解密13空间几何体(讲义)-【高频考点解密】2022年高考数学二轮复习讲义+分层训练(全国通用)

解密13 空间几何体
考点热度 ★★★★☆
内容索引
核心考点1 空间几何体与三视图 核心考点 2 空间几何体的表面积与体积 核心考点3 空间几何体与球的切、接问题
核心考点一 空间几何体与三视图
考法 空间几何体与三视图
高考考点 三年高考探源 预测
空间几何体与 三视图
2021全国甲卷理6
2021全国甲卷文7 2021全国乙卷理16 2021全国乙卷文16 2019课标全国Ⅱ 16
从近三年的考查情况来看，空间几何体的三视图是高考的重点，多以三视图为背景考查几何体的结构特征，一般是选择题、填空题，难度中等．
空间几何体的 表面积与体积
2019课标全国Ⅲ16 2019课标全国Ⅱ 16（2）
从近三年的考查情况来看，空间几何体的表面积和体积一直是高考的重点和热点，主要考查以三视图为背景的几何体的表面积和体积．与球有关
的切、接问题，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等．
空间几何体与球的切、接问题
2021全国甲卷理11
变式一画空间几何体的三视图
1、（2021·新疆·乌市八中高二阶段练习）一个正方体截去两个角后所得几何体的正（主）视图、俯视图如图所示，则其侧视图（左）视图为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由正视图和俯视图可得几何体的直观图，由直观图可得侧（左）视图.
【详解】由正（主）视图、俯视图可得几何体的直观图如下图所示，
侧（左）视图如下图所示，
故选：C．
2、（2021·全国·高一课时练习）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形．若三棱柱的主视图（如图所示）的面积为8，则左视图的面积为（）
A ．8
B ．4
C ．43
D ．23
【答案】C
【分析】根据题意求出三棱柱的侧棱，画出左视图，其左视图为一个矩形，根据矩形的长和宽即可求出面积.
【详解】设该三棱柱的侧棱长为a ，则28a =，所以4a =．该三棱柱的左视图是一个矩形，如图所示，一边长为4，其相邻边长等于三棱柱底面等边三角形的高，且高为3，所以左视图的面积为43． 故选C ．
变式二 由几何体的三视图还原几何体的形状
1、（2020·浙江·高三专题练习）如图，在矩形ABCD 中，2,3==AB BC ，沿BD 将矩形ABCD 折叠，连接AC ，所得三棱锥A BCD -正视图和俯视图如图，则三棱锥A BCD -侧视图的面积为
A ．
6
13
B ．
1813
C ．
213
D ．
313
【答案】B
【分析】画出几何体的直观图，判断出几何体的结构，由此画出几何体的侧视图，并求得侧视图面积.
【详解】画出几何体的直观图如下图所示.由正视图和俯视图可知，平面ABD ⊥平面BCD . 过A 作AE BD ⊥，交BD 于E ， 过C 作CF BD ⊥，交BD 于F ，
根据面面垂直的性质定理可知AE ⊥平面BCD ，CF ⊥平面ABD ， 又CF ⊂平面BCD 则AE CF ⊥.
由于四边形ABCD是矩形，所以AE CF
=，
所以三棱锥A BCD
-的侧视图是等腰直角三角形，画出侧视图如下图所示，其中两条直角边的长度分别等于,
AE CF，
因为22
2313
BD=+=，所以116 2213
AB AD AB AD BD AE AE
BD
⨯
⨯⨯=⨯⨯⇒==，
则
6
13
AE CF
==.所以侧视图的面积为
16618
213
1313
⨯⨯=.
故选：B
【点睛】本题主要考查求几何体的侧视图的面积，解题的关键是根据主俯视图得到平面ABD⊥平面BCD，并利用面面垂线的性质定理进行推理和计算，属于中档题.
2、（2020·全国·高三专题练习（理））《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈､长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知该楔体的正视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的侧视图的周长为
A．3丈B．6丈C．8丈D．(513丈
【答案】C
【分析】根据正视图和俯视图，画出侧视图，侧视图是底长3丈，高2丈的等腰三角形，再
求出其周长可得答案.
【详解】根据正视图和俯视图，画出侧视图，侧视图是底长3丈，高2丈的等腰三角形， 如图所示：
则32
BD =
，22
52AB AD BD =+=，故周长为553822++=（丈）.
