数形结合之复合函数方程有解问题 教学案——2022届高三数学二轮复习

复合函数方程有解问题
1. (())kfgx或(())kffx型
总结：若(())kfgx或(())kffx可因式分解，一般来说会以
2
()()0afxbfxc
形

式出现，首先进行因式分解(())(())0afxfx，然后画出()yfx的图像，最后
看一下()yfx的图像与,yy这两条水平直线交点个数。
例题1. （1）已知
2()|4|fxxx，求方程2
()3()20fxfx

的实数根的个数；

（2）已知
2()|4|fxxx，求方程22
()3()20fxafxa

的实数根的个数。

例题2. 函数
2
()fxaxbxc

的图像关于直线2bxa对称。由此推测，对任意非零实

数,,,,,abcmnp，方程
2
[()]()0mfxnfxp

的解集都不可能是（ ）

A. {1,2} B. {1,4} C. {1,2,3,4} D. {1,4,16,64}

例题3. 已知2,0(),0xxxfxex，若
2
[()]fxa

恰有两个根12,xx，则12xx的取值范围是。

变式3.1 已知22,0()21,0xxfxxxx，若
2
[()]()0fxafx

恰有四个不同的实数根，

则a的取值范围是。
变式3.2 已知函数()yfx的图像关于直线2x对称，且满足,()0xRfx，
2x
时函数是单调的，则方程
2
[()]5()60fxfx
的所有根之和为。

总结：当复合函数方程(())kfgx不能进行因式分解时，解题过程如下：令()tgx，则
(())kfgx
等价于

()()kfttgx






。首先画出()tgx的图像，此时x是自变量，t是x的函

数，它是有范围的；然后画出()kft的图像，此时t是自变量（注意定义域）；最后画出
水平直线yk，看它与()kft图像的交点个数，从而确定x的个数。

例题4. 已知函数2,0()4sin,0xxfxxx，则方程(())0ffx根的个数为。

例题5. （多选题）关于方程
222
(1)|1|0xxk

，下列说法正确的是（ ）

A. 存在实数k，使得方程恰好有1个不同的实数根
B. 存在实数k，使得方程恰好有4个不同的实数根
C. 存在实数k，使得方程恰好有5个不同的实数根
D. 存在实数k，使得方程恰好有8个不同的实数根

例题6. 已知函数
1()xxfxe


，若方程2()|()|230fxmfxm有三个不同的实数根，

则m的取值范围是。

例题7. 已知函数
3
()3fxxx

，设()(())hxffxc，其中[2,2]c，则函数

()yhx

的零点的个数为。
变式7.1 已知
()|1|1
xfxe，若函数2
()[()](2)()2gxfxafxa

有三个零点，

则实数a的取值范围是。

变式7.2 已知2,0()(1),0xexfxxx，若函数
2
()[()]()1gxfxtfx

有四个零点，则实

数t的取值范围是。

变式7.3 已知21,0()log,0xxfxxx，若(())ffxm恰有两个根
12

,xx
，则12xx的取值

范围是。

2. (())xfgx或(())xffx型
总结：若函数()fx单调递增，则(())ffxx的解与()fxx的解相同；(())ffxx有
解等价于()fxx有解；(())ffxx无解等价于()fxx无解；(())fgxx有解等价
于(())gfxx有解。
例题8. 设函数
()
x
fxexa
。若曲线sinyx上存在点00(,)xy使得00(())ffyy，

则实数a的取值范围是。
例题9. 已知(),()fxgx都是定义在R上的函数，且方程[()]0xfgx有实数解，则
[()]gfx
不可能是（ ）

A.
215xx B. 215xx C. 215x D. 2
1
5
x

例题10. 设函数
1
()ln2fxxxa
，若存在[1,]be使得(())ffbb，则实数a的取

值范围是。

变式10.1 设函数()lnfxxxa，若曲线cos2yx上存在点
00

(,)xy
使得

00
(())ffyy
,则实数a的取值范围是。