§3.3 旋转法测定流变性

dω dr
µr
即
dω M 1 = dr 2πh r 2
dω =
M dr 2πhµ r 3
（3-64）
如果外圆筒以 ω1 的角速度旋转，内圆筒以 ω 2 的角速度旋转， 对式（3-64）从 R2 到 r 积分，有
M r dr ∫ω 2 dω = 2πhµ ∫R2 r 3
故
ω
ω − ω2 =
M 1 1 ( 2 − 2) 4πhµ R2 r
dω =
（3-75）
根据假设条件，液体在圆筒表面无滑动，可确定如下边界条件：
r = R1 时， ω = 0 ，τ = τ 1 r = R2 时， ω = Ω ， τ = τ 2
对式（3-75）积分得
1 τ f (τ ) ω= ∫ dτ + 常数 2 τ
（3-76）
代入边界条件，可得
1 τ 2 f (τ ) Ω= ∫ dτ τ1 2 τ
（3-68）
可见，当圆筒的几何尺寸和旋转角速度一定时，牛顿流体的剪切率
γɺ 也与半径 r 的平方成反比。
由式（3-63）（3-68）和τ = µγɺ 得 、
2 2 R12 R2 M =µ 2 (ω1 − ω 2 ) 2 2πh R1 − R2
（3-69）
从上式可见，当ω1 和ω2 大小相等，方向相同，即ω 1=ω2 时，M=0, 这时流体不受剪切，粘滞阻力矩为零；当ω1 和ω2 有方向差别或有大小 差别时，M≠0。那么，只要测定内外圆筒的相对角速度 (ω1 − ω 2 ) 和外 力矩 M，就可求出牛顿流体的动力粘度μ。
M = 2πhr 2τ
那么 当外力矩一定时，
M τ= 2πhr 2
（3-63）
M 为常数，表明在一定的力矩 M 作用 2πh
下，液体内的剪切应力τ与半径 r 的平方成反比。式（3-63）适 用于任何作稳态层流旋转流动的不可压缩流体。
对粘度为 µ 的牛顿流体，有
τ = µγɺ = µr
将其代入式（3-63） ，得
参照式（3-68） ，可写出内圆筒旋转时牛顿流体内的剪切率公式 为：
2 2 R12 R2 Ω 1 · 2 γɺ = 2 2 R1 − R2 r
则内圆筒壁面的剪切率为：
2 R12 γɺ 2 = 2 Ω 2 R1 − R2
外圆筒壁面的剪切率为：
2 2 R2 γɺ1 = 2 Ω 2 R1 − R2
对比上述两式可知， γɺ2 > γɺ1 ，如果两圆筒的间隙很窄，可用 γɺ1 和
（3-83）
对式（3-83）两边取对数，得
ln Ω = 1 ln M + C1 n
（3-84）
式中， C1 为常数。
1 1/ n 1 1 n ) ( 2 / n − 2 / n )] C1 = ln[ ( 2 2πhK R2 R1 ln M n= ln Ω
显然，由于 K 、 n 为常数， ln Ω ~ ln M 关系曲线为直线，该
（3-78a） （3-78b）
1 M M Ω= ( − ) 2 2 2 µ 2πhR2 2πhR1
2 1 R12 − R2 M Ω= ( 2 2 ) 4πh R1 R2 µ
即
（3-79）
式（3-79）称为 Mavgutes 公式，在应用中，测定 M 和Ω即可 确定 µ 。从上式可见，对牛顿流体测定时，Ω与 M 成正比， Ω ~ M 的关系曲线在直角坐标上为通过原点的直线，但它仅是一种转速- 转 矩关系曲线，不是流变曲线，为此还须建立剪切率与旋转角速度的 关系，以及剪切应力与转矩的关系。
图3-12
设在半径 R1 和 R2 之间，任意半径 r 处流体的线速度为 u，旋转 角速度为ω，则
u = rω
那么速度梯度为
du dω =r +ω dr dr
（3-61）
为产生粘性阻力的剪切率。即若内筒和外筒以同一角速度ω旋 转，则两圆筒间的液体也以同一角速度ω旋转，离中心轴越远， 液体的线速度越大，其速度梯度当然为ω。在这种情况下，虽 然有这一速度梯度存在，但不产生任何粘滞阻力。所以，对同 轴圆筒旋转流变仪，其剪切率公式为 dω γɺ = r （3-62） dr
ω=
1 1
2 R2 / n
−
1 R12 / n
(
1 r
2/n
−
1 R
2/n 1
) ⋅Ω
（3-85）
