2024年黑龙江伊春中考数学试题及答案

2024年黑龙江伊春中考数学试题及答案
考生注意：
1．考试时间120分钟
2．全卷共三道大题，总分120分
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 下列计算正确的是（ ）
A. 326a a a ⋅=
B. ()527a a =
C. ()339328a b a b -=-
D.
()()22
a b a b a b -++=-【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，运用相关运算法则求出各选项的结果后再进行判断即可．
【详解】解：A 、3256a a a a ⋅=≠，故选项A 计算错误，此选项不符合题意；
B 、()52107a a a =≠，故选项B 计算错误，此选项不符合题意；
C 、()339328a b a b -=-，此选项计算正确，符合题意；
D 、 ()()()()22a b a b b a b a b a -++=-+=-，故选项D 计算错误，此选项不符合题意；
故选：C ．
2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故选：B．
3. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图的知识，主视图是由4个小正方形组成，而左视图是由4个小正方形组成，故这个几何体的底层最少有3个小正方体，第2层最少有1个小正方体．
【详解】解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有1+1+1=3个小正方体，
第二层最少有1个小正方体，
因此组成这个几何体的小正方体最少有3+1=4个．
故选B．
【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．
4. 一组数据2，3，3，4，则这组数据的方差为（）
A. 1
B. 0.8
C. 0.6
D. 0.5
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记．根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果．
【详解】平均数为：()233443
+++÷=方差为：()()()()222221233333434S ⎡⎤=⨯-+-+-+-⎣⎦()110014
=⨯+++0.5
=故选：D ．
5. 关于x 的一元二次方程()2
2420m x x -++=有两个实数根，则m 的取值范围是（ ）A. 4
m ≤ B. 4m ≥ C. 4m ≥-且2m ≠ D. 4m ≤且2
m ≠【答案】D
【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式
24b ac ∆=-的意义得到20m -≠且0∆≥，即244(2)20m -⨯-⨯≥，然后解不等式组即可得到m 的取
值范围．
【详解】解： 关于x 的一元二次方程()2
2420m x x -++=有实数根，20m ∴-≠且0∆≥，
即244(2)20m -⨯-⨯≥，
解得：4m ≤，
m ∴取值范围是4m ≤且2m ≠．
故选：D ．
6. 已知关于x 的分式方程
2333x x kx -=--无解，则k 的值为（ ）A. 2k =或1
k =- B. 2k =- C. 2k =或1k = D. 1
k =-【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可．
【详解】解：去分母得，2(3)3kx x --=-，
整理得，(2)9k x -=-，的
当2k =时，方程无解，
当2k ≠时，令3x =，
解得1k =-，
所以关于x 的分式方程
2333x x kx -=--无解时，2k =或1k =-．故选：A ．
7. 国家“双减”政策实施后，某班开展了主题为“书香满校园”的读书活动．班级决定为在活动中表现突出的同学购买笔记本和碳素笔进行奖励（两种奖品都买），其中笔记本每本3元，碳素笔每支2元，共花费28元，则共有几种购买方案（ ）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
设购买x 支笔记本，y 个碳素笔，利用总价=单价⨯数量，即可得出关于x ，y 的二元一次方程，再结合x ，y 均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【详解】解：设购买x 支笔记本，y 个碳素笔，
依题意得：3228x y +=，
3142
y x ∴=-．又x ，y 均为正整数，
∴211x y =⎧⎨=⎩或48x y =⎧⎨=⎩或65x y =⎧⎨=⎩或82x y =⎧⎨=⎩
，∴共有4种不同的购买方案．
故选：B ．
8. 如图，双曲线()120y x x
=>经过A 、B 两点，连接OA 、AB ，过点B 作BD y ⊥轴，垂足为D ，BD 交OA 于点E ，且E 为AO 的中点，则AEB △的面积是（ ）
A. 4.5
B. 3.5
C. 3
D. 2.5
【答案】A
