2020届宁夏银川市第九中学高三下学期第二次模拟考试数学(文)试题解析

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2020届宁夏银川市第九中学高三下学期第二次模拟考试
数学（文）试题
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合{}3,2,2,4,6A =--，()(){}
|250B x x x =+->，则A B =I （） A ．{}2,4 B ．{}2,2,4-
C ．{}2,2-
D ．{}3,2,2--
答案：A
解一元二次不等式求得集合B ，由此求得A B I . 解：
因为()(){}
{}|250|25B x x x x x =+->=-<<，所以{}2,4A B =I . 故选：A 点评：
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2．(2)(1)i i ++=（） A ．13i + B ．13i -
C ．13i -+
D ．13i --
答案：A
复数的乘法类似于多项式乘多项式，遇到2i 化为1-. 解：
2(2)(1)2213i i i i i i ++=+++=+.
故选：A. 点评：
本题考查复数的乘法运算，考查运算求解能力，是基础题.
3．高二某班共有45人，学号依次为1、2、3、…、45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为6、24、33的同学在样本中，那么样本中还有两个同学的学号应为（） A ．15,43 B ．15,42
C ．14,43
D ．14,42
答案：B
根据题意，由系统抽样的方法，可求出抽到的每个同学的学号之间的间隔为：
45
95
=，
而已知学号为6、24、33的同学在样本中，即可得分别写出5个同学的学号，即可得出剩余的两个同学的学号. 解：
解：由题可知，该班共有45人，按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本， 则抽到的每个同学的学号之间的间隔为：
45
95
=， 而已知学号为6、24、33的同学在样本中，
即抽到的第一个学号为6，则第二个学号为：6+9=15， 第三个学号为：15+9=24，则第四个学号为：24+9=33， 第五个学号为：33+9=42，
所以样本中还有两个同学的学号应为：15，42. 故选：B. 点评：
本题考查对系统抽样的理解，属于基础题. 4．已知2
1
5
3
2121
,,log 353a b c -
⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭
，则（）
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ．b c a <<
答案：C
加入0和1这两个中间量进行大小比较，其中2
510()13<<，1
32()15
->，21log 03<，
则可得结论. 解：
2
0511
0()()133
<<=Q ，
10322
()()155->=， 2
21
log log 103
<=， c a b ∴<<.
故选：C. 点评：
本题考查了指数幂，对数之间的大小比较问题，是指数函数，对数函数的性质的应用问题，其中选择中间量0和1是解题的关键，属于基础题.
5．若双曲线221(0,0)mx ny m n -=>>的一条渐近线方程为2y x =，则其离心率为（）
A B C
D ．
2
答案：A
由双曲线22
1mx ny -=的一条渐近线方程为2y x =，求得2b
a
=，再结合离心率的定义，即可求解. 解：
由题意，双曲线22
1(0,0)mx ny m n -=>>的一条渐近线方程为2y x =，即
2b
a
=，
所以双曲线的离心率为c e a ====故选：A. 点评：
本题主要考查了双曲线的离心率的求解，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质和双曲线的离心率的定义是解答的关键，着重考查了计算能力. 6．为了得到函数cos3y x =的图象，只需把函数cos 34y x π⎛⎫
=- ⎪⎝
⎭
的图象（） A ．向左平移6
π
个单位长度 B ．向左平移12
π
个单位长度
C ．向右平移6
π
个单位长度 D ．向右平移12
π
个单位长度
答案：B
对比两个函数中自变量x 的变化情况，再结合“左加右减”的平移原则，即可得答案； 解：
Q cos 34y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
向左平移
12
π
单位可得cos 3(cos34)12
y x x ππ
⎛⎫
=+
-
= ⎪⎝
⎭
， 故选：B. 点评：
本题考查三角函数的平移变换，考查对概念的理解，属于基础题. 7．函数2()1cos 1x f x x e ⎛⎫
=-
⎪-⎝⎭
的部分图象大致为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
答案：D
先利用函数的奇偶性进行排除,再利用特殊取值判断. 解：
()21222()1cos()1cos cos 1cos 1111x x x x x x
e e
f x x x x x e e e e ---⎛⎫⎛⎫⎛
⎫-=--=-==-- ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
即()()f x f x -=-，
所以()f x 是奇函数，排除A ，B ； 当02
x π
<<
时，2
101x
e
--
>-，cos 0x >，则()0f x >，排除C. 故选：D. 点评：
本题考查利用函数解析式判断函数图像，考查理解辨析能力和推理论证能力，是基础题. 8．已知一个圆柱的侧面积等于表面积的一半，且其轴截面的周长是18，则该圆柱的侧面积是（） A ．18π B ．36π
C ．27π
D ．54π
答案：A
分别设出圆柱的底面半径和高，由已知列出关于底面半径和高的方程，解方程，最后可求圆柱的侧面积. 解：
设圆柱的底面圆的半径为r ，高为h ，
由题意可得2212222(2)18
rh r rh r h πππ⎧
=⎪
+⎨⎪+=⎩，解得3r h ==，
则该圆柱的侧面积是218rh ππ=. 故选：A. 点评：
本题考查圆柱表面积和轴截面周长的计算，考查运算求解能力和直观想象能力，是基础题.
