自动控制理论基础(第3章(2))

ωn
t≥0
11
Im
× × s
s2
1
h(t )
Re
1
0
t
a.过阻尼系统无振荡、无超调，但过渡过 过阻尼系统无振荡、无超调， 过阻尼系统无振荡 程时间较长；显然： 程时间较长；显然：ess = 0 b.若 ζ >> 1, s1 << s2 , 此时系统可用 若 一阶系统来近似， 一阶系统来近似，即
C (s) s1 = R( s ) s + s1
1、上升时间 t r 、 定义：响应曲线第一次达到稳态值的时间。 定义：响应曲线第一次达到稳态值的时间。 即
∵ h(tr ) = 1 −
故有: 故有: 即
1
1− ζ 2
e
−ζωn tr
sin(ωd tr + β ) = 1
sin(ωd tr + β ) = 0
ωd t r + β = π
π −β π −β ∴ tr = = 2 ωd ωn 1 − ζ
20
∴σ % = h(t p ) −1 ×100% = e
−
ζπ
1−ζ 2
×100%
ζ 有关， 越小， 系统超调量仅与ζ 有关， 越小，超调量 越大。 越大。超调量的数值直接说明了系统的相 对稳定性。 对稳定性。
21
4、调整时间 t s 、
调整时间是指响应值h(t)达到 调整时间是指响应值 达到95%-105%(98%达到 102%)稳态值 并且永远保持在这个区间内所需 稳态值,并且永远保持在这个区间内所需 稳态值 的时间。 的时间。 出发， 调整时间可从 h(t ) = 0.95(0.98) 出发，但求 解比较困难。巳知： 解比较困难。巳知： 22
σ% = e
−
ζπ
1−ζ 2
× 100%
t s (2%) = 4
ζ
ζω n
25
ωn
3.7 习题 5, 7, 8 习题:
26
再见
27
1
0
t
7
b.当 ζ = 0 , 当
c(t ) = 1 − cos ωnt ，则
h (t )
系统零阻尼， 系统零阻尼，是不衰 减的等幅振荡,闭环极 减的等幅振荡 闭环极 点位于虚轴上。 点位于虚轴上。
1
0
t
Im
jωn
×
− jωn×
Re
c.∵e(t ) = r(t ) − c(t ) =
1 1− ζ
2
ω 1 C ( s) = ⋅ s ( s + ωn ) 2
2 n
ωn 1 1 = − − 2 s ( s + ωn ) s + ωn
∴ c ( t ) = 1 − e − ω n t (1 + ω n t )
h (t )
t ≥ 0 jω
0
1
0
t
s1,2 = −ωn
×
σ
此时，系统有两个相等的负实根。 此时，系统有两个相等的负实根。
17
其中： 其中：
s1+
−1
jω
β = cos ζ
β
ωn
jω n 1 − ζ
2
0
s2+ ζω
n
σ
故增大自然振荡角频率或减小阻尼比， 故增大自然振荡角频率或减小阻尼比，都 将减小上升时间。 将减小上升时间。 2、峰值时间 t p 、
18
解出t值 由h '(t ) = 0，解出t值，最小解即为t p . 故
σ = ζ ω n ---衰减系数 衰减系数
4
阻尼比的大小决定了闭环极点在根平面的 位置，反映了解的性质； 位置，反映了解的性质；极点的实部的大 决定了指数衰减的快慢； 小，决定了指数衰减的快慢；极点虚部的 大小，则决定了系统响应振荡的快慢。 大小，则决定了系统响应振荡的快慢。
s1+
jω
β
jω n 1 − ζ
3 (5%) ∴ ts = s1
12
4、负阻尼情况 (ζ 、
< 0)
此时， 此时，系统响应表达式的各指数项均为 正指数，其阶跃响应是发散的： 正指数，其阶跃响应是发散的：
h(t )
h(t )
0
t
0
t
5、二阶系统在各种阻尼比下的h(t) 、二阶系统在各种阻尼比下的
13
讨论： 讨论： a.阻尼比 ζ 是二阶系统最重要的特征参数， 阻尼比 是二阶系统最重要的特征参数， 的大小，而不必求解方程， 只要知道 ζ 的大小，而不必求解方程，就可 知道系统响应的大致情况； 知道系统响应的大致情况；
14