【解析】【分析】本题考查了反比例函数，相似三角形的判定与性质等知识，过点A 作AF BD ⊥，垂足为F ，设
12,A a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，证明AFE ODE ∽，有AF AE EF OD OE DE ==，根据E 为AO 的中点，可得AF OD =，EF DE =，进而有1122EF DE DF a ===，162A AF OD y a ===，可得6B y OD a
==，2B x a =，则有32
BE BD DE a =-=，问题随之得解．【详解】如图，过点A 作AF BD ⊥，垂足为F ，
设12,A a a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，0a >，∵BD y ⊥轴，AF BD ⊥，
∴AF y ∥轴，DF a =，
∴AFE ODE ∽，∴AF AE EF OD OE DE
==，∵E 为AO 的中点，
∴AE OE =，∴1AF AE EF OD OE DE
===，∴AF OD =，EF DE =
∴1122EF DE DF a ==
=，162A AF OD y a ===，∵B OD y =，∴6B y OD a
==
，∴2B x a =，∴2B BD x a ==，∴32BE BD DE a =-=
，∴11639 4.52222
ABE S AF BE a a =⨯⨯=⨯⨯== ，故选：A ．
9. 如图，菱形ABCD 中，点O 是BD 的中点，AM BC ⊥，垂足为M ，AM 交BD 于点N ，2OM =，8BD =，则MN 的长为（ ）
【答案】C
【解析】【分析】本题主要考查了解三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．
先由菱形性质可得对角线AC 与BD 交于点O ，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得
2OA OC OM ===，进而由菱形对角线求出边长，由sin sin MAC OBC ∠=∠=
sin MC AC MAC =∠=，tan MN BM OBC =∠=．【详解】解：连接AC ，如图，
∵菱形ABCD 中，AC 与BD 互相垂直平分，
又∵点O 是BD 的中点，
∴A 、O 、C 三点在同一直线上，
∴OA OC =，
∵2OM =，AM BC ⊥，
∴2OA OC OM ===，
∵8BD =，∴142
OB OD BD ===，
∴BC ===，21tan 42
OC OBC OB ===∠，∵90ACM MAC ∠+∠=︒，90ACM OBC ∠+∠=︒，
∴MAC OBC
∠=∠
∴sin sin OC MAC OBC BC ∠=∠===，
∴sin MC AC MAC =∠=，
∴BM BC MC =-=-
=，
∴1tan 2MN BM OBC =∠=
=故选：C ．10. 如图，在正方形ABCD 中，点H 在AD 边上（不与点A 、D 重合），90BHF ∠=︒，HF 交正方形外角的平分线DF 于点F ，连接AC 交BH 于点M ，连接BF 交AC 于点G ，交CD 于点N ，连接BD ．则下列
结论：①45HBF ∠=︒；②点G 是BF 的中点；③若点H 是AD 的中点，则sin NBC ∠=
BN =；⑤若12AH D H =，则112
BND AHM S S =△△，其中正确的结论是（ ）
A. ①②③④
B. ①③⑤
C. ①②④⑤
D. ①②③④⑤【答案】A
【解析】
【分析】连接DG
，可得BD AB
=AC 垂直平分BD ，先证明点B 、H 、D 、F 四点共圆，即可判断①；根据AC 垂直平分BD ，结合互余可证明DG FG =，即有DG FG BG ==，则可判断②正确；证明
ABM DBN ∽，
即有BN BD BM AB ==，可判断④；根据相似有212
ABM DBN S AB S BD ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ，根据12AH D H =可得3AH AD =，再证明AHM CBM ∽，可得13
AHM ABM S HM S BM == ，即可判断⑤；根据点H 是AD 的中点，设2AD =，即求
出BH ==，同理可证明AHM CBM ∽，可
得23BM BH ==
，即可得BN ==，进而可判断③．【详解】连接DG ，如图，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴45BDC BAC ADB ∠=∠=∠=︒
，
BD AB =90BAD ADC ∠=∠=︒，AC 垂直平分BD ，∴90CDP ∠=︒，
∵DF 平分CDP ∠，∴1452
CDF CDP CDB ∠=∠=︒=∠，∴90BDF CDF CDB ∠=∠+∠=︒，
∵90BHF BDF ∠=︒=∠，
∴点B 、H 、D 、F
四点共圆，
∴45HFB HDB ∠=∠=︒，DHF DBF ∠=∠，
∴18045HBF HFB FHB ∠=︒-∠-∠=︒，故①正确，
∵AC 垂直平分BD ，
∴BG DG =，
∴BDG DBG ∠=∠，
∵90BDF ∠=︒，
