数列的最大与最小项问题
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数列的最大与最小项问题
数列an f (n) 最大与最小项问题是一类常见的数列问题， 也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有 下面一些方法：
一、研究 an+1与 an的关系：
(1)作差法,主要是作差之后的变形,与零的大小比较是关键,
(2)作商法,主要是作商后能够约掉因式进行变形,再与1比较
（III）指出 S1 , S2 , , Sn 中哪一个最小？说明理由.
a1 a2
an
数列an f (n) 最大与最小项问题是一类常见的数列问题， 也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有 下面一些方法：
三．研究数列 an f (n) 的正数与负数项的情况，分类或缩小范围研究，这是
求数列{an}的前 n 项和 Sn 的最大值或最小值的一种重要方法.
3．已知数列 {an } 的通项公式为 an
n n
2002 2003
,
则{an
}中
，下列说法正确的是
___A____
A．存在最大项与最小项.
B．存在最大项,不存在最小项.
C．存在最小项，不存在最大项. D．既不存在最大项，也不存在最小项.
4．数列 {an
100n n!
}(n
1,2,3,
)
的最大项是a_9_9___a_10_0__.19090!99
例：首项为负数的等差数列 {an}，它的前4项之和与前11项之和 相等，问此数列前多少项之和最小？
变式：设等差数列{an } 的前 n 项和为 S n ，已知 a3 12, S12 0, S13 0,
（I）求公差 d 的取值范围；
（II）指出 S1, S2 , , Sn 中哪一个最大？说明理由；
若求最大项,则 an 满足
a a
n n
a a
n1；若求最小项,则
n 1
a n满足
a n a n
an1 . a n1
注意：若求出的n不止一个，还要带入通项公式 比较后确定最大或最小项。
二、函数思想：
把 an=f(n)看成关于 n（n∈N+）的函数，利用函数的单调性研究数列的最大最小项。
注意：若要求导研究单调性，不能直接对 f(n)求导（因为只有连续函数才可导），
练一练：设 n Z，当 n 是什么数时， Sn | n 1 | | n 2 | | n 3 | | n 100 | 取最小值。
例 2.（校本教材 112 页例 3） 数列{an}的前 n 项积为 Tn，Tn＝1－an，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，Sn＝1－bn． （1） 设 cn＝ T1n．①证明数列{cn}为等差数列；
而应先对所在的函数 f (x)(x 0) 求导，得到 f (x) 的最值，然后再分析 f(n)的最值.
巩固练习：
1．数列{an}的通项公式是 an 2n2 - 29n - 3,则{an }中最小项的值是___-_1_0__8____.
2．已知 an
n2
n 156
(n
N
),则数列{an
}
的最大项是第_1_2__或__1_3__项.
②求数列{an}的通项公式； （2） 若（nbn＋n－2）Tn≤kn 对 n∈N*恒成立，求实数 k 的取值范围．
ห้องสมุดไป่ตู้
数列an f (n) 最大与最小项问题是一类常见的数列问题， 也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有 下面一些方法：
一、研究 an+1与 an的关系：
(1)作差法,主要是作差之后的变形,与零的大小比较是关键,
(2)作商法,主要是作商后能够约掉因式进行变形,再与1比较
（III）指出 S1 , S2 , , Sn 中哪一个最小？说明理由.
a1 a2
an
数列an f (n) 最大与最小项问题是一类常见的数列问题， 也是函数最值问题的一个重要类型，问题的解答大致有 下面一些方法：
三．研究数列 an f (n) 的正数与负数项的情况，分类或缩小范围研究，这是
求数列{an}的前 n 项和 Sn 的最大值或最小值的一种重要方法.
3．已知数列 {an } 的通项公式为 an
n n
2002 2003
,
则{an
}中
，下列说法正确的是
___A____
A．存在最大项与最小项.
B．存在最大项,不存在最小项.
C．存在最小项，不存在最大项. D．既不存在最大项，也不存在最小项.
4．数列 {an
100n n!
}(n
1,2,3,
)
的最大项是a_9_9___a_10_0__.19090!99
例：首项为负数的等差数列 {an}，它的前4项之和与前11项之和 相等，问此数列前多少项之和最小？
变式：设等差数列{an } 的前 n 项和为 S n ，已知 a3 12, S12 0, S13 0,
（I）求公差 d 的取值范围；
（II）指出 S1, S2 , , Sn 中哪一个最大？说明理由；
若求最大项,则 an 满足
a a
n n
a a
n1；若求最小项,则
n 1
a n满足
a n a n
an1 . a n1
注意：若求出的n不止一个，还要带入通项公式 比较后确定最大或最小项。
二、函数思想：
把 an=f(n)看成关于 n（n∈N+）的函数，利用函数的单调性研究数列的最大最小项。
注意：若要求导研究单调性，不能直接对 f(n)求导（因为只有连续函数才可导），
练一练：设 n Z，当 n 是什么数时， Sn | n 1 | | n 2 | | n 3 | | n 100 | 取最小值。
例 2.（校本教材 112 页例 3） 数列{an}的前 n 项积为 Tn，Tn＝1－an，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，Sn＝1－bn． （1） 设 cn＝ T1n．①证明数列{cn}为等差数列；
而应先对所在的函数 f (x)(x 0) 求导，得到 f (x) 的最值，然后再分析 f(n)的最值.
巩固练习：
1．数列{an}的通项公式是 an 2n2 - 29n - 3,则{an }中最小项的值是___-_1_0__8____.
2．已知 an
n2
n 156
(n
N
),则数列{an
}
的最大项是第_1_2__或__1_3__项.
②求数列{an}的通项公式； （2） 若（nbn＋n－2）Tn≤kn 对 n∈N*恒成立，求实数 k 的取值范围．
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