
6. 计算
（1）
11
i z ze dz +⎰
；
解 (1)
111
1
i
i
z
z ze dz zde ++=⎰
⎰
111111
1
1
(1)i
z i z i z
i i ze
e dz i e e e ie +++++=-=+--=⎰.
7. 沿指定曲线的正向计算下列各积分：
（8）
221(1)(4)C dz z z ++⎰，C ：3
2
z =； 解 (8) ()f z 有四个奇点，其中z i c =±在内，作互不相交互不包含且在C 内的小圆周12c c 和 包含i 与-i ，则
1
22211(4)()(4)()c c dz dz
z z i z i z z i z i +=++-+-+⎰
⎰ (
)()()
()i
z i z z z i z z i
-==-++++241
224122
2ππ
()()0142114212=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--+-=i i i π 8. 计算下列积分
（3）2sin 4
z C e z
dz z +⎰， C ：3z =为正向． （4）
33
cos (1)
C
z
dz z z π-⎰
， C ：2z =为正向． 解 (3)因为 4
sin 2+z z
e z 在:C 3=z 内的奇点为 i i 2,2-
则=+⎰=dz z z
e z z 32
4sin +-+⎰=-dz i z i z z
e i z z 1222sin dz i z i z z
e i z z ⎰=++-1
222sin i i i e i i i i e i i i 22)
2sin(2222sin 222---++=-ππ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=-22sin 22sin 22i e i e i i π 22sin 22i
i e e i
-+=πi i 2cosh 2sin π=. 即 =+⎰=dz z z
e z z 32
4
sin i i 2cosh 2sin π. (4)
3
3)
1(cos -z z z
π在:C 2=z 内的奇点为1,0 则，
=-⎰=dz z z z
z 233)
1(cos πdz z
z z z ⎰
=-2
1
3
3
)1(cos πdz z z z z ⎰
=
--+2
1
13
3)1(cos π
()1
'
'30
'
'3cos !221cos !22==⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=z z z z i z z i ππππ
(
)
12
2)12()12(2
22-=-+-=ππππππi i i
即
)12(2)
1(cos 2
33-=-⎰πππi dz z z z C . 9. 由下列各调和函数，求解析函数()f z u iv =+．
（2）22u x y y =--，()f i i -=； 解 (2)
2,21u u x y x y ∂∂==--∂∂ ，因为2,v u x y x
∂∂==∂∂ 所以 2()v xdy f x =+⎰
= 2()xy f x +
'2()21v u y f x y x y
∂∂=+=-=+∂∂ ，则 ()f x x c =+
所以2v xy x c =++，22()(2)f z x y y i xy x c =--+++， 由()f i i -=得 c =1, 则有
22()(21)f z x y y i xy x =--+++=)1(2++z i z
第三章
1. 下列数列{}n z 是否收敛?如果收敛，求出它们的极限.
（2）()
1n
n z i -=+;
解 化为实部与虚部两个实数分别讨论. （2）()
()[
]
n
n
n i i Z --+=
+=θθsin cos 21
()θθn i n n
sin cos 2
1-=
4
1arctan π
θ== 0cos 22lim =⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∞→θn n
n ()0sin 22lim =-⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∞→θn n
n 故()n
n i z -+=1收敛于零。

2. 判别下列级数的绝对收敛性与收敛性.
（1）1n
n i n
∞
=∑ ;
解
(1)一般项
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin 2cos 12sin 2cos 1ππππn i n n i n n i n
n ，而
()∑∑∞=∞
=-=111212cos 1k k
n k n n π，()∑∑∞
=-∞=--=11111
212sin 1k k n k n n π为收敛的交错级数
所以∑∞
=1n n
i n 收敛.但n n i n 1
=，∑∞
=1n n n i 发散，故条件收敛.
3. 试确定下列幂级数的收敛半径.
