数形结合之复合函数方程有解问题 教学案——2022届高三数学二轮复习

复合函数方程有解问题

1. (())k f g x =或(())k f f x =型

总结：若(())k f g x =或(())k f f x =可因式分解，一般来说会以2()()0af x bf x c ++=形式出现，首先进行因式分解(())(())0a f x f x αβ--=，然后画出()y f x =的图像，最后看一下()y f x =的图像与,y y αβ==这两条水平直线交点个数。

例题1. （1）已知2()|4|f x x x =-，求方程2()3()20f x f x -+=的实数根的个数；

（2）已知2()|4|f x x x =-，求方程22()3()20f x af x a -+=的实数根的个数。

例题2. 函数2()f x ax bx c =++的图像关于直线2b x a =-

对称。由此推测，对任意非零实数,,,,,a b c m n p ，方程2[()]()0m f x nf x p ++=的解集都不可能是（

） A. {1,2}

B. {1,4}

C. {1,2,3,4}

D. {1,4,16,64}

例题3. 已知2,0(),0

x x x f x e x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若2[()]f x a =恰有两个根12,x x ，则12x x +的取值范围是。

变式3.1 已知22,0()21,0

x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若2[()]()0f x af x -=恰有四个不同的实数根，则a 的取值范围是。

变式3.2 已知函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，且满足,()0x R f x ∀∈>，2x >时函数是单调的，则方程2

[()]5()60f x f x -+=的所有根之和为。

总结：当复合函数方程(())k f g x =不能进行因式分解时，解题过程如下：令()t g x =，则(())k f g x =等价于()()

k f t t g x =⎧⎨=⎩。首先画出()t g x =的图像，此时x 是自变量，t 是x 的函数，它是有范围的；然后画出()k f t =的图像，此时t 是自变量（注意定义域）；最后画出水平直线y k =，看它与()k f t =图像的交点个数，从而确定x 的个数。

例题4. 已知函数2,0()4sin ,0x x f x x x π⎧≤=⎨<≤⎩

，则方程(())0f f x =根的个数为。

例题5. （多选题）关于方程222(1)|1|0x x k ---+=，下列说法正确的是（

） A. 存在实数k ，使得方程恰好有1个不同的实数根

B. 存在实数k ，使得方程恰好有4个不同的实数根

C. 存在实数k ，使得方程恰好有5个不同的实数根

D. 存在实数k ，使得方程恰好有8个不同的实数根

例题6. 已知函数1()x x f x e -=

，若方程2

()|()|230f x m f x m ---=有三个不同的实数根，则m 的取值范围是。

例题7. 已知函数3()3f x x x =-，设()(())h x f f x c =-，其中[2,2]c ∈-，则函数()y h x =的零点的个数为。

变式7.1 已知()|1|1x f x e =-+，若函数2

()[()](2)()2g x f x a f x a =+--有三个零点，则实数a 的取值范围是。

变式7.2 已知2,0()(1),0x e x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若函数2()[()]()1g x f x tf x =++有四个零点，则实数t 的取值范围是。

变式7.3 已知2

1,0()log ,0x x f x x x -≤⎧=⎨

>⎩，若(())f f x m =恰有两个根12,x x ，则12x x +的取值范围是。

2. (())x f g x =或(())x f f x =型

总结：若函数()f x 单调递增，则(())f f x x =的解与()f x x =的解相同；(())f f x x =有解等价于()f x x =有解；(())f f x x =无解等价于()f x x =无解；(())f g x x =有解等价于(())g f x x =有解。

例题8.

设函数()f x =若曲线sin y x =上存在点00(,)x y 使得00(())f f y y =，则实数a 的取值范围是。

例题9. 已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，且方程[()]0x f g x -=有实数解，则[()]g f x 不可能是（

） A. 215x x +-

B. 215x x ++

C. 215x -

D. 215

x +

例题10. 设函数1()ln 2f x x x a =+

-，若存在[1,]b e ∈使得(())f f b b =，则实数a 的取值范围是。

变式10.1 设函数()f x =，若曲线cos 2y x =+上存在点00(,)x y 使得00(())f f y y =,则实数a 的取值范围是。