数形结合思想研究

㊀数形结合思想研究
数形结合思想研究Һ崔亚澜㊀（大理大学，贵州㊀贵阳㊀５５０００２）
㊀㊀ʌ摘要ɔ数形结合的思想方法在整个中学数学的知识领域中应用颇为广泛，是学习数学课程的主线之一，不仅可以作为一种解题方法，还可以提高学生分析问题㊁解决问题的能力．它是一种数形之间信息的转换方法，根据具体情况，把图形性质问题转化为数量关系问题，用代数方法分析数量关系从而解决直观图形问题，或者将数量关系用图形直观地刻画出来．本文通过对相关的论文文献进行研究分析，归纳总结出初中㊁高中数学中数形结合的应用，从数轴㊁韦恩图㊁不等式㊁函数㊁立体几何等多个方面进行探究，整理数形结合思想在解题中的具体应用．
ʌ关键词ɔ数形结合思想；中学数学；归纳总结
一㊁数形结合概述
（一）数形结合思想的发展由来
数 原本只是计数的工具，而如今除了这种用途外，还
可以用来表示数量； 形 在古时代表形状，如今用来代表空间形态．
在我国， 数形结合 的源头与著名数学家华罗庚先生有着相当大的关系．他的作品：‘谈谈与蜂房结构有关的数学问题“中的一首小词中体现了该思想．
在西方，提到数形结合就要提到笛卡儿．学习了数学史的人多多少少都听过笛卡儿坐标系，也就是现在的直角坐标系，就是由法国人笛卡儿创立的．可出乎想象的是，这个巨大的发现是他躺在床铺休息时得到的．他由于生病卧床不起，闲着无事就继续思考让他煎熬了数日的一件事．无意间的一瞥，出现在天花板上的小蜘蛛激起了他的思绪浪花．小蜘蛛在墙角缓缓地爬着，忙忙碌碌的，从东往西，又从南往北．那么结完网，它走了多少路呢？笛卡儿就试着去想怎样才能算出蜘蛛这一路的旅程数．首先他把蜘蛛当作一圆点，接着反问自己圆点距离墙角的距离．离墙的两边会有多远呢？他闭上眼睛继续睡着，睡梦间他似乎瞥见小黑点离两边墙的距离忽大忽小 他似乎悟出了些什么，睁开眼，豁然开朗：倘若明确圆点位置和两墙间间隔，就能决定蜘蛛的位置了．明确之后，蜘蛛的位移就可顺理成章地解得．于是，一个定理生成了：
彼此垂直的两条直线，一个点可以用到这两条直线的
间隔，也就是用两个数来表示，这个点的位置就定了下来．
这个发现对于如今的我们来说并不少见，这不就是我们非常熟悉的坐标图吗？这既是数与形的联系的首次出现，也是初次用数形结合的手法将代数与几何联系起来，打开了解析几何学初级阶段的大门．接着，就是费马对解析几何的贡献．他用代数方法对古希腊几何学进行剖析，特别是对阿波罗尼奥斯圆锥曲线论进行了总结和整理，对曲线作了一般研究．他曾提到的基本观点是两个未知量ｘ，ｙ确定的一个方程式，对应着一条轨迹，可以刻画出一条直线或曲线，就这样，他的研究方向由方程进化成圆锥曲线．沿着这个思路继续下去，在众多数学研究者的全力探索研究下，数学的发展进程发生了变化，解析几何学终被创建出来．
数形结合的思想从那时起就出现了，打开了数形结合思想发展的大门，进入了早期研究初级阶段．
（二）数形结合内涵
数与形的转化目标是呈现 形 的动态性和直观性， 数 的思想的科学性及严谨性，两者互相渗透㊁互相影响，抓住优点㊁因势利导，从而解决问题．