∴90BDG GDF DBG DFG ∠+∠=︒=∠+∠，
∴GDF DFG ∠=∠，
∴DG FG =，
∴DG FG BG ==，
∴点G 是BF 的中点，故②正确，
∵90BHF BAH ∠=︒=∠，
∴90AHB DHF AHB ABH ∠+∠=︒=∠+∠，
∴DHF ABH ∠=∠，
∵DHF DBF ∠=∠，
∴ABH DBF ∠=∠，
又∵45BAC DBC ∠=∠=︒，
∴ABM DBN ∽，
∴BN
BD
BM AB ==，
∴BN =，故④正确，∴2
1
2ABM DBN S AB S BD
⎛⎫=
= ⎪⎝⎭ ，若1
2AH D H =，则()1
1
22AH HD AD AH ==-，
∴3AH AD =，∴13=AH AD ，即1
3H H
A A
BC AD ==，
∵AD BC ∥，
∴AHM CBM ∽，∴1
3HM
AH
BM BC ==，
∴13
AHM ABM S HM S BM == ，∴3ABM AHM S S = ，∵12
ABM DBN S S = ，∴26BND ABM AHM S S S == △，故⑤错误，
如图，③若点H 是AD 的中点，设2AD =，即2AB BC AD ===，∴112AH AD =
=，
∴BH ==，
同理可证明AHM CBM ∽，∴
12
HM AH BM BC ==，∴32HM BM BH BM BM
+==，
∴23BM BH ==，
∵BN =
，
∴BN ==，∵2BC =，∴在Rt BNC △
中，23NC ==
，sin NC NBC BN ∠==，故③正确，则正确的有：①②③④，
故选：A ．
【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，正弦，圆周角定理以及勾股定理等知识，证明点B 、H 、D 、F 四点共圆，ABM DBN ∽
，是解答本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11. 国家统计局公布数据显示，2023年我国粮食总产量是13908亿斤，将13908亿用科学记数法表示为________．
【答案】12
1.390810⨯【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原来的数，变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1＜时，n 是负数，确定a 与n 的值是解题的关键．
【详解】1 亿81.010=⨯，13908亿4812
1.39081010 1.390810=⨯⨯=⨯故答案为：12
1.390810⨯
12. 在函数y =中，自变量x 的取值范围是________．【答案】3x ≥##3x
≤【解析】
【分析】本题主要考查函数自变量取值范围，分别根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式求解即可．
【详解】解：根据题意得，30x -≥，且20x +≠，
解得，3x ≥，
故答案为：3x ≥．
13. 已知菱形ABCD 中对角线AC BD 、相交于点O ，添加条件_________________可使菱形ABCD 成为正方形．
【答案】AC BD =或AB BC
⊥【解析】
【分析】本题主要考查的是菱形和正方形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键，依据正方形的判定定理进行判断即可.
【详解】解：根据对角线相等的菱形是正方形，可添加：AC BD =；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：AB BC ⊥；
故添加的条件为：AC BD =或AB BC ⊥．
14. 七年一班要从2名男生和3名女生中选择两名学生参加朗诵比赛，恰好选择1名男生和1名女生的概率是________．【答案】
35
【解析】
【分析】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有12种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：由图可知，共有20种等可能的结果，其中选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的结果有12种，∴选取的2名学生恰好是1名男生、1名女生的概率为：
123205=，故答案为：35
．15. 关于x 的不等式组420102
x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有3个整数解，则a 的取值范围是________．【答案】102
a -
≤<【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式（组)，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组420102
x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有3个整数解，即可得到关于a 的不等式组，然后求解即可．