9．在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若,1,sin sin 3
A c a C b
B π
===，
则ABC V 的面积为（）
A B C D 答案：D
由于sin sin a C b B =，根据正弦定理角化边得出2ac b =，而1c =，则2b a =，再利用余弦定理得出1a =，即可得出21b a ==，最后根据三角形的面积公式即可求出答案. 解：
解：由题可知，sin sin a C b B =则22c b
a b R R
⋅=⋅，即：2ac b =， 又3
A π
=
，1c =，则20b a =>，
由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-
则2
1
112
a a =+-⨯
，即：21a a =+-
所以21a a -=-()11a a -= 解得：1a =，
则21b a ==，得：1b =或1b =-（舍去），
所以ABC V 的面积为：11sin 112224
bc A =⨯⨯⨯=
. 故选：D. 点评：
本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形的面积公式，考查运算能力. 10．更相减损术出自《九章算术》，它原本是为约分而设计的，原文如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.如图所示的程序框图的算法思路就源于“更相减损术”.若执行该程序框图，则输出的a 的值为（）
A ．14
B ．12
C ．7
D ．6
答案：A
根据程序框图进行计算，求得输出的a 的值. 解：
196a =，126b =，1i =；
98a =，63b =，2i =；986335a =-=；633528b =-=； 35287a =-=；28721b =-=；21714b =-=；1477b =-=. 2a a =⨯，输出14a =.
故选：A 点评：
本小题主要考查根据程序框图计算输出结果，考查中国古代数学文化，属于基础题. 11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 为11A B 的中点，下列说法中正确的是（）
A ．1ED 与1
B
C 所成的角大于60︒ B ．点E 到平面11ABC
D 的距离为1 C ．三棱锥1
E ABC -的外接球的表面积为
224
π
D ．直线C
E 与平面1ADB 所成的角为4
π 答案：D
对于A 选项，取11D C 的中点为F ，可得11//B F ED ，则1FB C ∠为1ED 与1B C 所成的角，结合余弦定理即可判断；
对于B 选项，求出四棱锥11E ABC D -的所有棱长，从而可得四棱锥11E ABC D -的高即为点E 到平面11ABC D 的距离；
对于C 选项，可判断三棱锥1E ABC -的外接球即四棱锥11E ABC D -的外接球，根据勾股定理可求出四棱锥11E ABC D -的外接球半径，再根据球的表面积公式即可判断； 对于D 选项，设CE 交平面11ADC B 于点Q ，通过线面垂直的判定定理，可推出
1D C OQ ⊥，从而可找出直线CE 与平面11ADC B 所成的角，再利用余弦定理即可求得
直线CE 与平面1ADB 所成的角的大小. 解：
解：如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,E 为11A B 的中点， 对于A ，取11D C 的中点为F ，连接111,,,ED B F FC B C ，
则11//B F ED ，则1ED 与1B C 所成的角即为1B F 与1B C 所成的角，即为1FB C ∠， 在1FB C △中，221125B F =+=
，22125FC =+=，
2212222B C =+=，
由余弦定理得：222111112101
cos 21022522
B F B
C FC FB C B F B C +-∠=
==>⋅⋅⨯⨯， 即1cos cos 60FB C ∠>o
，而异面直线夹角为0,
2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
，即10,
2FB C π⎛⎤
∠∈ ⎥⎝
⎦
，
所以160FB C ∠<o
，故A 不正确；
连接1111,,,,,AD BC AC EA EB EC ，
因为11ABC D 为矩形，且2AB =，122BC =115EA EB EC ED ====，