数与形不能割裂开来，要把数或数量关系与图形运用一些关系连接起来，经过对图形的钻研分析数量关系或用数量来升华图形的性质．数形结合是一种典型且非平凡的数学思想方法，将抽象问题具体化，复杂问题简单化是它最直接㊁最基本的功能．数形结合是凭借数量和图形之间的联系来领会研究对象的数学特性㊁探求处理难点问题的一种数学方式．一般情况下，在使用数形结合思想解题时，常常侧重于 形 对 数 的反映，也就是要频繁的活用图形的简明直观来完成对某些或某类数学问题的处理．所以数形结合思想可以形象地㊁直观地㊁快捷地帮助表征问题㊁理解问题．
数形结合的根本要点，便是由几何图形的性质来构建数量上的联络网点，反过来，数量关系又制约着几何图形的特殊特性点．
数形结合是数学的首要特性，万事万物皆是数形间的和谐辩证的统一，而非独立对立的．故在数学学习中抓住数形结合思想就等于实实在在地握住了数学的精华和要领之处．
从许多对数形结合思想的深入钻研能够看出数形结合
㊀有很多优点：可以帮助我们直观地理解数学问题；把问题简洁明了地呈现在我们面前；有利于我们提出突破性的想法，培养发散思维．但世上的一切都要持辩证客观的思想考虑，因此这个思想就有利有弊．它的缺点是缺乏准确性和整体性，不能够全方位的表征问题，而且它并不能够在数学问题之间画等号．
数形结合的应用概括下来大致可以分为两种情形：第一种是用形的生动性和直观性来呈现数之间的联系，等于是将形作为工具，数作为需要解决的目标；第二种是通过数的准确性和严谨性来表现形的某些特殊属性，等于是将数作为工具，求得形的关系为目标．
本文侧重探究综合概括初中㊁高中数学中种种数学题型中出现的 数形 互相转换的应用．
首先来到初中，总结的是以下三个方面体现的数形结合．
二、初中数学中应用的数形结合思想（一）数轴㊁不等式中的数形结合应用ʌ例１ɔ图１中，呈现实数ａ，ｂ在数轴上的位置，化简
ａ２－ｂ２－
（ａ－ｂ）２．
图１
ʌ分析ɔ由ａ，ｂ在数轴上的位置可知ａ＜０＜ｂ＜１，又由ａ２＝ａ＝ａａȡ０()，
－ａ（ａ＜０），
{
ʑａ２＝ａ＝－ａ，ｂ２＝ｂ，
（ａ－ｂ）２＝ａ－ｂ＝ｂ－ａ．
ʌ解答ɔ由图可得ａ＜０＜ｂ＜１，ʑ
ａ２－ｂ２－
（ａ－ｂ）２＝－ａ－ｂ－（ｂ－ａ）＝－ａ－ｂ－ｂ＋ａ＝
－２ｂ．
ʌ例２ɔ若关于ｘ的不等式组ｘ＋１５２
＞ｘ－３，２ｘ＋２３＜ｘ＋ａìî
íïïï
ï只有４个整数
解，则ａ的取值范围是
．
Ａ．－５ɤａɤ－１４３㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ．－５ɤａ＜－１４３
Ｃ．－５＜ａɤ－
１４３
Ｄ．－５＜ａ＜－
１４
３
ʌ解析ɔ解不等式组得
ｘ＜２１，ｘ＞２－３ａ．
{
又不等式组的整数解
只有４个，ʑｘ＞２－３ａ与ｘ＜２１在数轴上有公共部分（如图２所示），４个整数解即为２０，１９，１８，１７，ʑ１６ɤ２－３ａ＜１７，
ʑ－５＜ａɤ－
１４３
．图２
ʌ答案ɔＣ
（二）几何中的数形结合
ʌ例１ɔ有两棵树，一棵高为６米，另一棵高为２米，两树
之间间隔５米，小黄鸟从第一棵树的树梢飞到第二棵树的树梢，至少飞了多少米？
ʌ分析ɔ解决这道题就是将实际问题转化为数学问题，构建数学模型，按照题目条件画出图形（如图３所示），再用勾股定理求出ＡＢ的长即可．
图３
ʌ解答ɔȵＡＢ２＝ＡＣ２＋ＢＣ２，
ʑＡＢ２＝（６－２）２＋５２，解得ＡＢ＝
４１米．
答：小黄鸟至少飞了４１米．（三）方程式与函数中的数形结合