在把上式代入 γɺ = − r
dω ，整理得 dr
γɺ =
2/n 1
2 R2 / n
−
1 R12 / n
•
r
1
2/n
•Ω
(3-86)
当 n=1 时，上面两式分别变成牛顿流体的旋转角速度和剪切率公式。 对内外圆筒壁面处，由式（3-86）可得出
其中
M Ω
（3-72）
2 R12 − R2 A= 2 4πhR12 R2
公式说明，当选定旋转粘度计的型号和内外圆筒系统后，
R1 、 R2 和 h 为已知，则 A 为已知的常数，只要测取圆筒的旋
转角速度 Ω 和力矩 M，就能确定被测牛顿流体的粘度。
2、非牛顿流体的流变性测定 1）同轴圆筒系统的基本方程
（3-71）
若外圆筒固定，内圆筒以一定的角速度Ω旋转， 即 ω1 = 0 ， ω 2 = Ω ，则：
2 − M ( R12 − R2 ) µ= 2 4πhR12 R2 Ω
上式中的负号意味着内圆筒旋转方向与阻力矩方向相反，并不表明 计算的粘度为负值。
总之，不管哪一个圆筒旋转，都可用同一关系式表示为
µ=A
（3-73）
（3-74）
前面已推导出液体内的剪切应力为
M τ= 2πhr 2
对上式两边微分，有
2M dr dτ = − 3 2πhr
所以 代入式（3-74）得
r 2M 2M 1 τ =− · = −2 dr 2πhr 2 dτ dτ dω = f (τ ) dτ
1 f (τ ) dτ 2 τ
2τ
整理之
（3-65）
当 r = R1 时， ω = ω1 ，则
1 1 M ω1 − ω 2 = ( 2 − 2) 4πhµ R2 R1
（3-66）
联立求解式（3-65）和式（3-66） ，并整理得
ω=
ω1 R12 − ω 2 R22
R −R
2 1 2 2
2 R12 R2 (ω 2 − ω1 ) 1 + ⋅ 2 2 2 R1 − R2 r
（3-77）
对于内圆筒固定，外圆筒以一定角速度Ω旋转的情况，同样可得到 式（3-77） ，但这种情况下，式（3-75）右边要添加一负号。
式（3-75）表示了液层内的旋转角速度与剪切应力之间的微分 关系，而式（3-77）则表示了圆筒的旋转角速度与圆筒壁面剪 切应力的关系，它们是同轴圆筒旋转流变仪的基本方程。 下面分两种情况讨论同轴圆筒旋转流变仪基本方程在流变性测 量中的应用。 2）基本方程的应用——已知流变模式 （1）牛顿流体
dω 在这个速度梯度内，ω是不产生粘性阻力的，因此， r 就成 dr
这也说明，速度梯度和剪切率是两个不同的物理概念，只不 过是在某些流动条件下，二者量值相等，如管道层流就是这种 情况。 设作用于液体中半径为 r、高为 h 的圆筒液层上的剪切应力
为τ，它产生的粘滞阻力矩为 2πrh ⋅τ ⋅ r = 2πhr 2τ ，如果作用在内 圆筒（或外圆筒）上的外力矩为 M，由于是稳态转动，则：
u r = 0, u z = 0, uθ = uθ (r )
图3-11
1、测量原理 如图3-12所示，在半径为R1的外筒里，同轴地安装了半径为R2 的内圆筒，在两圆筒之间的间隙内充满了粘性液体，现在来考 察一下内圆筒（或外圆筒）以一定角速度旋转的情况。首先假 定满足以下条件： （1）两圆筒为同轴无限长； （2）液体在流动中保持稳态层流； （3）液体为不可压缩的均质流体； （4）液体在壁面没有滑移； （5）液体流变性与时间无关，其剪切 应力与剪切率之间存在一一对应的关 系； （6）液体是等温的。
（3-67）
上式表明，同轴圆筒旋转流变仪中牛顿流体的旋转角速度与内 外圆筒的半径和旋转角速度以及流体的径向位置 r 有关。 根据基本公式（3-62） ，可由式（3-67）求出流体内的剪切率随半径
r 的分布公式，即
2 2 R12 R2 1 γɺ = 2 (ω1 − ω 2 ) 2 2 R1 − R2 r
γɺ 2 =
2/n •Ω 2/n 1−δ
一、 同轴圆筒式
拖动流为 同轴圆筒流变仪是旋转类流变仪中的一种，其是以拖动流 拖动流 基础进行流体流变性的测量，其流场是稳态环流。如图3-11所 示： 内圆筒以限定速度旋转，同心外圆筒盛 有液体，外圆筒静止。转动着的内圆筒 拖动环形空间内的液体产层层运动，剪 切面为同心圆柱面，剪切线为剪切面上 垂直轴线的圆，液体微元的迹线与剪切 线重合。另外也可以内圆筒静止，外圆 筒旋转。 在柱坐标中，同轴圆筒内的液体的速度 分布为：