则四棱锥11E ABC D -的顶点E 投影在底面11ABC D 的中心，即底面11ABC D 对角线的中点，
而底面11ABC D 的对角线为：()
2
222223+=，
则四棱锥11E ABC D -的高为：
()()
2
2
5
3
2-
=，
即点E 到平面11ABC D 的距离为2，故B 不正确； 由图可知，A 、B 、1C 、1D 的四点共面，
所以三棱锥1E ABC -的外接球即四棱锥11E ABC D -的外接球， 设四棱锥11E ABC D -的外接球半径为R ， 则222(3)(2)R R =+-，解得5
24
R =
， 则三棱锥1E ABC -的外接球表面积2525
4(
2)42
S ππ=⨯=，故C 不正确；
连接1111,,,,,CE D C AB DB DC ，其中1DC 与1D C 交于点O ，
CE 交平面11ADC B 于点Q ，连接,OQ OE ，
由于11,,,A D C B 四点共面，平面1ADB 在平面11ADC B 内，
则直线CE 与平面1ADB 所成的角即为直线CE 与平面11ADC B 所成的角， 因为正方体，则11⊥D C DC ， 而11
B C ⊥平面11DCC D ，则111D C B C ⊥，且1111DC B C C =I ，
所以1D C ⊥平面11ADC B ，OQ ⊂平面11ADC B ，
则1D C OQ ⊥，则CQO ∠为直线CE 与平面11ADC B 所成的角， 在EOC △中，5,3,2EO EC OC ===
则()
()
2
2
2
2352cos 2223
ECO +-
∠=
=⨯⨯，得4ECO π∠=， 所以在Rt QOC △中，4QCO ECO π∠=∠=，则4
CQO π
∠=，
即：直线CE 与平面11ADC B 所成的角为
4
π， 所以直线CE 与平面1ADB 所成的角为4
π
，故D 正确. 故选：D.
点评：
本题考查空间异面直线夹角和线面角，以及点到面的距离和棱锥外接球的表面积，还涉及余弦定理的应用和线面垂直的判定，考查转化思想和运算能力，属于中档题. 12．定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有
()()20xf x f x '+-≤，则不等式()2
2412236
x x x x f ⎛⎫⎛⎫
>-- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭
的解集为（）
A ．()4,+∞
B ．()(),124,-∞+∞U
C ．()12,4-
D ．(),12-∞-
答案：C
构造函数()()2
g x x f x =，根据其单调性和奇偶性，求解不等式即可.
解：
令()()2
g x x f x =，则()()()2
2g x xf x x f x ''=+，
∵当0x ≥时，恒有()()20xf x f x '+≤，∴()0g x '≤， ∴()g x 在[)0,+∞上为减函数.
∵()f x 为偶函数，∴()g x 为偶函数.
∵()22
412236x x x f x f ⎛⎫⎛⎫>-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等价于22
229366x x x x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， ∴236x x g g ⎛⎫⎛
⎫>-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭等价于236x x <-， 即212x x <-，两边平方化简为()()4120x x -+<， 解得124x -<<，
∴原不等式的解集为()12,4-. 故选：C. 点评：
本题考查利用函数单调性解不等式，涉及函数奇偶性的判断、构造函数法，利用导数判断函数单调性，属中档题. 二、填空题
13．已知向量()()4,1,,3a b m →
→
=-=，若a b a →→→
⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭
，则m =____________.
答案：5
根据题意，根据平面向量坐标的加减法运算求出()()()4,1,34,4a b m m →
→
-=--=--，
由于a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭
，得出0a b a →→→
⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，最后利用向量垂直的坐标表示，即可求出m .