ʌ例１ɔ已知方程ｘ２－（３ａ＋２）ｘ＋（２ａ－１）＝０的一根大于３，另一根小于３，则ａ应满足
．Ａ．ａ＞
２７
㊀㊀Ｂ．ａ＜
２７
㊀㊀Ｃ．ａ＞－
２７
㊀㊀Ｄ．ａ＜－
２７
ʌ解析ɔ该问题等价于抛物线ｙ＝ｘ２－（３ａ＋２）ｘ＋（２ａ－１）
与ｘ轴的交点在点（３，０）的两侧，又抛物线的开口向上，画出图像如图４所示．ȵ抛物线与ｘ轴的交点在点（３，０）的两侧，ʑ当ｘ＝３时，ｙ＜
０，即３２－（３ａ＋２）ˑ３＋（２ａ－１）＜０，ʑａ＞
２７
．㊀图４
ʌ答案ɔＡ
与初中数学相比，高中数学的学习也是一样的，对函数
㊀思想㊁微积分思想等需要站在数学内部领域去看待数学思想，而对空间形式和数量关系结合产生的问题就需要站在更感性的位置去看待．接下来，我们再来看看高中数学中数形结合思想的应用．
三、高中阶段数形结合思想的应用
高中阶段的数学知识中广泛运用了数形结合思想，下面笔者对一些高考数学题进行总结归纳．
根据我国历年来各地的数学高考试题总结发现，有下面几类数学问题．
（一）应用韦恩图（Ｖｅｎｎ图）来解决集合问题及数轴的应用
ʌ例１ɔ设集合Ａ＝｛ｘ｜１＜ｘ＜４｝，集合Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－２ｘ－３ɤ
０｝，则Ａɘ（∁ＲＢ）＝
．
Ａ．（１，４）Ｂ．（３，４）
Ｃ．（１，３）
Ｄ．（１，２）ɣ（３，４）
ʌ解析ɔ先求集合Ｂ，再用数轴绘图（如图５所示）求解．
图５
Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－２ｘ－３ɤ０｝＝｛ｘ｜－１ɤｘɤ３｝，Ａɘ（∁ＲＢ）＝｛ｘ｜１＜ｘ＜４｝ɘ｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞３｝＝｛ｘ｜３＜ｘ＜４｝．
ʌ答案ɔＢ
不等式型集合的交与并题型，一般情况能够用数轴处理，解题时要注意验证区间端点是否符合题意．
ʌ例２ɔ已知全集Ｕ＝Ｒ，集合Ａ＝｛ｘ｜｜ｘ｜ɤ１，ｘɪＺ｝，Ｂ＝
｛ｘ｜ｘ２－２ｘ＝０｝，则图６中的阴影部分表示的集合为
．
图６
Ａ．｛－１｝
Ｂ．｛２｝Ｃ．｛１，２｝Ｄ．｛０，２｝
ʌ解析ɔ由题可知Ａ＝｛ｘ｜｜ｘ｜ɤ１，ｘɤＺ｝＝｛－１，０，１｝，
Ｂ＝｛ｘ｜ｘ２－２ｘ＝０｝＝｛０，２｝．由韦恩图可得图中的阴影部分表示（∁ＵＡ）ɘＢ，即（∁ＵＡ）ɘＢ＝｛２｝．
ʌ答案ɔＢ
上题根据图形来解决，把求阴影部分集合的问题转化为求两个集合的交集问题，将繁难的问题简化了．
（二）数形结合思想在函数中的应用及直角坐标系的应用
ʌ例１ɔｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５，ｘɪ［ｔ，ｔ＋１］，若ｆ（ｘ）的最小值记
为ｈ（ｔ），求ｈ（ｔ）的表达式．
ʌ分析ɔ先分析函数ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５图像的对称轴与区
间的位置关系，再探究函数图像在ｘɪ［ｔ，ｔ＋１］上的增减状况，接着明确在什么地方能够取到最值，最小值具体是多少．
ʌ解析ɔ因为ｆ（ｘ）＝ｘ２＋３ｘ－５＝ｘ＋３２
(
)
２
－
２９４
，所以抛物线ｆ（ｘ）的对称轴为ｘ＝－３
