北师版八年级上册数学第2章 实数 二次根式运算常见的题型
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原式＝[(2－ 3)(2＋ 3)]2 021·(2＋ 3)－2× 23＝ 2＋ 3－ 3＝2.
2．计算： (1)( 3－1)2＋( 3＋2)2－2( 3－1)( 3＋2)；
解：原式＝[( 3－1)－( 3＋2)]2＝( 3－1－ 3－2)2＝9. (2)( 2＋ 3－ 5)2－( 2－ 3＋ 5)2.
5．已知 x＝1－ 2，y＝1＋ 2，求 x2＋y2－xy－2x＋2y 的值．
【点拨】若将x，y的值直接代入计算，则计算量较大， 而且容易出错，通过观察已知条件和欲求值的式子可 以发现x－y，xy的值是一个常数，故可将x－y，xy作为 一个整体代入求值．
解：因为 x＝1－ 2，y＝1＋ 2， 所以 x－y＝(1－ 2)－(1＋ 2)＝－2 2， xy＝(1－ 2)(1＋ 2)＝－1. 所以 x2＋y2－xy－2x＋2y＝(x－y)2－2(x－y)＋xy＝ (－2 2)2－2×(－2 2)＋(－1)＝7＋4 2.
BS版八年级上
第二章实数
7 二次根式 第4课时 二次根式运算常见的题型
提示：点击 进入习题
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6 见习题
1．计算： (1)( 5－1)( 5＋1)－－13－2＋|1－ 2|－(π－2)0＋ 8；
解：原式＝4－9＋ 2－1－1＋2 2＝－7＋3 2. (2)(2－ 3)2 021·(2＋ 3)2 022－2－ 23.
解：因为 3的整数部分为 1， 所以 5＋ 3＝6＋a，5－ 3＝3＋b， 即 a＝ 3－1，b＝2－ 3. 所以 ab－a＋b－3＝( 3－1)(2－ 3)－( 3－1)＋(2－ 3)－3 ＝－5＋3 3－ 3＋1＋2－ 3－3＝ 3－5.
4．先化简，再求值： (a＋ 3)(a－ 3)－a(a－6)，其中 a＝ 5＋12. 解：(a＋ 3)(a－ 3)－a(a－6)＝a2－3－a2＋6a＝6a－3. 把 a＝ 5＋12代入，得原式＝6a－3＝6 5＋3－3＝6 5.
6．已知 a，b 是正整数，且 a＋ b＝ 2 020，求 a＋b 的值． 【点拨】本题容易产生的第一想法是把 a＋ b＝ 2 020 两边平方，这样虽然能够得到 a＋b，但等式中增加了 ab， 同样不能求出结果，故只能根据“若 x＋ y＝ z，则 x， y， z是可以合并的二次根式”这一性质来解决问题．
解：由 a＋ b＝ 2 020可知 a， b， 2 020是可以合并的 二次根式．因为 2 020＝ 4×505＝2 505，故可设 a＝ m 505， b＝n 505， 则 m 505＋n 505＝2 505，即(m＋n) 505＝2 505， 所以 m＋n＝2.又易知 m，n 是正整数， 所以 m＝n＝1.所以 a＝505，b＝505. 所以 a＋b＝1 010.
原式＝( 2＋ 3－ 5＋ 2－ 3＋ 5)×( 2＋ 3－ 5－ 2＋ 3－ 5)＝2 2×(2 3－2 5)＝4 6－4 10.
3．已知 5＋ 3和 5－ 3的小数部分分别为 a，b，试求代数 式 ab－a＋b－3 的值． 【方法总结】确定二次根式整数部分和小数部分的方法： 先采用缩放的方法确定二次根式的整数部分，然后用二次 根式与整数部分的差确定小数部分，即由 n≤ x<n＋1(n 为 自然数)可以确定 x的整数部分为 n，小数部分为 x－n.
2．计算： (1)( 3－1)2＋( 3＋2)2－2( 3－1)( 3＋2)；
解：原式＝[( 3－1)－( 3＋2)]2＝( 3－1－ 3－2)2＝9. (2)( 2＋ 3－ 5)2－( 2－ 3＋ 5)2.
5．已知 x＝1－ 2，y＝1＋ 2，求 x2＋y2－xy－2x＋2y 的值．
【点拨】若将x，y的值直接代入计算，则计算量较大， 而且容易出错，通过观察已知条件和欲求值的式子可 以发现x－y，xy的值是一个常数，故可将x－y，xy作为 一个整体代入求值．
解：因为 x＝1－ 2，y＝1＋ 2， 所以 x－y＝(1－ 2)－(1＋ 2)＝－2 2， xy＝(1－ 2)(1＋ 2)＝－1. 所以 x2＋y2－xy－2x＋2y＝(x－y)2－2(x－y)＋xy＝ (－2 2)2－2×(－2 2)＋(－1)＝7＋4 2.
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1．计算： (1)( 5－1)( 5＋1)－－13－2＋|1－ 2|－(π－2)0＋ 8；
解：原式＝4－9＋ 2－1－1＋2 2＝－7＋3 2. (2)(2－ 3)2 021·(2＋ 3)2 022－2－ 23.
解：因为 3的整数部分为 1， 所以 5＋ 3＝6＋a，5－ 3＝3＋b， 即 a＝ 3－1，b＝2－ 3. 所以 ab－a＋b－3＝( 3－1)(2－ 3)－( 3－1)＋(2－ 3)－3 ＝－5＋3 3－ 3＋1＋2－ 3－3＝ 3－5.
4．先化简，再求值： (a＋ 3)(a－ 3)－a(a－6)，其中 a＝ 5＋12. 解：(a＋ 3)(a－ 3)－a(a－6)＝a2－3－a2＋6a＝6a－3. 把 a＝ 5＋12代入，得原式＝6a－3＝6 5＋3－3＝6 5.
6．已知 a，b 是正整数，且 a＋ b＝ 2 020，求 a＋b 的值． 【点拨】本题容易产生的第一想法是把 a＋ b＝ 2 020 两边平方，这样虽然能够得到 a＋b，但等式中增加了 ab， 同样不能求出结果，故只能根据“若 x＋ y＝ z，则 x， y， z是可以合并的二次根式”这一性质来解决问题．
解：由 a＋ b＝ 2 020可知 a， b， 2 020是可以合并的 二次根式．因为 2 020＝ 4×505＝2 505，故可设 a＝ m 505， b＝n 505， 则 m 505＋n 505＝2 505，即(m＋n) 505＝2 505， 所以 m＋n＝2.又易知 m，n 是正整数， 所以 m＝n＝1.所以 a＝505，b＝505. 所以 a＋b＝1 010.
原式＝( 2＋ 3－ 5＋ 2－ 3＋ 5)×( 2＋ 3－ 5－ 2＋ 3－ 5)＝2 2×(2 3－2 5)＝4 6－4 10.
3．已知 5＋ 3和 5－ 3的小数部分分别为 a，b，试求代数 式 ab－a＋b－3 的值． 【方法总结】确定二次根式整数部分和小数部分的方法： 先采用缩放的方法确定二次根式的整数部分，然后用二次 根式与整数部分的差确定小数部分，即由 n≤ x<n＋1(n 为 自然数)可以确定 x的整数部分为 n，小数部分为 x－n.