解：
解：由题可知，()()4,1,,3a b m →
→
=-=， 则()()()4,1,34,4a b m m →
→
-=--=--，
由于a b a →→→⎛⎫-⊥ ⎪⎝⎭
，则0a b a →→→
⎛⎫-⋅= ⎪⎝⎭，
即：()4440m ⨯-+=，解得：5m =. 故答案为：5. 点评：
本题考查平面向量坐标的加减法运算和向量垂直的坐标表示，属于基础题.
14．若实数,x y满足约束条件
30
420
2
x y
x y
y
--≤
⎧
⎪
++≥
⎨
⎪≤
⎩
，则2
z x y
=-的最大值为____________.
答案：4
根据题意，画出实数,x y满足约束条件
30
420
2
x y
x y
y
--≤
⎧
⎪
++≥
⎨
⎪≤
⎩
表示的平面区域，要求
2
z x y
=-的最大值，即求
1
22
z
y x
=-的y轴上的截距
2
z
-的最小值，由图可知，将1
2
y x
=向下平移到过点()
2,1
A-时，
2
z
-取得最小值，即可求出2
z x y
=-的最大值. 解：
解：由题可知，实数,x y满足约束条件
30
420
2
x y
x y
y
--≤
⎧
⎪
++≥
⎨
⎪≤
⎩
表示的区域如下图阴影部分：由于2
z x y
=-，即
1
22
z
y x
=-，
要求2
z x y
=-的最大值，即求
1
22
z
y x
=-的y轴上的截距
2
z
-的最小值，
由图可知，将
1
2
y x
=向下平移到过点()
2,1
A-时，
2
z
-取得最小值，
即2
z x y
=-过点()
2,1
A-时，z取得最大值，
所以z最大值为：()
2214
z=-⨯-=.
故答案为：4.
点评：
本题考查利用几何法求线性规划的最值，考查数形结合思想.
15．已知()10
0,,sin cos
5
απαα
∈+=，则tan2α=____________.
答案：34-
或34
根据题意，由(
)0,,sin cos απαα∈+=，两边同时平方并利用同角三角函数的平方关系得出212sin cos 5αα+=
，得出3
2sin cos 05αα=-<，根据三角函数所在象限的符号，从而可判断出,2παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，在利用齐次式进行化简2222sin cos 2tan 32sin cos sin cos tan 15
αααααααα=
==-++，即可求出tan α的值，最后根据二
倍角的正切公式，即可求出tan2α的结果. 解：
解：因为(
)0,,sin cos απαα∈+=
两边同时平方得出：2
2
2sin cos 2sin cos 5
αααα++=， 即：212sin cos 5αα+=
，得3
2sin cos 05
αα=-<， 而()0,απ∈中，sin 0α>，则可知cos 0α<， 所以得,2παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
， 则222
2sin cos 2tan 3
2sin cos sin cos tan 15
αααααααα=
==-++， 即：23tan 10tan 30αα++=， 而,2παπ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
，解得：1tan 3α=-或tan 3α=-，
所以当1tan 3α=-时，22122tan 33tan 21tan 4113ααα⎛⎫
⨯- ⎪
⎝⎭===--⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
， 当tan 3α=-时，()()22232tan 3tan 21tan 4
13ααα⨯-=
==---， 即：tan2α=34-
或34
.
故答案为：34-或34
. 点评：
本题考查同角三角函数的基本关系，以及二倍角的正切公式的应用，还涉及利用齐次式进行化简求值，三角函数中需特别注意象限的判断.