【详解】解：由420-≥x ，得：2x ≤
，
由102
x a ->，得：2x a >， 不等式组420102
x x a -≥⎧⎪⎨->⎪⎩恰有3个整数解，∴这3个整数解是0，1，2，
120a ∴-≤<，解得102
a -≤<，故答案为：102a -
≤<．16. 如图，ABC 内接于O ，AD 是直径，若25B ∠=︒，则CAD ∠________︒．
【答案】65
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，直角三角形的两个锐角互余，连接CD ，根据直径所对的圆周角是直角得出=90ACD ∠︒，根据同弧所对的圆周角相等得出25D B ∠=∠=︒，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接CD ，
∵ABC 内接于O ，AD 是直径，
∴=90ACD ∠︒，
∵ AC AC =,25B ∠=︒，
∴25D B ∠=∠=︒
∴902565CAD ∠=︒-︒=︒
，
故答案为：65．
17. 若圆锥的底面半径为3，侧面积为36π，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是________︒．
【答案】90
【解析】
【分析】此题主要考查了圆锥的侧面积公式以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥的母线长是解决问题的关键．根据圆锥的侧面积公式πS rl =求出圆锥的母线长，再结合扇形面积公式即可求出圆心角的度数．
【详解】根据圆锥侧面积公式：πS rl =，可得π336π
l ⨯⨯=解得：12l =，
2
π1236π360
n ⨯∴=，解得90n =，
∴侧面展开图的圆心角是90︒．
故答案为：90．
18. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，1tan 2
BAC ∠=，2BC =，1AD =，线段AD 绕点A 旋转，点P 为CD 的中点，则BP 的最大值是________．
【答案】12
+
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形，三角形中位线定理，旋转的性质，解题的关键是找出BP 取最大值时B 、P 、M 三点的位置关系．
取AC 的中点M ，连接PM 、BM ，利用解三角形求出BM =
=，利用三角形中位线定理推出1122
PM AD ==，当AD 在AC 下方时，如果B 、P 、M 三点共线，则BP 有最大值．【详解】解：取AC 的中点M ，连接PM 、BM ．
∵90ACB ∠=︒，1tan 2
BAC ∠=，2BC =，
∴124tan 2
BC AC BAC ==÷=∠，∴122AM CM AC ==
=，
∴BM ===，
∵P 、M 分别是CD AC 、的中点，∴1122
PM AD ==．如图，当AD 在AC 下方时，如果B 、P 、M 三点共线，则BP 有最大值，
最大值为12BM MP +=，
故答案为：12
+．19. 矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，将AB 沿过点A 的一条直线折叠，折痕交直线BC 于点P （点P 不与点B 重合），点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上，则PC 长为________．【答案】
52或72
或10【解析】
【分析】本题考查了矩形与折叠问题，解直角三角形，先根据点B 的对称点落在矩形对角线所在的直线上的不同位置分三种情况，画出对应的图形，再根据矩形性质，利用解直角三角形求出PC 即可．
【详解】解：①点B 的对称点落在矩形对角线BD 上，如图1，
∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，
由折叠性质可知：BB AP '⊥，
∴BAP BPA BPA CBD
∠+∠=∠+∠∴=BAP CBD
∠∠∴3tan =tan =4
CD BAP CBD BC ∠∠=，∴39tan 642BP AB BAP =∠=⨯
=∴97822
PC BC BP =-=-=；②点B 的对称点B '落在矩形对角线AC 上，如图2，
∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，90B Ð=°，
∴5AC ===，∴4cos 5BC ACB AC ∠=
=，由折叠性质可知：=90ABP AB P '∠=∠︒，3AB AB '==，
∴532
B C AC AB ''=-=-=∴452cos 52
B C PC ACB '==÷=∠；③点B 的对称点B '落在矩形对角线CA 延长线上，如图3，
∵在矩形ABCD 中，3AB CD ==，4BC AD ==，90B Ð=°，
∴5AC ===，∴4cos 5BC ACB AC ∠=
=，
由折叠性质可知：=90ABP AB P '∠=∠︒，3AB AB '==，
∴538
B C AC AB ''=+=+=∴4810cos 5