２
，开口向上（１）当－
３２ɤｔ，即ｔȡ－３
２
时，ｆ（ｘ）在ｘɪ［ｔ，ｔ＋１］上单调递增（如图７①）．
所以，当ｘ＝ｔ时，ｆ（ｘ）最小，即ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（ｔ）＝ｔ２＋３ｔ－５．
图７
（２）当ｔ＜－
３２＜ｔ＋１，即－５２＜ｔ＜－３２
时，ｆ（ｘ）在ｔ，－３２[]上递减，在－３２，ｔ＋１[]上递增（如图７②），
所以，当ｘ＝－３２时，ｆ（ｘ）最小，ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（－３２）＝－２９４
．（３）当ｔ＋１ɤ－３２，即ｔɤ－５
２
时，ｆ（ｘ）在ｔ，ｔ＋１][上单调递减（如图７③），所以，当ｘ＝ｔ＋１时，ｆ（ｘ）最小，即ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（ｔ＋１）＝ｔ２＋５ｔ－１．
综合（１）（２）（３）得，ｈ（ｔ）＝ｔ２＋５ｔ－１ｔɤ－５２()，
－２９４－５２＜ｔ＜－３
２()
，ｔ２＋３ｔ－５ｔȡ－３２(
)
．ìî
íïï
ïïïïʌ例２ɔ求
ｓｉｎ２０ʎ－ｓｉｎ４０ʎ
ｃｏｓ２０ʎ－ｃｏｓ４０ʎ
的值．
ʌ解析ɔ直接计算比较烦琐，可利用数形结合思想来解
题．观察该式，可以发现这个式子的结构和计算直线斜率公式的结构相似，故把它当成计算过点Ａ（ｓｉｎ２０ʎ，ｃｏｓ２０ʎ）和点Ｂ（ｓｉｎ４０ʎ，ｃｏｓ４０ʎ）的直线斜率．如图８所示，ȵøＢＯＭ＝øＢＯＡ＝２０ʎ，且ＯＡ＝ＯＢ＝１，ʑøＯＡＭ＝８０ʎ，ʑøＯＭＡ＝６０ʎ，ʑ直线ＡＢ的倾斜角为１２０ʎ，ʑ其斜率为ｔａｎ１２０ʎ＝
㊀－３，即
ｓｉｎ２０ʎ－ｓｉｎ４０ʎ
ｃｏｓ２０ʎ－ｃｏｓ４０ʎ
＝－
３．
图８
利用三角函数的本质定义，将三角问题放到单位圆中去解决．可以把计算三角函数值一类的难题转换成求直线斜率的问题．
（三）依据式子的结构，数形结合方式解决数学概念及数学表达式几何意义的应用
ʌ例１ɔ变量ｘ，ｙ满足约束条件ｘ＋２ｙȡ２，２ｘ＋ｙɤ４，４ｘ－ｙȡ－１，
ìîíïï
ï
那么目标函
数ｚ＝３ｘ－ｙ的取值范围是
．
Ａ．－３２
，６
[]
Ｂ．－３２
，－１
[]Ｃ．－１，６[]
Ｄ．－６，３
２
[]ʌ解析ɔ运用约束条件画出目标函数的可行域，找到目
标函数集合，求解即可．描绘出不等式所表示的区域，如图９所示，由ｚ＝３ｘ－ｙ，平移直线ｙ＝３ｘ，观察到当直线通过点Ｅ（２，０）时，ｙ＝３ｘ－ｚ的截距是最小的，ｚ最大为ｚ＝３ｘ－ｙ＝６；当直线过Ｃ点时，直线截距是最大的，ｚ最小，由４ｘ－ｙ＝－１，
２ｘ＋ｙ＝４，
{
可得
ｘ＝
１２，
ｙ＝３，{
ʑｚ＝３ｘ－ｙ＝３２－３＝－３２，ʑｚ＝３ｘ－ｙ的取值范围为－３
２
，６[
]
．
图９
ʌ答案ɔＡ
（四）解决解析几何㊁立体几何问题
ʌ例１ɔ已知圆Ｃ：（ｘ＋１）２
＋ｙ２
＝２５内有一点Ａ（１，０），Ｑ
为圆Ｃ上一点，ＡＱ的中垂线交ＣＱ于点Ｍ，求点Ｍ的轨迹方程．
ʌ分析ɔ处理解析几何问题的最基本途径就是数形结
合，在解题期间将数形结合的数学思想活用在点㊁直线㊁曲线的性质及彼此间关系的转化上．
ʌ解析ɔ如图１０所示，连接ＡＭ．ȵ点Ｍ是ＡＱ中垂线上的一点，