16．已知抛物线2
:2C y x =，过点(),0E a 的直线l 与C 交于不同的两点
()()1122,,,P x y Q x y ，且满足124y y =-，以Q 为中点的线段的两端点分别为,M N ，
其中N 在x 轴上，M 在C 上，则a =_______，PM 的最小值为____________ 答案：
2由题可知，过点(,0)E a 的直线l 的方程设为x my a =+，代入抛物线的方程，运用韦达定理，结合条件，解方程可得a 的值；设3(M x ，3)y ，()4,0N x ，根据中点坐标公式求出322y y =，
再设直线PM 的方程为x ny b =+，联立抛物线方程，运用韦达定理，可求得4b =，再由弦长公式和二次函数的最值求法，可得所求最小值． 解：
解：已知过点(),0E a 的直线l 与C 交于不同的两点()()1122,,,P x y Q x y ， 则过点(,0)E a 的直线l 的方程设为x my a =+， 代入抛物线方程2
2y x =，可得2
220y my a --=， 所以122y y m +=，1224y y a =-=-，可得2a =；
由Q 为MN 的中点，且N 在x 轴上，设3(M x ，3)y ，()4,0N x ，
则3423222x x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，可得322y y =，
设直线PM 的方程为x ny b =+，联立抛物线方程2
2y x =， 可得2220y ny b --=，
所以132y y n +=，132y y b =-，
因为322y y =，则有1312228y y y y b ==-=-，可得4b =，
则||PM =
=
当0n =即PM x ⊥轴时，||PM
取得最小值 故答案为：2
， 点评：
本题考查抛物线的方程和运用，直线方程和抛物线联立，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题． 三、解答题
17．在数列{}n a 中，11a =，23a =，11320n n n a a a +--+=（n +∈N 且2n ≥）. （1）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.
答案：（1）见解析；（2）21n
n a =-.
（1）利用定义法证明数列{}1n n a a +-是等比数列；
（2）结合数列{}1n n a a +-的通项公式，利用累加法可求得数列{}n a 的通项公式. 解：
（1）证明：∵11320n n n a a a +--+=， ∴()112n n n n a a a a +--=-，
又11a =，23a =，2120a a ∴-=≠；
∴
11
2n n
n n a a a a +--=-（n +∈N ，且2n ≥），
故数列{}1n n a a +-是首项和公比都是2的等比数列；
（2）解：由（1）可得12n
n n a a +-=， 则1
12n n n a a ---=（n +∈N ，且2n ≥），
故()()()()11223211n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+…
12322221n n n ---=+++++…
122112
n
n -==--（n +∈N ，且2n ≥）
， 当1n =时，1a 1=满足上式，
∴21n
n a =-.
点评：
本题考查了等比数列的证明方法——定义法，等比数列通项公式，累加法求求通项公式，特别是累加法求通项要验证首项，考查理解辨析能力和运算求解能力，是中档题. 18．高三数学考试中，一般有一道选做题，学生可以从选修4-4和选修4-5中任选一题作答，满分10分.某高三年级共有1000名学生参加了某次数学考试，为了了解学生的作答情况，计划从该年级1000名考生成绩中随机抽取一个容量为10的样本，为此将1000名考生的成绩按照随机顺序依次编号为000~999.
（1）若采用系统抽样法抽样，从编号为000~999的成绩中随机确定的编号为026，求样本中的最大编号.
（2）若采用分层抽样法，按照学生选择选修4-4或选修4-5的情况将成绩分为两层，已知该校共有600名考生选择了选修4-4，400名考生选择了选修4-5，在选取的样本中，选择选修4-4的平均得分为6分，方差为2，选择选修4-5的平均得分为5分，方差为0.75.用样本估计该校1000名考生选做题的平均得分和得分的方差.
答案：（1）926（2）估计该校1000名考生选做题的平均得分为5.6，方差为1.74 （1）首先求得组距，再求得样本中的最大编号.
（2）根据样本中选44-和选45-的平均得分和得分的方差列方程，由此计算出抽样的
10人的平均得分和得分的方差，进而估计出该校1000名考生选做题的平均得分和得分
的方差. 解： （1）组距为
1000
10010
=，所以最大编号为()26100101926+⨯-=. （2）样本中选择选修4-4的考生有6人，4-5的考生有4人，所以得分平均数为
()1
6645 5.610
⨯⨯+⨯=， 从选择选修4-4的考生中抽取6人，分别记为1a ，2a ，…，6a ， 从选择选修4-5的考生中抽取4人，分别记为1b ，2b ，3b ，4b ， 则
()()()222
126166626a a a ⎡⎤⨯-+-++-=⎣
⎦L ，
由于
(
)
2
2
21
1
n
n
i i i i x x
x n x ==-=-⋅∑∑，所以
所以22
22
1262666228a a a ++⋅⋅⋅+=⨯+⨯=，
同理可求得2222
1234103b b b b +++=，
所以样本得分的方差为
()()()()222
11461 5.6 5.6 5.6 5.610a a b b ⎡⎤-++-+-++-⎣⎦L L ()22222
16141614111.210 5.610a a b b a a b b ⎡⎤=⨯+++++-⨯++++++⨯⎣
⎦L L L L []1
22810311.2561631.36 1.7410
=⨯+-⨯+⨯=. 所以估计该校1000名考生选做题的平均得分为5.6，方差为1.74. 点评：
本小题主要考查系统抽样，考查分层抽样，考查平均数和方差的计算，考查运算求解能力，属于中档题.