B C PC ACB '==÷=∠；综上所述：则PC 长为
52或72或10．故答案为：52或72
或10．20. 如图，在平面直角坐标系中，正方形OMNP 顶点M 的坐标为()3,0，OAB 是等边三角形，点B 坐标是()1,0，OAB 在正方形OMNP 内部紧靠正方形OMNP 的边（方向为O M N P O M →→→→→→ ）做无滑动滚动，第一次滚动后，点A 的对应点记为1A ，1A 的坐标是()2,0；第二次滚动后，1A 的对应点记为2A ，2A 的坐标是()2,0；第三次滚动后，2A 的对应点记为3A ，
3A 的坐标是132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭；如此下去，……，则2024A 的坐标是________．
【答案】()
1,3【解析】
【分析】本题考查了点的坐标变化规律，正方形性质，等边三角形性质，根据三角形的运动方式，依次求出点A 的对应点1A ，2A ， ，12A 的坐标，发现规律即可解决问题．
【详解】解： 正方形OMNP 顶点M 的坐标为()3,0，
3OM MN NP OP ∴====,
OAB 是等边三角形，点B 坐标是()1,0，
∴，由题知，
1A 的坐标是()2,0；
2A 的坐标是()2,0；
3A 的坐标是132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
；继续滚动有，4A 的坐标是()3,2；
5A 的坐标是()3,2；
6A 的坐标是5,32⎛ ⎝
；7A 的坐标是()1,3；
8A 的坐标是()1,3；
9A 的坐标是52⎫⎪⎪⎭
；
10A 的坐标是()0,1；
11A 的坐标是()0,1；
12A 的坐标是12⎛ ⎝；
13A 的坐标是()2,0； 不断循环，循环规律为以1A ，2A ， ，12A ，12个为一组，
2024121688÷= ，
∴2024A 的坐标与8A 的坐标一样为()1,3，
故答案为：()1,3．
三、解答题（满分60分）
21. 先化简，再求值：22
222111m m m m m m ⎛⎫-+÷- ⎪-+⎝⎭
，其中cos 60m =︒．【答案】1m -+，1
2
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值及特殊三角函数值，先对分式进行化简，然后利用特殊三角函数值进行代值求解即可．
【详解】解：原式()()()()21111m m m m m m
-+=⋅+--1m =-+，
当1cos 602m =︒=时原式12=．22. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点坐标分别为()1,1A -，()2,3B -，()5,2C -．
（1）画出ABC 关于y 轴对称的111A B C △，并写出点1B 的坐标；
（2）画出ABC 绕点A 逆时针旋转90︒后得到的22AB C ，并写出点2B 的坐标；
（3）在（2）的条件下，求点B 旋转到点2B 的过程中所经过的路径长（结果保留π）
【答案】（1）作图见解析，()12,3B
（2）作图见解析，()23,0B -
（3【解析】
【分析】本题考查了利用旋转变换作图，轴对称和扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据题意画出即可；关于y 轴对称点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标不变；
（2）根据网格结构找出点B 、C 以点A 为旋转中心逆时针旋转90︒后的对应点，然后顺次连接即可；
（3
）先求出AB =，再由旋转角等于90︒，利用弧长公式即可求出．
【小问1详解】
解：如图，111A B C △为所求；点1B 的坐标为()2,3，
小问2详解】
如图，22AB C 为所求；()23,0B -，
【小问3
详解】
AB ==，
点B 旋转到点2B
=．23. 如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中()1,0B ，()0,3C ．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在第二象限的抛物线上是否存在一点P ，使得APC △的面积最大．若存在，请直接写出点P 坐标和APC △的面积最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）223y x x =--+
（2）存在，点P 的坐标是315,
24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭
，APC △的面积最大值是278【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及与几何综合：
【
（1）将B ，C 两点坐标代入函数解析式，求出b ，c 的值即可；
（2）过点P 作PE x ⊥轴于点E ，设()
2,23P x x x --+，且点P 在第二象限，根据APC APE AOC PCOE S S S S =+- 梯形可得二次函数关系式，再利用二次函数的性质即可求解.