故选：C
【点睛】本题考查了三视图，根据正视图和俯视图，画出侧视图是解决问题的关键，属于基础题.
☆技巧点拨☆
1．一个物体的三视图的排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．
2．要熟悉各种基本几何体的三视图．同时要注意画三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线．
变式三 由几何体的部分视图画出剩余部分的视图
1、（2019·全国·高一课时练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，某一个三棱锥的三个顶点为此正方体的三个顶点，此三棱锥的第四个顶点为这个正方体一条棱的中点，正视图和俯视图如图所示，则侧视图可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【分析】根据正视图和俯视图在正方体中取三个顶点和一条棱的中点进行验证可得.
【详解】根据已知条件得，三棱锥在正方体中的位置如图中11A B AP 所示，故选A. 【点睛】本题考查了根据几何体的正视图和俯视图作左视图,,属于基础题.
2、（2021·全国·高三专题练习（理））一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】本题首先可以通过三视图的几何性质得知三视图之间的联系，然后通过三视图的主视图与左视图来确定锥体的顶点所在的位置，最后对四个选项依次分析，即可得出结果． 【详解】本题中给出了主视图与左视图，故可以根据主视图与俯视图长对正，左视图与俯视图宽相等来找出正确选项，由主视图与左视图可知，锥体的顶点在左前方，
A 中的视图满足作图法则；
B 中的视图满足作图法则；
C 中的视图不满足锥体的顶点在左前
方；D 中的视图满足作图法则，故选C ．
【点睛】本题考查了三视图的相关性质，主要考查了三视图中的主视图、左视图与俯视图的联系，考查空间想象能力，体现了基础性，是简单题．
核心考点二 空间几何体的表面积与体积
考法 空间几何体的表面积与体积
变式一 柱体、锥体、台体的表面积与体积
1、（2019·云南丽江·高一期末）若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积为（ ）
A ．23
B ．43
C ．63
D ．83
【答案】D
【分析】首先还原三棱柱，然后结合三视图求出所有棱长，即可求出体积. 【详解】根据几何体还原三棱柱，如图： 结合三视图可知：
123
4,2
3
2
AB BC AC AA ===
==， 故23
434
△ABC S AB =⨯=,所以体积283△ABC S V =⨯=， 故选：D
2、（2022·全国·高三专题练习）若某正方体被截去一部分后的空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_________.
【答案】483+【分析】由三视图可知，该几何体是将一个棱长为4的正方体沿着如图1所示的截面
EFGHMN 截去之后剩下的几何体如图2所示，从而可求出其表面积
【详解】由三视图可知，该几何体是将一个棱长为4的正方体沿着如图1所示的截面
EFGHMN 截去之后剩下的几何体如图2所示，
表面积为()()
2
422223
3243622224+⨯⎡⎤⨯+⨯+⨯+⨯⎢
⎥⎣⎦
48123=+，
所以该几何体的表面积为48123+. 故答案为：48123+
3、（2021·全国·高一课时练习）已知四棱锥P ABCD -的高为2，其三视图如图所示，其中主视图为等腰三角形，左视图为直角三角形，俯视图是直角梯形．
（1）求主视图的面积；
（2）求四棱锥P ABCD -的侧面积． 【答案】（12；（22233
++【分析】（1）由三视图还原直观图，进而求棱锥的高，结合主视图即可求面积.
（2）过A 作//AE CD 交BC 于E ，连接PE ，易知E 是BC 的中点，且PA AB ⊥、PA AD ⊥、
PE BC ⊥、PD CD ⊥，进而求P ABCD -的侧面积．
【详解】（1）将所给三视图还原为直观图，如图所示的四棱锥P ABCD -，其高为PA ， 2PA ∴1
2222
S =⨯
（2）如图所示，过A 作//AE CD 交BC 于E ，连接PE ， 由1
1,2
AD EC BC PA AE ==
=⊥，则E 是BC 的中点且1,BE CE ==1,AE CD ==BC AE ⊥， 由（1）知：PA ⊥面ABCD ，AB ，,AD CD ⊂面ABCD ，则PA AB ⊥，PA AD ⊥，PA CD ⊥， 由CD AD ⊥，又AD PA A ⋂=，即CD ⊥面PAD ，PD ⊂面PAD ，有CD PD ⊥，
2,3AB PD ∴==，又2223PE PA AE =+=，得3PE =．
∴四棱锥P ABCD -的侧面积
11112233
2221132322222
PAB PAD PCD PBC
S S
S S S
++=+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=．
☆技巧点拨☆
求解几何体的表面积或体积的方法：
（1）对于规则几何体，可直接利用公式计算．
（2）对于不规则几何体，可采用割补法求解.对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．
（3）求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用．
变式二 球的表面积和体积
1、（2021·全国·高一课时练习）已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．128π D ．144π
【答案】D
【分析】根据给定条件确定出三棱锥O ABC -体积最大时的点C 位置，再求出球半径即可得解.