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AD BC ，90DAB ∠=︒，
1
22
AB BC PA AD ===
=，E 为PB 的中点，F 是PC 上的点.
（1）若//EF 平面PAD ，证明：F 是PC 的中点. （2）求点C 到平面PBD 的距离. 答案：（1）证明见解析（2）
2
3
（1）根据线面平行的性质定理可证得//EF BC ，即可得答案； （2）利用等积法可求得点C 到平面PBD 的距离. 解：
（1）证明：因为//BC AD ，BC ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， 所以//BC 平面PAD .
因为P ∈平面PBC ，P ∈平面PAD ，所以可设平面PBC I 平面PAD PM =， 又因为BC ⊂平面PBC ，所以//BC PM . 因为//EF 平面PAD ，EF ⊂平面PBC ，
所以//EF PM ， 从而得//EF BC .
因为E 为PB 的中点，所以F 为PC 的中点.
（2）解：因为PA ⊥底面ABCD ，90DAB ∠=︒，1
22
AB BC PA AD ====， 所以222PB PA AB =
+=2225PD PA AD +=
2225BD BA AD +=
所以2
211622DPB
S PB DP PB ∆⎛⎫
=-= ⎪⎝⎭
. 设点C 到平面PBD 的距离为d ， 由C PBD P BCD V V --=，得1
111
3332
DPB BCD S d S PA BC AB PA ∆∆⋅=⋅=⨯⨯⨯⨯， 解得2
3
d =. 点评：
本题考查线线平行性质定理的运用、点到面距离的求解，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力.
20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率与双曲线22
13
y x -=的离心率互为倒
数，,A B 分别为椭圆的左、右顶点，且AB 4=. （1）求椭圆C 的方程；
（2）已知过左顶点A 的直线l 与椭圆C 另交于点D ，与y 轴交于点E ，在平面内是否存在一定点P ，使得0PE BD →
→
=g 恒成立？若存在，求出该点的坐标，并求ADP △面积的最大值；若不存在，说明理由.
答案：（1）22143x y +=；
（2）3,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭3
（1）根据题意，由双曲线的标准方程，求出a 和b ，利用222c a b =+，求得c ，根据
离心率c
e a
=
，即可求出双曲线的离心率，结合题意，得出椭圆的离心率，根据椭圆中AB 4=，得出2a =，进而求出c ，最后利用222b a c =-，求出2b ，即可得出椭圆
的标准方程；
（2）设直线l 的方程为：2x my =-，(),y D D D x ，可求出与y 轴交于点20,
E m ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，联立方程组，写出韦达定理，进而可求出22
26812,3434m m D m m ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭
，设点(),P x y ，求出PE →
和BD →，通过0PE BD →
→
=g ，化简后通过直线过定点得出3
,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，由弦长公式求出AD ，以及利用点到直线的距离公式求出点3,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
到直线l ：2x my =-的距离
d ，最后利用1
2
S AD d =⋅⋅，化简后可得出ADP △面积的最大值.
解：
解：（1）由题可知，双曲线2
2
13
y x -=，
则21a =，23b =，222134c a b =+=+=，
所以1,2a b c ==
=，
所以双曲线的离心率：2c
e a
=
=， 由于椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率与双曲线22
13
y x -=的离心率互为倒数，
则椭圆的离心率为1
2
c e a =
=， 而,A B 分别为椭圆的左、右顶点，且AB 4=，
则24a =，得2a =，所以1c =，b =
=
所以椭圆C 的标准方程为：22
143
x y +=.