【小问1详解】
解：将()1,0B ，()0,3C 代入2y x bx c =-++得，
103
b c c -++=⎧⎨=⎩解得：23
b c =-⎧⎨=⎩223
y x x ∴=--+【小问2详解】
解：对于223y x x =--+，令0,y =则2230,x x --+=
解得，123,1x x =-=，
∴()3,0A -，
∴3,
OA =∵()0,3C ，
∴3OC =，
过点P 作PE x ⊥轴于点E ，如图，
设()
2,23P x x x --+，且点P 在第二象限，
∴,3,OE x AE x =-=+
∴APC APE AOC
PCOE S S S S =+- 梯形()111222
AE PE OC PE OE OA OC =⨯++⨯-⨯()()()
()2211132332333222x x x x x x =+--++--+--⨯⨯23327228
x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∵302
-<，∴S 有最大值，∴当32x =-时，S 有最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
24. 为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各一小时体育活动时间”的要求，某学校要求学生每天坚持体育锻炼．学校从全体男生中随机抽取了部分学生，调查他们的立定跳远成绩，整理如下不完整的频数分布表和统计图，结合下图解答下列问题：组
别分组（cm ）
频
数A
50100x <≤3B 100150x <≤m C
150200x <≤20D
200250x <≤14E 250300
x <≤5
（1）频数分布表中m = ，扇形统计图中n = ．
（2）本次调查立定跳远成绩的中位数落在 组别．
（3）该校有600名男生，若立定跳远成绩大于200cm 为合格，请估计该校立定跳远成绩合格的男生有多少人？
【答案】（1）8，40
（2）C （3）估计该校立定跳远成绩合格的男生有228人
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图和频数表、中位数，用样本估计总体，
（1）用A 组的频数除以所占的百分比，即可求出调查的总人数；用总人数减去其它组的人数，即可求得B 组的人数，用C 组的人数除以总人数即可求解；
（2）根据中位数的求法，即可求解；
（3）用总人数乘以样本中立定跳远成绩合格的男生人数所占，即可求解．
【小问1详解】
解：被抽取的学生数为：36%50÷=(人)
故503201458m =----=（人），
%205040%n =÷=，即40n =，
故答案为：8，40；
【小问2详解】
解：把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据的平均数为这组数据的中位数，
382526+<< ，5142526+<<，
∴把这组数据从小到大排列，第25和第26个数据都在C 组，
故本次调查立定跳远成绩的中位数落在C 组，
答案为：C ；
【小问3详解】解：14560022850
+⨯=（人）答：该校立定跳远成绩合格的男生有228人．
25. 甲、乙两货车分别从相距225km 的A 、B 两地同时出发，甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，乙货车沿同一条公路从B 地驶往A 地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地，结果比甲货车晚半小时到达B 地．如图是甲、乙两货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数图象，结合图象回答下列问题：
（1）甲货车到达配货站之前的速度是 km/h ，乙货车的速度是 km/h ；
（2）求甲货车在配货站卸货后驶往B 地的过程中，甲货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数解析式；
（3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等．
【答案】（1）30，40
（2）EF 的函数解析式是()802154 5.5y x x =-≤≤
（3）经过1.5h 或
45h 14或5h 甲、乙两货车与配货站的距离相等【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式的运用，认真分析函数图象，读懂函数图象表示的意义是解题关键．
（1）由图象可知甲货车到达配货站路程为105km ，所用时间为3.5h ，乙货车到达配货站路程为120km ，到达后返回，所用时间为6h ，根据速度=距离÷时间即可得；
（2）甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，由图象结合已知条件可知(4,105)E 和点(5.5,225)F ，再利用待定系数法求出y 与x 的关系式即可得答案；
（3）分两车到达配货站之前和乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地后、甲货车卸货，半小时后继续驶往B 地，三种情况与配货站的距离相等，分别列方程求出x 的值即可得答案．
【小问1详解】
解：由图象可知甲货车到达配货站路程为105km ，所用时间为3.5h ，所以甲货车到达配货站之前的速度是105 3.5=30÷（km/h ）