（2），02
n
n n nz ∞
=∑;
解 (2) 11(1)211
lim
lim lim 222n n n n n n n
C n n l C n n ++→∞→∞→∞++==⋅==, 所以此级数的收敛半径21
R ==
l
. 5．求下列各函数在指定点0z 处的泰勒展开式，并指出它们的收敛半径.
（2）
(1)(2)
z
z z ++，01z =;
解 (2)
)2)(1(++z z z 212111
1121321132
z z z z =-=-
--++++ 当
1
13
z -<，即13z -<时
01(1)(1)1313
n
n n n z z ∞
=-=--+
∑ 当
1
12
z -<，即12z -<时
01(1)(1)1212
n
n n n z z ∞
=-=--+
∑ 故当12z -<时，上式两展开式同时成立，即有
)2)(1(++z z z 002(1)1(1)(1)(1)3322
n n n
n n n n n z z ∞∞==--=---∑∑
()()n
n n n n z 121321110
-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=++∞
=∑
收敛半径2R =.
7．把下列各函数在指定的圆环域内展开成罗朗级数.
（1）
3
1
(2)
z z +，022z <+<; （5）
1
()()
z a z b --，a b <，a z b <<，a b z <<<+∞;
解 (1)
[]33
11
(2)(2)2(2)
z z z z =++-+ 3
111
22(2)12
z z =-
++- ()∑∞
=⎪⎭
⎫
⎝⎛++-=03222121n n
z z ∑∞
=+-+-=0
1
32)2(n n n z 220<+<z . (5) 当b z a <<时，即
1,1<<b
z
z a 原式⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=
b z a z b a 111
⎪
⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-⋅+-⋅-=
b z b z a z b a 1111111 ⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=∑∑∞=∞=00111n n n
n b z b z a z b a
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=∑∑∞=∞=++00111n n n n n n b z z a b a . 当+∞<<<z b a 时，即
1,1<<b
z
z a 原式⎪
⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-⋅+-⋅-=
z b z z a z b a 1111111
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=∑∑∞=∞=00111n n n
n z b z z a z b a
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=∑∑∞=∞
=++00111n n n n n n z b z a b a 1,1<<b z z a
第四章
1. 判断下列函数的孤立奇点及类型，如果是极点，指出它的级. （3）
5
1cos z
z
- ； 解 (3)
0z =为
51cos z z -的孤立奇点，因在0z <<∞内5
1cos z
z - =()()⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++--n n
z n z z z 2425
!211!41!21111
=
253111...(1)2!4!(2)!n
n z z z n --++- 所以z=0为
5
1cos z
z -的三级极点. 2．求下列各函数在孤立奇点处的留数.
（4）
cos z z ； （6）1sin z z
； 解 (4) 2
k z k π
π=+
（k=0,±1,…）为f(z)的一级极点. 故
1'
2
Re [(),](1)()(cos )2sin()2
k
k k z z k z
s f z z k z k π
ππ
πππ-=+
=
=-
=-++.Z ∈k (6) 0=z 为二级极点，z k π=() ,2,1±±=k 为一级极点，故
[]0sin lim 0),(Re '
0=⎪⎭
⎫
⎝⎛=→z z z f s z ,
'1(1)Re [(),]lim (sin )k
z k s f z k z z k πππ
→-==.
3．利用留数理论计算下列积分.
（4）
3521
z dz z z =-⎰；
解(4) 因为0z =为三级极点，1z =±为一级极点，所以
30
1
Re [(),0]lim(())''12!z s f z z f z →==，
11
Re [(),1]lim(1)()2
z s f z z f z →±±==-,
因此，
3521z dz z z =-⎰021211=⎪⎭
⎫
⎝⎛--=. 4．利用留数理论计算下列实积分. （1）
20
15
sin 4
d πθθ+⎰
； （5）2
4
1x dx x +∞
-∞+⎰； （6）20sin 1x x dx x +∞+⎰. 解 (1)因为
220
1115
51sin 4
42z dz
d z iz iz
π
θθ==
-++⎰
⎰214
252z dz z iz ==
+-⎰，
2
i
z =-
为1z =所包含的孤立奇点， i i
z i iz z s i z 3
4
5442,2524Re 2
2-=+=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡
--+-
=，
所以，
20
1
5sin 4
d πθθ+⎰
ππ38
342=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=i i .