（2）由（1）可知，()2,0A -，()2,0B ，
直线l 过点A ，与椭圆C 另交于点D ，与y 轴交于点E ， 则设直线l 的方程为：2x my =-，(),y D D D x ，
令0x =，得2y m =
，则20,E m ⎛⎫
⎪⎝⎭
，
将2x my =-代入22143
x y +=得：()22
34120m y my +-=，
则21234A D m y y m +=
+，而0A y =，则21234
D
m
y m =+， 由于22
68
234
D D m x my m -=-=+， 得22
26812,3434m m D m m ⎛⎫
- ⎪++⎝⎭
， 设点(),P x y ，则2,PE x y m →
⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，22
16
12,3434m BD m m →-⎛⎫= ⎪++⎝⎭， 要使得0PE BD →→
=g ， 则()2
21621203434
m PE BD x y m m m →
→
-⎛⎫=-⋅
+-⋅= ⎪++⎝⎭g 即
()222
161221624121612240343434
x my x my x my m m m --+--+===+++ 即1612240x my -+=，则4360x my -+=， 即4332y x m ⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭，则过定点3,02⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 即在平面内存在一定点3
,02
P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，使得0PE BD →
→
=g 恒成立，
由于D A AD y y =-=，
设点3,02P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
到直线l ：2x my =-的距离为d ，
则1
d ==
， 所以ADP △的面积为：
21
31134
22343m S AD d m m m
=⋅⋅===++，
因为43m m +
≥，当且仅当43m m =
时，即3
m =±时，取等号，
则
3443S m m
=
≤
=
+
，
所以S
的最大值为4，即ADP △
面积的最大值为4
. 点评：
本题考查椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系，以及双曲线的简单几何性质、联立方程组、韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式，考查化简运算能力. 21．已知函数(1)(1ln )
()3x x f x m x
++=
-，()ln g x mx x =-+(R)m ∈.
(1)求函数()g x 的单调区间与极值.
(2)当0m >时，是否存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x >成立？若存在，求实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.
答案：（1）分类讨论，详见解析；（2）3ln 20,2+⎛⎫
⎪⎝
⎭.
（1）求出函数()g x 的定义域，接着求导，对参数m 分类讨论。

（2）假设存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x >成立，则对[]
1,2x ∈，满足
max min ()()f x g x >，将问题转化为求max ()f x 与min ()g x 。

解：
解：（1）1
()(0)g x m x x
=-+
>'， 当0m ≤时，1
()0g x m x
=-+>'恒成立，即函数()g x 的单调增区间为∞（0，+）
，无单调减区间，所以不存在极值． 当0m >时，令1
()0g x m x =-+='，得1x m =,当10x m <<时，()0g x '>，当1x m
>
时，()0g x '<，
故函数()g x 的单调增区间为1
0m
（，），单调减区间为
1
m
+∞（，），此时函数()g x 在1x m =处取得极大值，极大值为111
()ln 1ln g m m m m m
=-⨯+=--，无极小值．
综上，当0m ≤时，函数()g x 的单调增区间为()0+∞，，无单调减区间，不存在极值．当
0m >时，函数()g x 的单调增区间为10m ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，单调减区间为1m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，极大值为1ln m --，无极小值
（2）当0m >时，假设存在[]12,1,2x x ∈，使得12()()f x g x >成立，则对[]
1,2x ∈，满足max min ()()f x g x >
由(1)(1ln )
()3x x f x m x
++=
-[]1,2x ∈（）可得，
22
1
(1ln 1)(1)(1ln )
ln ()x x x x x x x f x x x +++-++-==
'. 令[]()ln 1,2h x x x x =-∈（），则1
()10h x x
'=-≥，所以()h x 在[]1,2上单调递增，所
以()(1)1h x h ≥=，所以()0f x '>，所以()f x 在[]1,2上单调递增，