∴乙货车到达配货站路程为225105=120(km)-，到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回B 地，总路程为240km ，总时间是6h ，
∴乙货车速度240640km /h =÷=，
故答案为：30；40
【小问2详解】
甲货车从A 地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往B 地，由图象可知(4,105)E 和点(5.5,225)
F 设(4 5.5)
EF y kx b x =+≤≤∴41055.5225
k b k b +=⎧⎨+=⎩解得：21580
b k =-⎧⎨=⎩，∴甲货车距A 地的距离()km y 与行驶时间()h x 之间的函数解析式()
802154 5.5y x x =-≤≤【小问3详解】
设甲货车出发h x ，甲、乙两货车与配货站的距离相等，
①两车到达配货站之前：1053012040x x -=-，解得：32
x =,②乙货车到达配货站时开始返回，甲货车未到达配货站：1053040120x x -=-，解得：4514x =
，③甲货车在配货站卸货后驶往B 地时：0802151054012x x =---，
解得：5x =，
答：经过1.5h 或
45h 14
或5h 甲、乙两货车与配货站的距离相等．26. 已知ABC 是等腰三角形，AB AC =，12MAN BAC ∠=∠，MAN ∠在BAC ∠的内部，点M 、N 在BC 上，点M 在点N 的左侧，探究线段BM NC MN 、、之间的数量关系．
（1）如图①，当90BAC ∠=︒时，探究如下：
由90BAC ∠=︒，AB AC =可知，将ACN △绕点A 顺时针旋转90︒，得到ABP ，则CN BP =且90PBM ∠=︒，连接PM ，易证AMP AMN △≌△，可得MP MN =，在Rt PBM △中，
222BM BP MP +=，则有222BM NC MN +=．
（2）当60BAC ∠=︒时，如图②：当120BAC ∠=︒时，如图③，分别写出线段BM NC MN 、、之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．
【答案】图②的结论是：222BM NC BM NC MN ++⋅=；图③的结论是：222BM NC BM NC MN +-⋅=；证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识 ，选②，以点B 为顶点在ABC 外作60ABK ∠=︒，在BK 上截取BQ CN =，连接QA QM 、，过点Q 作QH BC ⊥，垂足为H ，构造全等三角形，得出AN AQ =，CAN QAB ∠=∠，再证明AQM ANM △≌△，得到MN QM =；在Rt QHM △中由勾股定理得222QH HM QM +=，即
2
2
212BM BQ QM ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，整理可得结论；选③方法同②【详解】解：图②的结论是：222
BM NC BM NC MN ++⋅=证明：∵,60,
AB AC BAC =∠=︒∴ABC 是等边三角形，
∴60ABC ACB ∠=∠=︒，
以点B 为顶点在ABC 外作60ABK ∠=︒，在BK 上截取BQ CN =，连接QA QM 、，过点Q 作QH BC ⊥，垂足为H ，
AB AC = ，C ABQ ∠=∠，CN BQ
=ACN ABQ
∴△≌△AN AQ ∴=，CAN QAB
∠=∠
又30CAN BAM ∠+∠=︒
30BAM QAB ∴∠+∠=︒
即QAM MAN
∠=∠又AM AM = ，
AQM ANM ∴△≌△，
MN QM ∴=；
∵60,60,
ABQ ABC ∠=︒∠=︒∴60QBH ∠=︒，
∴30,
BQH ∠=︒12B BH Q ∴=
，QH BQ =∴12HM BM BH BM BQ =+=+
，在Rt QHM △中,可得：222
QH HM QM +=
即2
2212BM BQ QM ⎫⎛⎫++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭整理得222
BM BQ B Q M M B Q ⋅++=222
NC B M N N B M M C ∴=⋅++图③的结论是：222
BM NC BM NC MN +-⋅=证明：以点B 顶点在ABC 外作30ABK ∠=︒，在BK 上截取BQ CN =，连接QA QM 、，过点Q 作QH BC ⊥，垂足为H ，
为
AB AC = ，C ABQ ∠=∠，CN BQ
=ACN ABQ
∴△≌△AN AQ ∴=，CAN QAB
∠=∠又60CAN BAM ∠+∠=︒
60BAM QAB ∴∠+∠=︒
即QAM MAN
∠=∠又AM AM = ，
AQM ANM ∴△≌△，
MN QM
∴=在Rt BQH 中，60QBH ∠=︒，30BQH ∠=︒
12B BH Q ∴=
，QH BQ =12
HM BM BH BM BQ =-=-，在Rt QHM △中,可得：222
QH HM QM +=
即2
2212BQ BM BQ QM ⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭整理得222
BM BQ B Q M M B Q ⋅+-=222
NC B M N N B M M C ∴=⋅+-27. 为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌毽子．已知购买甲种品牌毽子10个和乙种品牌毽子5个共需200元；购买甲种品牌毽子15个和乙种品牌毽子10个共需325元．