【详解】设球的半径为R ，因90AOB ∠=︒，则AOB 的面积2
12
△AOB S R =
， 而O ABC C AOB V V --=，且AOB 面积为定值，则当点C 到平面AOB 的距离最大时，O ABC V -最大， 于是，当C 是与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，三棱锥O ABC -体积最大，最大值
为3
113632
R ⨯=，解得6R =， 所以球O 的表面积为22446144R πππ=⨯=. 故选：D
2、（2022·全国·高三专题练习）已知球O 是正三棱锥A -BCD （底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，BC =3，AB =23，点E 在线段BD 上，且BD =3BE ．过点E 作球O 的截面，则所得截面面积的最小值是（ ） A ．2π B ．3π C ．4π D ．5π
【答案】A
【分析】如图，O 1是A 在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，利用余弦定理求出O 1E =1，当截面垂直于OE 时，截面面积最小，求出截面圆的半径即得解. 【详解】解：如图，O 1是A 在底面的射影，由正弦定理得，△BCD 的外接圆半径1031
3sin 602
r =
⨯=；
由勾股定理得棱锥的高AO 12
2(23)33=-=； 设球O 的半径为R ，则()2
2
233R R =-+， 解得2R =，所以OO 1=1；
在△BO 1E 中，由余弦定理得213
132131,2
O E =+-⨯⨯⨯= 所以O 1E =1；所以在△OEO 1中，OE =2；
当截面垂直于OE 时，截面面积最小，此时半径为222R OE -=，截面面积为2π. 故选：A
☆技巧点拨☆
有关球的截面问题，常画出截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 之间满足关系式：22d R r =
-.
核心考点三 空间几何体与球的切、接问题
考法 空间几何体与球的切、接问题
变式一 与球切、接求表面积与体积问题
1、（2021·黑龙江·佳木斯一中高三阶段练习（理））《九章算术》是中国古代的一部数学著作，著作中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶”.现有一个刍甍如图所示，四边形ABCD 是边长为4的正方形，△ADE 与△BCF 是等边三角形，EF //AB ，AB ＝2EF ，则该刍甍的外接球的半径为（ ）
A 2253
B 1014
C 2254
D 1018【答案】A
【分析】连接,AC BD 交于点O ，过O 点作OO '⊥平面ABCD ，
设O '为外接球的球心，取,AD BC 的中点分别为,G H ，证得BC ⊥平面EFHG ，求得2111MO FH =-OO x '=，得到11MO x '=，结合求得截面性质，列出方程，即可求解.
【详解】连接,AC BD 交于点O ，过O 点作OO '⊥平面ABCD ,
因为四边形ABCD 为正方形，所以外接球的球心在OM 上，设O '为外接球的球心， 取,AD BC 的中点分别为,G H ，连接,EG FH ，
因为//,//EF AB AB GH ，可得//EF GH ，
因为,BFC EAD 为等比三角形，所以EH BC ⊥，
因为BC GH ⊥，EH GH H =，所以BC ⊥平面EFHG ，
因为42AB EF ==，所以22,2AO EF ==，
所以1,EM EO AO R ''===， 因为3FH =2111MO FH =-=
设OO x '=，则11MO x '=，
所以222222,AO AO OO EO EM MO ''''=+=+，所以2281(11)x x +=+， 即229111211x x x +=+-+，解得114x =，即211x =
所以222249281111R AO AO OO ''==+=+=，所以92225311R ==故选：A.
2、（2021·全国·高三专题练习（理））已知在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2,.6a A π
==又点,,A B C 都在球O 的球面上，且点O 到平面ABC 5O 的体积为（ ）
A ．12π
B ．632π
C ．36π
D ．45π 【答案】C
【分析】设三角形ABC 的外接圆的圆心为O ',根据球的截面性质可知
OO '⊥平面ABC ,利用正弦定理求得AO ',计算球的半径，进而求得体积.