所以max (21)(1ln 2)3(1ln 2)
()(2)3322f x f m m +++==
-=-
由（1）可知，①当1
01m
<≤时，即m 1≥时，函数()g x 在[]1,2上单调递减，所以()g x 的最小值是(2)2ln 2g m =-+． ②当
1
2m
≥，即102m <≤时，函数()g x 在[]1,2上单调递增，
所以()g x 的最小值是(1)g m =-．
③当112m <
<时，即112m <<时，函数()g x 在11,m ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递增，在1,2m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单
调递减.又(2)(1)ln 22ln 2g g m m m -=-+=-，所以当
1
ln 22
m <<时，()g x 在[]1,2上的最小值是(1)g m =-.当ln 21m ≤<时，()g x 在[]1,2上的最小值是
(2)ln 22g m =-
所以当0ln 2m <<时，()g x 在[]1,2上的最小值是(1)g m =-，故
3(1ln 2)
32
m m +->-，
解得
3(1ln 2)
4
m +>,所以ln 20m >>． 当ln 2m ≤时，函数()g x 在[]1,2上的最小值是(2)ln 22g m =-，故
3(1ln 2)
3ln 222
m m +->-， 解得
3ln 22m +>，所以3ln 2ln 22m +≤<.故实数m 的取值范围是3ln 20,2+⎛⎫
⎪⎝
⎭
点评：
本题利用导数求函数的单调区间、极值问题，以及导数与函数的综合应用，属于难题。

22．在直角坐标系xOy
中，已知点1,2M ⎛ ⎝⎭，1C
的参数方程为12x t y ⎧=+⎪
⎨
⎪=⎩
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方
程为
22
3
2cos θρ=+.
（1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；
（2）设曲线1C 与曲线2C 相交于A ，B 两点，求11
MA MB +的值. 答案：（1
）y =；22
213y x +=（2）4
（1）消去1C 参数方程中的参数t ，求得1C 的普通方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，求得2C 的直角坐标方程.
（2）求得曲线1C 的标准参数方程，代入2C 的直角坐标方程，写出韦达定理，根据直
线参数中参数的几何意义，求得11MA MB
+的值. 解：
（1）由1C
的参数方程12x t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩
（t 为参数）
，消去参数可得2y =-，
由曲线2C 的极坐标方程为
2
3
2cos θρ
=+，得2222cos 3ρρθ+=，
所以2C 的直角坐方程为2
2
323x y +=，即2
2
213
y x +=.
（2
）因为M ⎛ ⎝⎭
在曲线1C 上，
故可设曲线1C
的参数方程为112x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），
代入2
2
323x y +=化简可得23820t t ++=. 设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则128
3t t +=-，1223
t t =， 所以
121212
14111
t t t t t MA t MB +=+==+. 点评：
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用利用和直线参数方程中参数的几何意义进行计算，属于中档题. 23．已知函数()31f x x x =-+-. （1）求不等式()6f x ≤的解集；
（2）设()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足224a b M +=，证明：24a b ab +≥. 答案：（1）[]
1,5-（2）证明见解析
（1）将()f x 表示为分段函数的形式，由此求得不等式()6f x ≤的解集.
（2）利用绝对值三角不等式求得()f x 的最小值M ，利用分析法，结合基本不等式，证得不等式24a b ab +≥成立. 解：
（1）()42,1
2,1324,3x x f x x x x -≤⎧⎪
=<<⎨⎪-≥⎩
，
不等式()6f x ≤，即1426x x ≤⎧⎨
-≤⎩或3246x x ≥⎧⎨-≤⎩或13
26
x <<⎧⎨≤⎩，
即有11x -≤≤或35x ≤≤或13x <<， 所以所求不等式的解集为[]1,5-.
（2）()31312f x x x x x =++-≥--+=，2M =， 因为0a >，0b >，
所以要证24a b ab +≥，只需证()2
22216a b a b +≥， 即证22224416a b ab a b ++≥，
因为2242a b +=，所以只要证222416ab a b +≥， 即证()2
8210ab ab --≤，
即证()()41210ab ab +-≤，因为410ab +>，所以只需证1
2
≤ab ， 因为22244a b ab =+≥，所以1
2
≤ab 成立， 所以24a b ab +≥. 点评：
本小题主要考查绝对值不等式的解法，考查分析法证明不等式，考查基本不等式的运用，属于中档题.。