ʑＡＭ＝ＱＭ，ʑＡＭ＋ＣＭ＝ＱＭ＋ＣＭ＝ＣＱ＝５，ʑ点Ｍ的轨迹是以点Ａ，Ｃ为焦点的椭圆，且２ａ＝５，ｃ＝１，
ʑ点Ｍ的轨迹方程为
４２５ｘ２＋４２１
ｙ２
＝１．图１０
结合椭圆的定义得出点Ｍ的轨迹是一个椭圆，其中确定ａ，ｂ，ｃ的值是突破点，继而求点Ｍ的轨迹方程式．另一个办法是可以根据原有方法设点㊁找等量关系㊁化简来获得轨迹方程．
ʌ例２ɔ如图１１所示，长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，ＡＢ＝
ＡＡ１＝１，ＢＣ＝３，点Ｅ是ＢＣ上一点，且ＢＥ＝１，求二面角Ａ－Ａ１Ｅ－
Ｄ的余弦值．
图１１
ʌ解析ɔ以直线ＡＢ为ｘ轴，ＡＤ为ｙ轴，ＡＡ１为ｚ轴，建立空间直角坐标系，
则易得点Ａ（０，０，０），Ａ１（０，０，１），Ｄ（０，３，０），Ｅ（１，１，０）．
则ＡＥң＝（１，１，０），Ａ１Ｅң＝（１，１，－１），Ａ１Ｄң
＝（０，３，－１），ＤＥң
＝（１，－２，０）．
设平面ＡＡ１Ｅ的法向量是ｎң
１＝（ｘ，ｙ，ｚ），则有
ＡＥң㊃ｎң
１＝ｘ＋ｙ＝０，
Ａ１Ｅң
㊃ｎң
１＝ｘ＋ｙ－ｚ＝０，
{
可得平面ＡＡ１Ｅ的一个法向量ｎң
１＝（１，－１，０）．
同理能够获得平面Ａ１ＥＤ的一个法向量ｎң
２＝（２，１，３）．
㊀ʑｃｏｓ ｎң
１，ｎң
２⓪＝
７１４
．ȵ二面角Ａ－Ａ１Ｅ－Ｄ是一个钝角，ʑ其余弦值为－
７１４
．以上的这四个类型是高考题中最常见的数形结合应用，但是大家别忘了，高中也有证明题，接下来笔者总结了四个数形结合思想在证明题中的应用．
（五）典型证明题１
．证明勾股定理
图１２
４ˑ０．５ａｂ()＋（ａ－ｂ）２＝ａ２＋ｂ２＝ｃ２
由图１２可得，Ｓ四个小三角形（阴影部分）＋Ｓ中间小正方形＝Ｓ大正方形，简
化后即可得到ａ２＋ｂ２＝ｃ２．
２．证明平方差公式与完全平方公式
图１３
㊀
ａ２
－ｂ２
＝ａ＋ｂ()（ａ－ｂ）㊀㊀ａ＋ｂ()２
＝ａ２
＋ｂ２
＋２ａｂ
Ｓ正方形和Ｓ小长方形之间的转换，深入地剖析了平方差公式和完全平方公式的运算过程与公式的实质联系．
３．证明基本不等式
图１４
ａｂɤ
ａ＋ｂ２Ｈ斜边上的中线＝１２Ｓ斜边，即长度是ａ＋ｂ２
，由直角三角形的相似关系得ｈ高＝ａｂ，那么，在直角三角形中，斜边上中线的
长度ȡ高，这样可以以图解题，对基本不等式的表征分析也
更加简单化．
４．证明正弦定理㊁余弦定理
图１５
（１）如图１５所示，әＡＢＣ的面积Ｓ＝１２ａ㊃ｈ＝１２
ａ㊃ｂｓｉｎＣ＝
１
２
ａ㊃ｃｓｉｎＢ⇒ｂｓｉｎＣ＝ｃｓｉｎＢ，即
ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ
．同理得
ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ
．由圆的性质（等弧对等角）可得，øＡ＝øＤ，ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＤ＝ａ２Ｒ，即
ａ
ｓｉｎＡ
＝２Ｒ，所以得证
ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ
＝２Ｒ．（２）易知ＡＢ２－ＢＥ２＝ＡＣ２－ＣＥ２，