(5) 2
4
1x dx x +∞
-∞+⎰⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=∑>k z z z z s i k ,1Re 2420Im π 2442434
32
3
2
π
ππ
π
=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+===i i
e z e z z
z z
z i . (6)
20
sin 1x x dx x +∞+⎰
21sin 21x x
dx x +∞-∞=+⎰⎭⎬⎫⎩
⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=i z ze s i z ,1Re Im 2π 2
2iz
z i
e e
π
π
===
.
第六章
1. 求函数()cos sin f t t t =的傅氏变换．
解 由 1
()cos sin sin 22
f t t t t ==及正弦函数t w 0sin 的傅氏变换
[]()()[]000sin ωωδωωδπω--+=i t F 得
()[][]()()[]222
1
2sin 21--+==
ωδωδπi t t f F F
即 []t t sin cos F [(2)(2)]2
i
πδωδω=+--.
3. 求函数1()[()()()()]222
a a
f t t a t a t t δδδδ=
++-+++-的傅氏变换． 解 由傅氏变换的定义及单位脉冲函数()t δ的性质：
()()()0
t f dt t f t t =-⎰+∞
∞
-δ
有 [()]()()i t f t F f t e dt ωω+∞
--∞
==
⎰
F
()()()2
21[]2
a a
i i i a i a e
e e e ωωωω------=+++ cos cos 2
a a ωω=+.
第七章
1. 求下列函数的拉氏变换，并用查表的方法验证结果． （1）()sin f t t π=；
解 (1) []0
sin sin st
t te dt ππ+∞
-=
=⎰
L 0
Im{}i t st e e dt π+∞
-⎰
(){
}
()⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨
⎧-==+∞
-∞
+-⎰
Im Im s i e dt e t s i t
s i πππ2
222Im ππππ+=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧++=s s i s . 2. 求下列函数的拉氏变换.
（1）3,02,()1,24,0,4;t f t t t ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪≥⎩ （2）3,,2
()cos ,;2
t f t t t ππ⎧<⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩
解 (1) []0
()()st f t f t e dt +∞
-=⎰
L
2
4
2
4
020233st st st st
e e e dt e dt s s ----=-=+
-⎰⎰)43(142s s e e s
--+-=. (2) []20
2
()3cos st st f t e dt te dt π
π+∞
--=+⎰⎰L
2
22
13(cos sin )1s st
e e
s t t s
s π
π
-+∞
--=⋅
+-++1)1(322
2+--=--s e e s s
s π
π
.
4．求下列函数()F s 的拉氏逆变换()f t ，并用另一种方法加以验证．
[在此处键入]
- 11 -
（1）22
1()F s s a =+； 解 (1) 方法一：112222111sin a at s a a s a a
--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦L
L . 方法二： 12222221Re ,Re ,st st e e s ai s ai s a s a s a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦L 1sin 22ait ait e e at ai ai a -=+=-. 5．求下列微分方程及方程组的解. （1）43,(0)(0)1t y y y e y y -''''++===；
解 (1) 设{}()y Y s =L ，对方程两边取拉氏变换，并考虑到初始 条件，得
1
1)(34)(41)(2+=+-+--s s Y s sY s s Y s 这是含未知量)(s Y 的代数方程，整理后解出)(s Y 得
215()(3)(1)(1)(3)
s Y s s s s s +=+++++ 2
31711143412(1)s s s =-⋅+⋅+⋅+++ 再取拉氏逆变换得其解为
[]11112317111()()43412(1)y t Y s s s s ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤==-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦
L L L L []
t t t t t e e t te e e 333)27(41214743------+=++-=.。