b.阻尼比过大 (ζ ≥ 1) ，系统响应迟钝，调节时 阻尼比过大 系统响应迟钝， 间增长，快速性较差；而阻尼比太小， 间增长，快速性较差；而阻尼比太小，使振 荡加剧，衰减变缓，调节时间长，快速性也 荡加剧，衰减变缓，调节时间长， 因而阻尼比一般取值为： 差。因而阻尼比一般取值为： < ζ < 0.8 ， 0.4 此时快速性和平稳性均较好； 此时快速性和平稳性均较好； c. ωn也是系统重要的特征参数。在相同的ζ 也是系统重要的特征参数。 ω 越大， 越大， 下， n 越大，系统振荡角频率ωd 越大，致使 系统的平稳性变差，但调整时间减小。 系统的平稳性变差，但调整时间减小。 d. ζ = 0.707 称为最隹阻尼比，此时， 称为最隹阻尼比，此时， 超调量较小，调整时间(5%误差带 最短。 误差带)最短 超调量较小，调整时间 误差带 最短。
T =
1
ζω n
可用包络线代替响应曲线， 可用包络线代替响应曲线，求出近似调整时 间，即
t s (5% ) = ≐
3
ζωn
4
(0 < ζ < 0.9)
t s (2%) = ≐
ζω n
(0 < ζ < 0.9)
24
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
调整时间与闭环极点与虚轴的距离成反 极点离虚轴越远，调整时间越短。 比，极点离虚轴越远，调整时间越短。 由于ζ 与调整时间的实际关系曲线是非连 续的， 续的，因而ζ 值通常由系统允许的最大过 调量来确定,由 确定调整时间。 调量来确定 由 ωn 确定调整时间。即
2
0
s2+−ζω
n
σ
5
当输入为单位阶跃函数时， 当输入为单位阶跃函数时，则有
ω 1 C ( s) = G ( s) R( s) = ⋅ 2 2 s s + 2ζωn s + ωn s + 2ζωn 1 = − 2 2 s s + 2ζωn s + ωn
2 n
s + ζωn ζωn 1 = − − 2 2 2 2 s ( s + ζωn ) + ωd ( s + ζωn ) + ωd
2 n
2
ζ --阻尼系数 阻尼系数
--无阻尼自然振荡频率 ωn 无阻尼自然振荡频率 二阶系统的响应通常被视为一种基准， 二阶系统的响应通常被视为一种基准，原 因就是二阶系统具有定量的品质指标。 因就是二阶系统具有定量的品质指标。 二、单位阶跃响应h(t) 单位阶跃响应 1、欠阻尼情况 (0 < ζ < 1) 、 巳知二阶系统的特征方程式为： 巳知二阶系统的特征方程式为：
《自动控制理论基础》 自动控制理论基础》
第五讲
1
3-3 典型二阶系统的时域响应
一、二阶系统的数学摸型 典型二阶系统是由一惯性环节与积分环节串 联构成的闭环系统，其标准形式为： 联构成的闭环系统，其标准形式为：
+
R(s)
−
ω
s(s + 2ζ ω
2 n
n
)
C (s)
ω C (s) G(s) = = 2 2 R( s ) s + 2ζωn s + ωn
e
−ζωnt
sin(ωd t + β )
8
∴ ess = e(∞) = 0
即系统带有一个积分环节， 即系统带有一个积分环节，对单位阶跃输 稳态误差为零。 入，稳态误差为零。 2、临界阻尼情况 (ζ 、 此时
= 1)
2 n
G (s) =
C (s) R(s)
ω = 2 ( s + ωn )
9
1 而 R ( s ) = S ，故
3
s + 2ζω n s + ω = 0
2 2 n
系统的闭环极点（特征根） 当 0 < ζ < 1时，系统的闭环极点（特征根）为：
s1, 2 = − ζ ω n ± jω n 1 − ζ
其中： 其中：
2
= − σ ± j ω d（一对共轭复根） 一对共轭复根）
2
阻尼振荡自然（ ωd = ωn 1− ζ ---阻尼振荡自然（角）频率 阻尼振荡自然
15
三、欠阻尼二阶系统性能指标的定义和计算 条件：系统初始条件为零； 条件：系统初始条件为零；单位阶跃输入 使用条件的原因是，基准相同， 使用条件的原因是，基准相同，系统间便 于比较；而单位阶跃信号易于产生， 于比较；而单位阶跃信号易于产生，其他 输入也可由此计算出来。 输入也可由此计算出来。
16
dh(t ) dt
t =t p
=
ωn
1− ζ 2
e
−ζωn t
sin ωd t = 0
∴ωd t = 0, π ...
π π tp = = ωd ωn 1−ζ 2
19
为阻尼振荡周期的一半。 即峰值时间t p为阻尼振荡周期的一半。 3、超调量 σ % 、
最大超调量发生在峰值时间t p ，故有
h(t p ) − h(∞) ×100% ∵σ % = h(∞)