10-11-3高等数学A期末考试试卷(A)参考答案及评分标准

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10-11-3高数A 期末试卷(A )参考答案及评分标准11.6.21
一.填空题(本题共9小题,每小题4分,满分36分)
1. 4;
2. 2;
3. 224()t f t π;
4. π-;
5. 4π;
6. 2,3;
7. i π;
8. 1
2;9.
2
-,0. 二. 计算下列各题(本题共4小题,每小题7分,满分28分)
10.解 点(1,1,1)处切线的方向向量{1,2,2}{2,2,5}{14,9,2}=-⨯-=-a ,(4分)
切线方程为1111492
x y z ---==-.(3分)(或223022550x y z x y z --+=⎧⎨-+-=⎩(7分)) 11
.解
2
2
20
1
d cos d cos d 2
x
y
y x x x x y x x ===



⎰⎰
.(3+2+2分) 12.解 由sin ,2sin y x y x ==(0)x π≤≤所围成的区域记为D ,利用Green 公式得
2sin 2
20
sin 033
(1)d d d d d sin d 24
x x
C
D
y x xy y y x y y x x ππσπ++=-=-=-
=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ñ.(3+2+2分) 13. 解 补两个面2211
:1
x y S z ⎧+≤⎨=⎩,2224:2x y S z ⎧+≤⎨=⎩ ,分别取下侧和上侧,(1分)由12
,,S S S 所围成的区域记为Ω,利用Gauss 公式得
()d d ()d d S
y x z y z x z y x y -∧+-∧⎰⎰
1
2
()d (1)d d (2)d d 0S S y x v x y x y x y x y Ω
=+--∧--∧=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(3+3分)
三(14).(本题满分8分)解1()n n a a ∞
=∑未必收敛,例11n a n =+,1
0n a n ≤<,而111n n ∞
=+∑发
散;(2分)1()(1)n
n n b a ∞
=-∑未必收敛,例111(1)sin 2n n a n n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,10n a n ≤<,而1
1(1)n n n ∞
=-∑收敛,1
1sin n n ∞
=∑发散,故1(1)11(1)sin 2n n
n n n ∞=-⎛⎫+- ⎪⎝⎭∑发散;
(2
分)1()n c ∞
=11n a n =+,10n a n ≤<
,而1
n ∞=发散;(2分)21()(1)n n n d a ∞
=-∑必定收敛,2
210n a n ≤<,
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而211n n ∞
=∑收敛,所以21(1)n n n a ∞=-∑绝对收敛,故2
1
(1)n n n a ∞
=-∑收敛. (2分) 四(15)。

(本题满分7分)解 已知11lim 12n n →∞

⎫+
++=+∞ ⎪⎝

L ,记11112n a n
=+++L ,
11lim 1lim 11n n n n n
a a a n ++→∞→∞=-=+,1R =(2分)当1x =时,1n a n ≥,而11n n ∞=∑发散,所以1n n a ∞
=∑发散, (2分)当1x =-时,{}n a 单减,且lim 0n n a →∞
=,由Leibniz 判别法,知
1
(1)
n
n n a ∞
=-∑收敛,(2
分)收敛域为[1,1)-.(1分) 五(16)(本题满分7分)解 2
111()4222z f z z z z ⎛⎫
=
=+ ⎪--+⎝⎭
(1分) 1111112(1)61113
z z z =⋅+⋅---+-11
001(1)(1)(1)23n n n n n n z z ∞∞
--+==⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭∑∑.(2+2+2分) 六(17)(本题满分8分)解11(1)!
lim
lim 0!n n n n a n n a n n
+→∞
→∞+-=⋅=,收敛域为(,)-∞+∞,(1分) 1
1()(1)!n n n S x x x n ∞
-==-∑11111(e )(1)e (1)!(1)!n n x x n n x x x x x x x x x n n ∞∞-==''⎛⎫⎛⎫'====+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

∑,21
2
(2)6e (1)!n
n n
S n ∞
===-∑(1分)(2分) (2分) (2分)
七(18)(本题满分6分)证 记A 为级数
1
n
n a

=∑的和,{}n R 单减且lim 0n n R →∞
=,
1
n
n k S ==
11
1
2
n n
n
k k k ==
=
==≤

2
=≤,所以原级数收敛.(2+2+2分)。

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