一元二次方程的解法复习课

2
x2 4x 4 5 4
2
x 22 13
2 x2
26
2
x1
26 2 2
x2
26 2 2
例题讲解
四 公式法
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2 4ac 0时,它的根是:
x b b2 4ac . b2 4ac 0 . 2a
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
x

2 9
2
4 17
.
4
4 16
1.化1:把二次项系数化为1; 2.移项:把常数项移到方程的右边;
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左边分解因 式,右边合并同类;
x 9 17 . 44
5.开方:两边开平方;
x 9 17 .
44
x1
9
4
17
;
x2
用配方法解一元二次方程的方法的助手:
平方根的意义: 如果x2=a, 那么x= a.
完全平方式:式子 a2±2ab+b2 叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
用配方法解一元二次方程：
2x2-9x+8=0
解 : x2 9 x 4 0.
x2
9
2 x
4.
x2
9
2 x
9
2
9
2
4.
解：原方程变形为： (2 x)2 9 16
直接开平方得：
2 x 3
4
x1
5 4
x2
11 4
（2） x(x 2) 1 0
解：原方程变形为：
x2 2x 1 0
(x 1)2 0
x1 x2 1
3 十字相乘法
步骤：
1 二次项系数为1的情况：
将一元二次方程常数项进行分解成两个数(式)p , q的乘
(1)直接开平方法
ax2=b(a≠0)
(2)因式分解法 (3) 配方法 (4)公式法
1、提公因式法，平方差公式， 完全平方公式 2、十字相乘法
当二次项系数为1的时候，方程 两边同加上一次项系数一半的平 方
当b-4ac≥0时，x= b b2 4ac
2a
一 直接开平方法
依据：平方根的意义，即
如果 x2=a , 那么x = a.
提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一元二次方程。 2.b2-4ac≥0.
例题讲解
例1 用公式法解方程 2x2-9x+8=0
解:a 2,b 9, c 8. 1.变形:化已知方程为一般形式;
b2 4ac 92 4 28 17 0.
b b2 4ac x
2a
9 17
∴x=
=
= 即 x1= - 3 x2=
例题讲解
例 3 ： x2 3 2 3x
解：化简为一般式：x2 2 3x 3 0
这里 a=1, b= 2 3 , c= 3.
∵b2 - 4ac=( 2 3)2 - 4×1×3=0,
x 2
3 21
0
23 2
3,
即：x1= x2= 3
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
积的形式，且p + q = 一次项系数。
分解结果为 （x +p）(x +q)=0
2 二次项系数不为1的情况：
1
P
1
Q
将二次项系数分成两个数（式）a ,b的乘积 的形式，常数项分解成p ,q的乘积的形式， A P
且a q +b p = 一次项系数。
BQ
分解结果为 （ax +p）(bx +q)=0
例题讲解
例题讲解
解关于x的方程
1
x2 2ax a2 b2 0
1
解：[x (a b)][x (a b)] 0
x (a b) 0或x (a b) 0
x1 a b, x2 a b.
(a b) (a b)
三 配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
所以：x= 2 7 3
所以x1=3，x2= - 5 3
2、（3x -4）²=（4x -3）²
解：两边开平方，得：
3x-4=±（4x-3） 3x -4=4x-3或3x-4= -4x+3 -x=1或 7x=7 x=-1，x=1
二 因式分解法
1 提公因式法
(1)3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得
这种方法称为直接开平方法。 解题步骤：
1，将一元二次方程常数项移到方程的一边。 2，利用平方根的意义，两边同时开平方。
3，得到形如： x = a. 的一元一次方程。
4，写出方程的解 x1= ?, x2= ?
例题讲解
1、（3x -2）²-49=0 解：移项，得：（3x-2）²=49
两边开平方，得：3x -2=±7
22 9 17 .
4
2.确定系数:用a,b,c写出各项系 数;
3.计算: b2-4ac的值;
4.代入:把有关数值代入公 式计算; 5.定解:写出原方程的根.
x1
9
4
17
;
x2
9
4
17
.
例题讲解
例2. 用公式法解方程 2x2+5x-3=0
解: ∵ a=2 b=5 c= -3 ∴ b2-4ac=52-4×2×(-3)=49
形如 x2 a2 0 运用平方差公式得：
(x a)(x a) 0
x a 0或x a 0
x1 a x2 a
形如 x2 2ax a2 0 的式子运用完全平方公式得：
(x a)2 0 x1 x2 a 或 x1 x2 a
例题讲解
例1 解下列方程
（1）16(2 x)2 9 0
用十字相乘法解下列方程
(1)(x 5)(x 2) 18
(2)x2 ( 3 2)x 6 0
解：整理原方程，得 解：原方程变形为
x2－３x－28=0
(x 3)(x 2) 0
(x－7)(x+4)=0 x－7=0或x+4=0
x 3 0或x 2 0,
x1=7,x2= -4
x1 3, x2 2.
3x(x 2) 5(x 2) =0
提公因式得
(3x 5)(x 2) 0
3x 5 0或x 2 0
x1
5 3
x2 2
（2） x(3x 2) 6(3x 2) 0
解：提公因式得：
(3x 2)(x 6) 0
3x 2 0或x 6 0
x1
2 3
x2 6
2 平方差公式与完全平方公式
1、把方程化成一般形式。 并写出a，b，c的值。
2、求出b2-4ac的值，将其 与0比较。
3、代入求根公式 : X=
(a≠0, b2-4ac≥0) 4、写出方程的解：
x1=?, x2=?
9
4
17
.
6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
例题讲解
例1. 用配方法解下列方程
x2+6x-7=0
解： x2 6x 7
x2 6x 9 7 9
x 32 16
x 3 4 x1 1 x2 7
例2. 用配方法解下列方程
2x2+8x-5=0
解： x2 4x 5