【详解】设三角形ABC 的外接圆的圆心为O ',根据球的截面性质可知
OO'⊥平面ABC ,
如图所示，∵2,6a A π
==,∴AO '=22a sinA
=, ∴OA '2'22253,AO OO ++∴球的体积为34363
V R ππ==, 故选：C.
3、（2021·全国·高一课时练习）已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ ） A ．36π
B ．64π
C ．128π
D ．144π
【答案】D
【分析】根据给定条件确定出三棱锥O ABC -体积最大时的点C 位置，再求出球半径即可得解.
【详解】设球的半径为R ，因90AOB ∠=︒，则AOB 的面积212△AOB S R =， 而O ABC C AOB V V --=，且AOB 面积为定值，则当点C 到平面AOB 的距离最大时，O ABC V -最大，
于是，当C 是与球的大圆面AOB 垂直的直径的端点时，三棱锥O ABC -体积最大，最大值
为3113632
R ⨯=，解得6R =，所以球O 的表面积为22446144R πππ=⨯=. 故选：D
☆技巧点拨☆
1．解决与球有关的“切”“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系．
2．构造法在定几何体外接球球心中的应用
常见的构造条件及构造方法有：
（1）正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；
（2）同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；
（3）若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；
（4）若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体．
3．性质法在定几何体外接球球心中的应用
立体几何问题转化为平面几何问题，体现了等价转化思想与数形结合思想，方法是利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．
4．记住几个常用的结论：
（1）正方体的棱长为a ，球的半径为R .
①对于正方体的外接球，2R ＝3a ；
②对于正方体的内切球，2R ＝a ；
③对于球与正方体的各棱相切，2R ＝2a ．
（2）在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2. （3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.
变式二 与球切、接有关的几何体的最值问题
1、（2022·四川泸州·高二期末（理））一个几何体的三视图都是半径为1的圆，在该几何体内放置一个高度为1的长方体，则长方体的体积最大值为（ ）
A ．43
π B ．32 C ．32π D ．1
【答案】B 【分析】根据题意得到几何体为半径为1的球，长方体的体对角线为球的直径时，长方体体积最大，设出长方体的长和宽，得到等量关系，利用基本不等式求解体积最大值.
【详解】由题意得：此几何体为半径为1的球，长方体为球的内接长方体时，体积最大，
此时长方体的体对角线为球的直径，设长方体长为x ，宽为y ，则由题意得：2212x y ++=，解得：223x y +=， 而长方体体积为22322x y xy +≤=，当且仅当6x y ==时等号成立， 故选：B
2、（2022·全国·高三专题练习）三棱锥S ABC -的各个顶点都在球O 的表面上，且ABC 是等边三角形，SA ⊥底面ABC ，4SA =，6AB =.若点D 在线段SA 上，且3AD SD =，则过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为（ ）
A ．3π
B ．4π
C ．8π
D ．13π
【答案】A
【分析】如图，设ABC 外接圆的圆心为G ，求出AG 和外接球的半径R ,取SA 的中点E ，求出OD ,即得解.
【详解】如图，设ABC 外接圆的圆心为G ，则外接圆半径233233AG =⨯= 设三棱锥S ABC -的外接球的球心为O ，则外接球的半径22(23)24R +=.
取SA 的中点E ，由4SA =，3AD SD =，得1DE =，22(23)113OD ∴+=则过点D 的平面截球O 224(13)3-
∴过点D 的平面截球O 所得截面的最小面积为2(3)3ππ⋅=.
故选：A
3、（2021·河南商丘·高二期末（文））棱长为8的正方体密闭容器内有一个半径为2的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则在运动过程中，小球表面上的点与正方体表面上的点之间的最大距离为（ ）
A ．632
B ．632
C ．831
D ．832
【答案】B
【分析】根据题意可知，当小球位于正方体角且与三个相邻面相切时，
球心所在的体对角线上的远端点与该体对角线与小球一个交点之间
的距离最大，即可求出．
【详解】如图所示：当小球位于正方体一个角且与三个相邻面相切时，
小球表面上的点P 与正方体表面上的点1C 之间的距离最大，
1183232632C P AC AO R =-+==．
故选：B ．
☆技巧点拨☆
与球切、接有关的几何体的最值问题多涉及体积最值问题、截面面积最值问题．求解此类问题的关键是结合图形分析取得最值的条件转化求解，有时也可建立目标函数转化为函数最值求解．。