1 直线的斜率为 ，其在 ln Ω 轴（对应 ln M = 0 ）上的截距为 C1 ， n
由 C1 即可求出 K，从而确定出方程中的流变参数 K 和 n。 下面再分析一下符合幂律方程的流体在同轴圆筒旋转流变仪 中的角速度 ω 和剪切率 γɺ 随半径 r 的变化情况。
用式（3-82）除以式（3-83） ，并整理得
式（3-78a）和式（3-78b）分别求出了内外圆筒壁面上的剪切应 力，如果两圆筒的间隙很窄，可近似认为 R1≈R2，则可用τ1 和τ2 的 算术平均值 τ υ 作为整个液层的平均剪切应力。
M 1 1 M ( 2 + 2)≈ τυ = 2 4πh R1 R2 2πhR2
（3-80）
即可将内圆筒壁面的剪切应力作为平均剪切应力。
（2）幂律流体 若被测液体为符合幂律方程的流体，其流变方程为 τ = Kγɺ n ，则
f (τ ) = (
τ
K
)1 / n
将上式代入式（2-76）得
1 τ 1 1 / n n −1 ω = ∫ ( ) τ dτ + 常数 2 K 积分之
n M 1/ n 1 ω= ( + 常数 ) 2/n 2 2πhK r
假定内圆筒以一定的角速度 Ω 旋转，外圆筒固定，两圆筒间 隙内流体的剪切率为
dω dr
γɺ −r
由于 ω 随 r 增大而减小，
（3-62）
dω <0，故上式中有一负号，以使 γɺ 为正数。 dr
.
设与时间无关的粘性流体流变方程的一般形式为：
γɺ = f (τ )
将其代入式（3-62）得
−r dω = f (τ ) dr
γɺ2 的算术平均值 γɺυ 作为整个液层的平均剪切率：
2 R12 + R2 2 R12 γɺυ = 2 Ω≈ 2 Ω 2 2 R1 − R2 R1 − R2
（3-81）
即可将内圆筒壁面的剪切率作为平均剪切率。 目前常用的同轴圆筒旋转流变仪就是以式（3-80）和式（3-81） 3-80 3-81 分别计算剪切应力和剪切率。如果测量多个对应的 M 、 Ω 值，并计 算出相应的 τ 和 γɺ ，在直角坐标上作 τ ~ γɺ 曲线，若得一条通过原点 的直线，可以肯定被测液体为牛顿流体，其动力粘度值等于直线的 斜率。
2 M ( R12 − R2 ) µ= 2 4πhR12 R2 (ω1 − ω 2 )
（3-70）
通常所用的同轴圆筒旋转流变仪，只是使内圆筒和外圆筒的 一个旋转。 如果内圆筒固定，外圆筒以一定的角速度Ω旋转， 即 ω1 = Ω ， ω 2 = 0 ，则：
2 M ( R12 − R2 ) µ= 2 4πhR12 R2 Ω
§3.3 旋转法测定流变性
使圆筒、圆板等在流体中旋转，或使这些物体静止，而 使周围的流体作同心状旋转流动，这些物体将受到基于 流体的粘滞阻力产生大的力矩作用。若旋转速度等条件 相同，这个力矩大小将随流体的粘稠程度而变化，流体 的粘度越大，力矩就越大，因此测定力矩就可确定流体 的粘度。旋转法测定流体流变性时，流体通常是处于物 体与容器的间隙中。根据物体与容器的几何形状，测量 系统可分为同轴圆筒式、单圆筒式、锥－板式、锥－筒 式、锥－锥式、板－板式等结构。
假设被测液体为符合牛顿内摩擦定律的液体，其流变方程为τ = µγɺ ， 则
f (τ ) =
τ µ
将上式代入式（3-77） ，得
1 τ2 1 1 Ω= ∫ dτ = (τ 2 − τ 1 ) τ1 µ 2 2µ
由式（3-63）可得内外圆筒壁面的剪切应力为
τ1 = τ2 =
故
M 2πhR12 M 2 2πhR2
1
由边界条件， r = R1 时， ω = 0 ，代入上式，整理得
ω=
n M 1/ n 1 1 ( ) ( 2/ n − 2/n ) 2 2πhK r R1
（3-82）
又当 r = R2 时， ω = Ω 则
n M 1/ n 1 1 Ω= ( ) ( 2/n − 2/ n ) 2 2πhK R2 R1