即ｃ２－ｃｃｏｓＢ()２＝ｂ２－ａ－ｃｃｏｓＢ()２，
ʑｃｏｓＢ＝ａ２＋ｃ２－ｂ２
２ａｃ，同理可得出ｃｏｓＡ，ｃｏｓＣ的余弦定
理公式．
四、总㊀结
（一）数形结合思想的意义及价值
数形结合的思想方法贯串于整个数学体系中，从儿童
时期教师利用直观的图形及实物来教学，到中学时代中考㊁高考题中极为广泛的应用，再到大学甚至之后的数学知识学习中，都涉及此方法．它是对数学进行研究学习的主要线索之一，不仅是一种解决数学题的思想方法，还是能够让我们深化学习㊁探究和研究数学的强有力手段㊁工具，能够培养我们的思维能力．数形结合思想紧握 数 形 这两个数
学中的精髓要点，直观的冲击让我们形成对事物的感性认知，扩大自己的表征储备，为我们内化定义概念和性质做铺垫．我们对事物的了解㊁研究㊁探究大多都是由图形作为起点
展开的．数和形的相互渗透连接既是数学本身发展所必需的，又是学习数学知识的需要．
对数形结合的较深的理解就是 转化思想 ，所以我们在使用时要注意：第一步，要真正弄清楚概念的实质特性和运算的几何意义及曲线的代数个性等，并且对数学题目中
㊀给定的已知信息进行分析深化；第二步，需要做出恰当的假定，即设参数，用参数来联系生成条件关系，完成数与形之间的转换；第三步，精确的利用数形结合解决问题．
（二）数形结合思想的新发展
本篇论文说的是数形结合这种思想方法在数学中的应用，这仅仅体现了它的冰山一角，在其他的学科中数形结合思想同样有非常广泛的运用．数形结合也为推动学生的发散思维发展铺设了新的道路，能够提高学生的思维水平．
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㊀
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学生先学习基本图形，再认识复杂图形，再绘制图形的三视图．本项目资源中以项目任务为外在表现，以数学知识学习为内在线索，形成了三个大任务㊁六个子任务的项目结构，既能够让学生学习如何制作一款茶几纸模型，也能够引导学生学习相关数学知识．
作品要求．项目作品是项目学习的收官环节，项目学习达到什么效果会在作品展示环节充分体现．因此，作品既要体现项目的完整性，也要充分展示学生数学知识的习得情况．本项目要求学生能够绘制三视图，并且讲解所设计的茶几中蕴含的数学知识．
辅助资源．在具体的学习过程中，学生虽然会被项目学习的形式所吸引，但完成项目作品往往会遇到各种困难．这就需要教师为学生搭建 脚手架 ，提供辅助资源．辅助资源可以是网络资源㊁实物作品㊁某些数学知识等，也可以是教师讲授某些案例，加深学生的体会．本项目提供了家具设计的资源和纸工艺品制作的资源，这样可以防止学生不会制作纸工艺品，或者缺少灵感无法设计出茶几作品．
项目学习作为一种学习活动，发生在真实的课堂教学活动中，不是教师只提出一个驱动问题，然后就放任学生自学．在这个学习过程中教师需要制定详细的进度㊁目标㊁评价等，构建科学㊁合理的学习资源．本文所构建的项目学习课程资源开发框架，将为教育工作者开发数学项目学习课程资源㊁开展项目学习研究，特别是一线数学教师开展课堂项目学习提供帮助．
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