（1）购买一个甲种品牌毽子和一个乙种品牌毽子各需要多少元？
（2）若购买甲乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则有几种购买方案？
（3）若商家每售出一个甲种品牌毽子利润是5元，每售出一个乙种品牌毽子利润是4元，在（2）条件下，学校如何购买毽子商家获得利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元
的
（2）共有3种购买方案
（3）学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组以及一次函数的应用，
（1）设购买一个甲种品牌毽子需a 元，购买一个乙种品牌毽子需b 元，根据题意列出二元一次方程组，问题得解；
（2）设购买甲种品牌毽子x 个，购买乙种品牌毽子31002x ⎛⎫-
⎪⎝⎭个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
（3）设商家获得总利润为y 元，即有一次函数3541002y x x ⎛⎫=+-
⎪⎝⎭
，根据一次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：设购买一个甲种品牌毽子需a 元，购买一个乙种品牌毽子需b 元．由题意得：1052001510325a b a b +=⎧⎨+=⎩
，解得：1510a b =⎧⎨=⎩
，答：购买一个甲种品牌毽子需15元，购买一个乙种品牌毽子需10元；
【小问2详解】
解：设购买甲种品牌毽子x 个，购买乙种品牌毽子1000153100102x x -⎛⎫=- ⎪⎝
⎭个．由题意得：3510023161002x x x x ⎧⎛⎫≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪≤- ⎪⎪⎝⎭⎩
，解得：14586417
x ≤≤，x 和31002x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
均为正整数，60x ∴=，62，64，
3100102
x -=，7，4，∴共有3种购买方案．
【小问3详解】
设商家获得总利润为y 元，
3541002y x x ⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭，400y x =-+，
10k =-< ，
y ∴随x 的增大而减小，
∴当60x =时，340y =最大，
答：学校购买甲种品牌毽子60个，购买乙种品牌毽子10个，商家获得利润最大，最大利润是340元．
28. 如图，在平面直角坐标系中，等边三角形OAB 的边OB 在x 轴上，点A 在第一象限，OA 的长度是一元二次方程2560x x --=的根，动点P 从点O 出发以每秒2个单位长度的速度沿折线OA AB -运动，动点Q 从点O 出发以每秒3个单位长度的速度沿折线OB BA -运动，P 、Q 两点同时出发，相遇时停止运动．设运动时间为t 秒（0 3.6t <<），OPQ △的面积为S ．
（1）求点A 的坐标；
（2）求S 与t 的函数关系式；
（3）在（2
）的条件下，当S =时，点M 在y 轴上，坐标平面内是否存在点N ，使得以点O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是菱形．若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）点A
的坐标为(A （2
）(
)(
))
2202233 3.6t S t t ⎧<≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<<⎪⎩ （3
）存在，(12,4N +
，()22,4N -
，(32,N -
，4N ⎛
⎝
【解析】
【分析】（1）运用因式分解法解方程求出OA 的长，根据等边三角形的性质得出6,60OA OB AC OAB AOB ABO ===∠=∠=∠=︒，过点A 作AC x ⊥轴，垂足为C ，求出AC 的长即可；
（2）分02t <≤，23t <≤和3 3.6t <<三种情况，运用三角形面积公式求解即可；
（3）当2=时求出2t =，得4OP =，分OP 为边和对角线两种情况可得点N 的坐标；当
2+=和+=O 、P 、M 、N 为顶点的四边形是菱形【小问1详解】
解：2560x x --=，解得16x =，21
x =-OA 的长度是2560x x --=的根，
6
OA ∴=∵OAB 是等边三角形，
∴6,60OA OB AC OAB AOB ABO ===∠=∠=∠=︒，
过点A 作AC x ⊥轴，垂足为C ，
在Rt AOC 中，60,
AOC ∠=︒∴30,
OAC ∠=︒116322
OC OA ∴==⨯=，
∴AC ===
∴点A 的坐标为(A 【小问2详解】解：当02t <≤时．过P 作PD x ⊥轴，垂足为点D ，
∴2OP t =，3OQ t =，
30OPD ∴∠=︒
∴,
OD t =
∴PD ===，
2
11
322S OQ PD t ∴=⨯⨯=⨯=；
当23t <≤时，过Q 作QE OA ⊥，垂足为点E
∵60,
A ∠=︒∴30,
AQE ∠=︒又123,AQ t =-∴1
3
622AE AQ t ==-，
QE ==又2OP t =，
21
22S t ⎛⎫∴=⨯⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭。