随机过程答案4(1)
《随机过程及其在金融领域中的应用》习题四答案
3
e 2
解法二：
平均每小时有30人到达
= 30 =0.5人/分钟
60
根据齐次 Poisson 过程的到达时间间隔Xn, n 1, 2, 是独立同分布于均值
为 1 的指数分布的，故可有：
相继到达的顾客的时间间隔大于 2 分钟的概率为： P Xn 2 et e1
PNt n
n
k
PNs
k PNts PNt n
nk
sk es
k!
t snk n k!
t n et
ets
s k nk t s nk
tk tnk
n!
k !n k !
不妨设 t s 则
E
M 2 T
1 T2
T 0
T 0
E
Nt
Ns
dsdt
1 T2
T 0
T 0
t 2ts dsdt
1
T2
T 0
Tt
1 2
2T
2t
dt
T 2
2T 2 4
Var M T E M 2 T E M T 2 T 2
0!
1!
2!
e2 2e2 2e2 5e2
P N1 1, N2 3 P N1 1, N21 3 1 P N1 1 P N1 2 2e2 2e2 4e4
P
N1
2
N1
1
P
N1 2, N1
P N0,s1 0, Ns1,s1h 1, Ns1h,s2 0, Ns2 ,s2 h 1, Ns2 h,s3 0, Ns3 ,s3 h 1
专升本随机过程试卷答案
专升本随机过程一、共52题,共151分1. 描述随机过程的数字特征包括自相关函数.方差函数.均值函数以及 2分A.协方差函数B.样本函数；C.特征函数标准答案：A2. 对于维纳过程以下说法正确的是 2分A.是平稳过程B.是正交增量过程；C.是马尔科夫过程标准答案：B3. 对于非齐次泊松过程,以下说法正确的是 2分A.单位时间内事件发生的平均次数是随时间变化的函数；B.单位时间内事件发生的时刻是随时间变化的函数；C.单位时间内事件发生的平均时间间隔是随时间变化的函数；标准答案：A4. 高斯过程如果是宽平稳的,那么它必是 2分A.独立增量过程；B.遍历；C.各态历经；D.严平稳标准答案：D5. 随机过程是正交增量过程的充要条件是 2分A.,都有；B.,都有；C.,都有;D.,都有；标准答案：D6. 高斯过程通过线性系统后输出为,那么它必是 2分A.严平稳；B.高斯过程；C.各态历经D.以上均不对标准答案：B7. 假设是参数为的泊松过程,那么复合泊松过程的方差函数可以表示为 2分A.B.；C.D.标准答案：A8. 若是相互独立的随机变量,那么的特征函数描述,正确的是 2分A.；B.；C.；D.以上均不对标准答案：B9. 讨论某随机过程的各态历经性,前提条件是该随机过程必须 2分A.严平稳；B.宽平稳；C.非平稳D.正交增量过程标准答案：B10. 以下条件可以作为判断马尔科夫链遍历的充分条件 2分A.,存在整数,使得；B.,存在整数,使得；C.,存在整数,使得D.以上均不对标准答案：B11. 随机过程一般可以理解为二元函数,变量分别为 3分A.随机变量；B.随机模型；C.时间；D.某常数标准答案：A,C12. 以下哪些自相关函数能够作为平稳过程的自相关函数 3分A.；B.；C.；D.;标准答案：B,D13. 关于泊松过程参数为的时间间隔序列,以下说法正确的是 3分A.不同时间间隔之间是相互独立的；B.不同时间间隔之间是线性相关的；C.所有时间间隔是随机变量；D.所有时间间隔都不是随机变量；标准答案：A,C14. 对于特征函数性质的描述,正确的是 3分A.；B.；C.；D.;标准答案：A,B,C,D15. 白噪声具有以下哪些特点 3分A.均值函数；B.功率谱密度函数为常数；C.平均功率；D.自相关函数为冲击函数;标准答案：A,B,D16. 随机过程,其中是上均匀分布的随机变量,那么____,____,____. 6分标准答案：1. 0;2. ;3. ;17. 设平稳随机过程的自相关函数为,那么它的功率普密度函数_____________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________,平均功率为_________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________ 4分标准答案：1. ;2. ;18. 随机过程,其中的概率分布如下:,,那么的____,____,____; 6分标准答案：1. 0;2. ;3. ; 19. 参数为的泊松过程,其特征函数表示为 2分A.；B.；C.标准答案：B20. 设非齐次泊松过程的参数为,那么期望等于 2分A.；B.；C.标准答案：A21. 假设是参数为的泊松过程,那么复合泊松过程的数学期望可以表示为 2分A.；B.；C.标准答案：C22. 高斯过程如果是宽平稳的,那么它必是 2分A.独立增量过程；B.遍历；C.各态历经；D.严平稳标准答案：D23. 设平稳过程的功率普密度函数为,以下表达是正确的是 2分A.；B.；C.标准答案：A24. 高斯过程通过线性系统后输出为,那么它必是 2分A.严平稳；B.高斯过程；C.各态历经D.以上均不对标准答案：B25. 马尔科夫链存在平稳分布的前提条件是该马尔科夫链必须 2分A.平稳；B.遍历；C.各态历经标准答案：B26. 平稳过程的均值函数为与时间分量的关系为 2分A.无关；B.有关；C.线性相关标准答案：A27. 讨论某随机过程的各态历经性,前提条件是该随机过程必须 2分A.严平稳；B.宽平稳；C.非平稳D.正交增量过程标准答案：B28. 关于随机过程、随机变量之间的关系,以下说法正确的是 2分A.随机过程是若干随机变量的集合；B.随机变量是若干随机过程的集合；C.没有关系标准答案：A29. 随机过程作为平稳过程,必须满足以下条件 3分A.均值函数为常数；B.自相关函数与无关；C.各态历经性；D.方差为0标准答案：A,B30. 关于泊松过程参数为,以下说法正确的是 3分A.它必是计数过程B.它必是平稳独立增量过程；C.它必是高斯过程D.它必是窄带过程；标准答案：A,B31. 关于泊松过程参数为的时间间隔序列,以下说法正确的是 3分A.不同时间间隔之间是相互独立的；B.不同时间间隔之间是线性相关的；C.所有时间间隔是随机变量；D.所有时间间隔都不是随机变量；标准答案：A,C32. 如果马尔科夫链的状态与是互通的,那么 3分A.状态与有相同周期；B.若状态为非常返,则状态也为非常返；C.若状态为常返,则状态也为常返；D.若状态为正常返,则状态也为正常返；标准答案：A,B,C,D33. 计数过程必须满足以下条件 3分A.B.取非负整数；C.若,那么D.,等于区间内事件发生的次数;标准答案：A,B,C,D34. 随机过程,其中为常数,是上均匀分布的随机变量,那么____,____,____ . 6分标准答案：1. 0;2. ;3. ;35. 设随机过程是高斯白噪声,功率谱密度函数为,那么___________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________,_____________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________,________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ __________,的一维概率密度函数为_____________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________ 8分标准答案：1. ;2. ;3. ;4. ;36. 关于严平稳与宽平稳的关系,以下描述哪一个是对的 2分A.严平稳必是宽平稳；B.宽平稳必是严平稳；C.严平稳与宽平稳无任何关系标准答案：A37. 设平稳过程的功率普密度函数为,以下表达是正确的是 2分A.；B.；C.标准答案：A38. 假设是白噪声,那么以下结论正确的是 2分A.；B.；C.标准答案：B39. 高斯过程如果是宽平稳的,那么它必是 2分A.独立增量过程；B.遍历；C.各态历经；D.严平稳标准答案：D40. 参数为的泊松过程,其自相关函数为 2分A.；B.；C.标准答案：C41. 平稳过程的均值函数为与时间分量的关系为 2分A.无关；B.有关；C.线性相关标准答案：A42. 关于随机过程、随机变量之间的关系,以下说法正确的是 2分A.随机过程是若干随机变量的集合；B.随机变量是若干随机过程的集合；C.没有关系标准答案：A43. 对于维纳过程以下说法正确的是 2分A.是平稳过程B.是正交增量过程；C.是马尔科夫过程标准答案：B44. 对于非齐次泊松过程,以下说法正确的是 2分A.单位时间内事件发生的平均次数是随时间变化的函数；B.单位时间内事件发生的时刻是随时间变化的函数；C.单位时间内事件发生的平均时间间隔是随时间变化的函数；标准答案：A45. 以下条件可以作为判断马尔科夫链遍历的充分条件 2分A.,存在整数,使得；B.,存在整数,使得；C.,存在整数,使得标准答案：B 46. 随机过程作为平稳过程,必须满足以下条件 3分A.均值函数为常数；B.自相关函数与无关；C.各态历经性；D.方差为0标准答案：A,B47. 关于高斯过程,以下说法正确的是 3分A.高斯过程必是宽平稳过程；B.高斯过程必是严平稳过程；C.高斯过程通过线性系统后仍然是高斯过程D.高斯过程的宽平稳与宽平稳等价；标准答案：C,D48. 关于平稳过程的自相关函数,以下说法正确的是 3分A.是偶函数B.是奇函数；C.D.；标准答案：A,C49. 马尔可夫过程按照其状态、时间参数是离散或连续的,可分为以下哪几类 3分A.时间、状态都离散的,称为马尔可夫链；B.时间连续、状态离散的,称为连续时间的马尔可夫链；C.时间、状态都连续的,称为马尔可夫链；D.时间离散、状态连续的,称为马尔可夫链;标准答案：A,B50. 是维纳过程,那么 3分A.B.正交增量过程；C.,D.是马尔科夫过程标准答案：A,C51. 泊松过程的参数为,且已知,那么__________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________,_____________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ _____________________________,_____________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________,______________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 假设 8分标准答案：1. ;2. ;3. ;4. ;52. 设随机过程是高斯白噪声,功率谱密度函数为,那么___________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________________________________,_____________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________________________,________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ __________,的一维概率密度函数为_____________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________ 8分标准答案：1. ;2. ;3. ;4. ;。
钱敏平龚光鲁随机过程答案（部分）
钱敏平龚光鲁随机过程答案（部分）随机过程课后习题答案第⼀章第⼆题：已知⼀列⼀维分布{();1}n F x n ≥，试构造⼀个概率空间及其上的⼀个相互独⽴的随机变量序列{(,);1}n n ξ?≥使得(,)n ξ?的分布函数为()n F x 。
解：有引理：设ξ为[0, 1]上均匀分布的随机变量，F(x)为某⼀随机变量的分布函数，且F(x)连续，那么1()F x η-=是以F(x)为分布的随机变量。
所以可以假设有相互独⽴的随机变量12,,...,n θθθ服从u[0, 1]分布，另有分布{()}n F x ，如果令1(,)()n n n F ξθ-?=，则有(,)n ξ?为服从分布()n F x 的随机变量。
⼜由假设条件可知，随机变量{(,),1}n n ξ?≥之间相互独⽴，则其中任意有限个随机变量12(,), (,),...,(,)n i i i ξξξ的联合分布为：11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i x i x i x F x F x F x ξξξ?≤?≤?≤=再令112{,,...,,...},,{|()[0,1],1,2,...}n i i i i w w w w A A x F x i -Ω=∈=∈=，令F 为Ω所有柱集的σ代数，则由Kolmogorov 定理可知，存在F 上唯⼀的概率测度P 使得：11221122{(,),(,),...,(,)}()()()i i n in i i i i in in P i w i w i w F w F w F w ξξξ?≤?≤?≤=则所构造的概率空间为(Ω,F , P)。
第⼋题：令{};1n X n ≥是⼀列相互独⽴且服从(0,1)N （正态分布）的随机变量。
⼜令1n n S X X =++22(1)n S n n ξ+=1(,,)n n F X X σ=试证明：,;1n n F n ξ≥（）是下鞅（参见23题）。
研究生《随机过程》教材课后作业答案
1.1 证明：∵1111,,,,,A F F F F ∈ΩΦ∈ΩΩ∈Φ∈Ω-Φ∈ΩΦ∈ 且∴1F 是事件域。
∵222,,,,cA A F F A F A A ∈Ω∈Ω∈-Φ∈=Ω-∴22222,,,,c c A F A F A F A F A F ∈-Φ∈-Φ∈Ω-∈Ω-∈ 且2,ccA A A A F ΦΩ=ΩΦΩ∈ ∴2F 是事件域。
且12F F ∈。
∵2ΩΩ∈∴3F Ω∈∴3F 是事件域。
且23F F ∈∴123,,F F F 皆为事件域且123F F F ∈∈。
1.2一次投掷三颗均匀骰子可能出现的点数ω为(),,,,,,16,16,16i j k i R j R k R i j k ∈∈∈≤≤≤≤≤≤∴样本空间()61,,6=,,n i j k i j k =≤≤Ω事件(){},,|,,i j k A i j k ωω==，,,,1,,6i R j R k R i j k ∈∈∈≤≤ 事件域2F Ω= 概率测度(),,1P 216i j k A =，,,,1,,6i R j R k R i j k ∈∈∈≤≤ 则(),,F P Ω为所求的概率空间。
1.3 证明：（1）由公理可知()0P Φ=（2）有概率测度的可列可加性将第n+1个集合往后都取为空集，即可得结论()11n nk k k k P A P A ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑ （3）∵,,A B F A B ∈⊂ ∴B A F -∈,()A B A -=Φ由概率测度的可列可加性可得：()()()()P B P A B A P A P B A =+-=+-即()()()P B A P B P A -=-有概率测度的非负性可得()()()0P B P A P B A -=-≥，即()()P B P A ≥ （4）若B =Ω,由（3）则有()()1P A P A =- （5）∵()()()()121212P A A P A P A P A A +=+- 假设()()()()()11211111m m m k k i j i j k m k i j m i j k m k P A P A P A A P A A A P A A A +=≤<≤≤<<≤=⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭∑∑∑ 成立，则()()()()()()()()()11111111111111211111+1m m m m k k m m k m k k k k k mm k iji j k k i j mi j k mm m m m k k m k i j i k i j mP A P A A P A P A P A A P A P A P A A P A A A P A A A P A A P A P A A P A A ++++====+=≤<≤≤<<≤++=+=≤<≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-+-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭=-+∑∑∑∑∑()()()()()()()()()()()()1121111121111212111111111n j k m i j k mm i j m i j k m m m i j m i j k m m m k i j i j k m k i j m i j k m A P A A A P A A A P A A A A P A A A A P A P A A P A A A P A A A +≤<<≤++++≤<≤≤<<≤+++=≤<≤+≤<<≤+-+-⎛⎫--+-+- ⎪⎝⎭=-+-+-∑∑∑∑∑∑也成立由数学归纳法可知()()()()()11211111n n n k k i j i j k n k i j n i j k n k P A P A P A A P A A A P A A A +=≤<≤≤<<≤=⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭∑∑∑()()()()()()111122212123231231n nn n k k k k k k k k n n n k k k k k k nk k nk k P A P A A P A P A P A A P A P A P A P A A P A A P A P A P A P A =========⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫≤++ ⎪⎝⎭≤≤∑1.4 （1）()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()21040114P AB P A P B P AB P AB P A P B P AB P A P B P A P AB P A P B P AB P A P A B P A P A P A ≤-≤-≤≤-≤-=-=+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦≤-≤（2）()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()if =1else if =P AB P BC P AB P BC P AB P AC P A B C P ABC P AB P BC P AC P A B C P ABC P BC P A B C P AB P BC P AB P BC --+=++-+=++-≤+≤--- 可由这个式子的轮换对称性证明这种情况（3）()()()()()()()()()()11111111111n nk k k k n nn nk k k k k k k k nk k nk k A A A AP A P A P A P A n P A P A n P A P A P A n ========⊂∴⊃⎛⎫≤≤=-=- ⎪⎝⎭-≤-∴≥--∑∑∑∑∑1.5()1(1)k nkk A P X k n--== 1.6由全概率公式()()()()()()()()()()()()100112211110101=1424P Y X P Y P X P Y P X P Y P X P Y P Y P Y e -≥=≥=+≥=+≥==+-=+-=-=-1.7 证明： 显然()()()()111111122,,,,,,0n n n n n F x x F x x F y x P x X y x X x X ∆=-=≤≤≤≤≥假设()()121111222,,,,,,,0i n i i i i i n n F x x P x X y x X y x X y x X x X ∆∆∆=≤≤≤≤≤≤≤≤≥ 成立 从而()()()()12+11111222111112221111122211122,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0i i n i i i i i n n i i i i i n n i i i i i n n F x x P x X y x X y x X y x X x X P x X y x X y x X y y X x X P x X y x X y x X y x X x X +++++++++∆∆∆∆=≤≤≤≤≤≤≤≤-≤≤≤≤≤≤≤≤=≤≤≤≤≤≤≤≤≥ （分布函数对于每一变元单调不减）也成立有数学归纳法可知()()121111222,,,,0n n n n n F x x P x X y x X y x X y ∆∆∆=≤≤≤≤≤≤≥1.8()()()()()()()()()()()''''''',,0','x y x y x x y x y x y x y x y x x y y h x y eeh x y eeeee e e e x x y y -+-+-+-+-+-+----∆=-∆∆=---=--≥≤≤所以h 是二元单调不减函数。
随机过程习题答案及知识点
协方差矩阵及n 维正态分布1、设n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的二阶混合中心距：[][];,,2,1,},)()({),(,n j i j X E j X X E X E X X Cov c i i j i j i ⋯=--==都存在，则称矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯=∑nn c c c c c c c c c n2n12n 22211n 1211为n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的协方差矩阵，它是一对称矩阵。
2、n 维正态分布定义：若n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的概率密度可以表示成以下的形式：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∑--∑==⋯-)()(21ex p )(det )2(1)(),,,(f 12/12/21U X U X X f x x x T n n π其中，Tn T T n X E X E X E U x x x X ))(,),(),((),,,(,),,,(21n 2121⋯=⋯=⋯=μμμ∑是）（n X X ,,,X 21⋯的协方差矩阵，则称n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯为n 维正态随机变量，记为),(~),,,X (21∑⋯=μN X X X n ，),,,(f 21n x x x ⋯为n 维正态概率密度函数。
N 维正态随机变量的性质（1） n 维正态随机变量）（n X X ,,,X 21⋯的每一个分量都是正态变量；反之，若nX X ,,,X 21⋯都是正态随机变量，且相互独立，则）（n X X ,,,X 21⋯是n 维正态随机变量。
（2） n 维随机变量）（n X X ,,,X 21⋯服从n 维正态分布的充要条件是n X X ,,,X 21⋯的任意的线性组合n n X l X l X l +⋯++2211服从一维正态分布；（3） 若）（n X X ,,,X 21⋯服从n 维正态分布，设n Y Y ,,,Y 21⋯是),,3,2,1(X n j j ⋯=的线性函数，则n Y Y ,,,Y 21⋯也服从正态分布。
随机过程课后题答案
第一章习题解答1． 设随机变量X 服从几何分布，即：(),0,1,2,k P X k pq k ===。
求X 的特征函数，EX 及DX 。
其中01,1p q p <<=-是已知参数。
解()()jtxjtkk X k f t E eepq ∞===∑()k jtkk p q e∞==∑ =0()1jt kjtk pp qe qe ∞==-∑又200()kkk k q qE X kpq p kq p p p ∞∞======∑∑222()()[()]q D X E X E X P =-=（其中 00(1)nnn n n n nxn x x ∞∞∞====+-∑∑∑）令 0()(1)n n S x n x ∞==+∑则 1000()(1)1xxnn k n xS t dt n t dt x x∞∞+===+==-∑∑⎰⎰202201()()(1)11(1)1(1)xn n dS x S t dt dxx xnx x x x ∞=∴==-∴=-=---⎰∑同理 2(1)2kkkk k k k k k x k x kx x ∞∞∞∞=====+--∑∑∑∑令20()(1)k k S x k x ∞==+∑ 则211()(1)(1)xkk k k k k S t dt k t dt k xkx ∞∞∞+====+=+=∑∑∑⎰）2、（1） 求参数为(,)p b 的Γ分布的特征函数，其概率密度函数为1,0()0,0()0,0p p bxb x e x p x b p p x --⎧>⎪=>>Γ⎨⎪≤⎩（2） 其期望和方差；（3） 证明对具有相同的参数的b 的Γ分布，关于参数p 具有可加性。
解 （1）设X 服从(,)p b Γ分布，则10()()p jtxp bxX b f t ex e dx p ∞--=Γ⎰ 1()0()p p jt b x b x e dx p ∞--=Γ⎰101()()()()(1)p u p p p p p b e u b u jt b x du jt p b jt b jt b∞----==Γ---⎰ 10(())x p p e x dx ∞--Γ=⎰ （2）'1()(0)X p E X f j b∴== 2''221(1)()(0)X p p E X f j b +== 222()()()PD XE X E X b∴===（4） 若(,)i i X p b Γ 1,2i = 则121212()()()()(1)P P X X X X jt f t f t f t b-++==-1212(,)Y X X P P b ∴=+Γ+同理可得：()()iiP X b f t b jt∑=∑-3、设X 是一随机变量，()F x 是其分布函数，且是严格单调的，求以下随机变量的特征函数。
《随机过程》课后习题解答
（ k 0, 2, n ）
1 为一特征函数，并求它所对应的随机变量的分布。 1 t2
n n i
f (t
i 1 k 1
tk )i k
5
=
i 1 k 1
n
n
i k
1 (ti tk )
2
i 1 k 1
n
n
e jti e jti e jti {1 ( jtk )(1 jtk )} n n e jtk e e i k jti = i 1 k 1 e n(1 jtk ) e
1 n n n j ( ti tk ) l ] i k = [e n i 1 k 1 l 1
（2） （3）
其期望和方差； 证明对具有相同的参数的 b 的 分布，关于参数 p 具有可加性。
解 （1）设 X 服从 ( p , b ) 分布，则
f X (t ) e jtx
0
b p p 1 bx x e dx ( p )
bp ( p)
x
0
p 1 ( jt b ) x
i k
1 M 2
0
ti t k } ） （ M 1max{ i , j n
且 f (t ) 连续 f (0) 1 （2） f (t )
f (t ) 为特征函数
1 1 1 1 1 [ ] 2 2 1 t 1 ( jt ) 2 1 jt 1 jt
3
fZ(k)() t (1 )kk! jk (1 jt)(k1)
E (Z k ) 1 (k ) f Z (0) ( 1) k k ! k j
n
《概率论与随机过程》第4章习题解答
4.6 已知平稳过程)(t X 的自相关函数为||)(τατ-=e R X ，求)(t X 的功率谱密度)(ωX G ，并作图。
解：()()0()()022()eee 11e e ()()11()()()2()()j X j j j j G e d d d j j j j j j j j ατωτωατωατωατωατωτττωαωαωαωαωαωααωαωαωα∞---∞∞---+-∞∞---+-∞==+=---+=-+-+--+==-++⎰⎰⎰4.7 已知平稳过程)(t X 的自相关函数为τωττα0||cos )(-=e R X ，求)(t X 的功率谱密度)(ωX G ，并作图。
解：00000000000()()00[()][()][()][()]0[()]0()ecos 11e (e e )(e e )e 2211e e )(e e )22111e 2()(j X j j j j j j j j j j j G e d d d d d j j ατωτωτωτωτωτωατωατωωατωωατωωατωωατωωατωωττττττωωα∞---∞∞-----+-∞∞----+---+-++-∞---==+++=+++=----⎰⎰⎰⎰⎰0000[()]0[()][()]000000022220020e )111e e 2()()1112()()1112()()1222()()()j j j j j j j j j ωωατωωατωωατωωαωωαωωαωωαωωαωωαωωαααωωαωωααωω-+--∞∞--+-++⎧⎫⎨⎬+-⎩⎭⎧⎫+--⎨⎬-+++⎩⎭⎧⎫=--⎨⎬--+-⎩⎭⎧⎫++⎨⎬-+++⎩⎭⎧⎫⎪⎪=+⎨⎬-+++⎪⎪⎩⎭=-+2220()ααωωα+++4.9已知平稳过程X(t)，求Y(t)=A+B X(t)的功率谱密度，A ，B 为常数 解：()(){})(R B 2A )(R B )]E[ABX(t E[ABX(t)]A )BX(t A BX(t)A E )(R X 2X 2X 22Y τττττ++=++++=+++=ABm ()22X X 22X ()A2B R ()2A 2()()j Y X G ABm e d ABm B G ωτωττπδωω∞--∞⎡⎤=++⎣⎦=++⎰4.11 已知平稳过程)(t X 的功率谱密度为⎩⎨⎧<=其它，，01)(0ωωωX G ，求)(t X 的自相关函数）（τX R ，并作图。
(完整版)随机过程习题和答案
一、1.1设二维随机变量(,)的联合概率密度函数为：试求:在时,求。
解：当时，＝＝1.2 设离散型随机变量X服从几何分布：试求的特征函数，并以此求其期望与方差。
解：所以：2.1 袋中红球，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个任取一球后放回，对每 对应随机变量一个确定的t⎪⎩⎪⎨⎧=时取得白球如果对时取得红球如果对t e t tt X t 3)(.维分布函数族试求这个随机过程的一2.2 设随机过程，其中是常数，与是相互独立的随机变量，服从区间上的均匀分布，服从瑞利分布，其概率密度为试证明为宽平稳过程。
解：（1）与无关（2），所以（3）只与时间间隔有关，所以为宽平稳过程。
2.3是随机变量，且，其中设随机过程U t U t X 2cos )(=求：，.5)(5)(==U D U E.321）方差函数）协方差函数；（）均值函数；（（2.4是其中，设有两个随机过程U Ut t Y Ut t X ,)()(32==.5)(=U D 随机变量，且数。
试求它们的互协方差函2.5，试求随机过程是两个随机变量设B At t X B A 3)(,,+=的均值),(+∞-∞=∈T t 相互独若函数和自相关函数B A ,.),()(),2,0(~),4,1(~,21t t R t m U B N A X X 及则且立为多少？3.1一队学生顺次等候体检。
设每人体检所需的时间服从均值为2分钟的指数分布并且与其他人所需时间相互独立，则1小时内平均有多少学生接受过体检？在这1小时内最多有40名学生接受过体检的概率是多少（设学生非常多，医生不会空闲）解：令()N t 表示(0,)t 时间内的体检人数，则()N t 为参数为30的poisson 过程。
以小时为单位。
则((1))30E N =。
40300(30)((1)40)!k k P N e k -=≤=∑。
3.2在某公共汽车起点站有两路公共汽车。
乘客乘坐1,2路公共汽车的强度分别为1λ，2λ，当1路公共汽车有1N 人乘坐后出发；2路公共汽车在有2N 人乘坐后出发。
清华大学随机过程作业4答案
[qi+1 π (i + 1) − qi π (i)] =
[pi π (i) − pi−1 π (i − 1)]
化简后为 qn π (n) − q1 π (1) = pn−1 π (n − 1) − p0 π (0) 结合公式 (1) 可得 qn π (n) = pn−1 π (n − 1) , n ⩾ 1 即 π (n) = 从而有 π (n) = 因为极限分布的归一化， ∑∞
1 设过程的平稳分布为 π，当此链为正常返时，π(0) = µ > 0; 当 π(0) > 0 时, 由：π(0) = 0 ∑ ( n) n π(i)Pi0 , 当 0 为零常返或者非常返时， lim Pi0 = 0, 因此若 0 不是正0，矛盾，因此必有 0 为正常返态。所以该链为正常返等价于存在平稳分布，且 π(0) > 0。 因此： q1 π (1) = p0 π (0) (1)
i∈S i∈ S (n) (n)
(k =
(c) 由 (2)，当 p < 1 时，此链是常返的；当 p = 1 时，此链是非常返的。 (d) P (T = n) = pn−1 (1 − p), ∀n ⩾ 1 E (T ) = D (T ) = ∑
n=1
1 1−p 1 p = 2 2 (1 − p) (1 − p)
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2 pi−1 π (i − 1) + qi+1 π (i + 1) = (pi + qi ) π (i) , i ⩾ 1 上式可改为： qi+1 π (i + 1) − qi π (i) = pi π (i) − pi−1 π (i − 1) , i ⩾ 1 对等式两边同时对 i 求和得
《随机过程》第4章离散部分习题及参考答案
湖南大学本科课程《随机过程》第4章习题及参考答案主讲教师：何松华 教授30．设X(n)为均值为0、方差为σ2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证：2[()()](0)E X n Y n h σ=，2220()Y n h n σσ∞==∑证：根据离散白噪声性质，220()[()()]()0X m R m E X n m X n m m σσδ⎧==+==⎨≠⎩()()()()()m Y n X n h n X n m h m ∞==⊗=-∑220[()()]{()()()][()()]()()()()()(0)m m X m m E X n Y n E X n X n m h m E X n X n m h m R m h m m h m h σδσ∞∞==∞∞===-=-===∑∑∑∑12121222112202121221210000[()]{()()()()][()()]()()[()()]()Y m m m m m m E Y n E X n m h m X n m h m E X n m X n m h m h m m m h m h m σσδ∞∞==∞∞∞∞======--=--=-∑∑∑∑∑∑(对于求和区间内的每个m 1,在m 2的区间内存在唯一的m 2=m 1,使得21()0m m δ-≠)1222110()()()m n h m h m h n σσ∞∞====∑∑(求和变量置换) 31．均值为0、方差为σ2的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h 1(n)=a n u(n)以及h 2(n)=b n u(n)的级联系统(|a|<1,|b|<1)，输出为W(n)，求σW 2。
解：该级联系统的单位脉冲响应为121211100()()()()()()()1(/)()1/n m m m m mn n n nnn m m n nm m h n h n h n h n m h m a u n m b u m b b a aba b a a u n a b a a b∞∞-=-∞=-∞+++-===⊗=-=---⎛⎫====⎪--⎝⎭∑∑∑∑参照题30的结果可以得到21122222211212000222222222()[()2()()]()2(1)[]()111(1)(1)(1)n n n n n W n n n a b h n a ab b a b a b a ab b ab a b a ab b a b ab σσσσσσ++∞∞∞+++===⎡⎤-===-+⎢⎥--⎣⎦+=-+=-------∑∑∑32．设离散系统的单位脉冲响应为()() (1)n h n na u n a -=>，输入为自相关函数为2()()X X R m m σδ=的白噪声，求系统输出Y(n)的自相关函数和功率谱密度。
随机过程习题及答案
第二章 随机过程分析1.1 学习指导 1.1.1 要点随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。
1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。
可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。
2. 随机过程的分布函数和概率密度函数如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。
ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1)如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为1111111(,)(, ) (2 - 2)∂=∂F x t f x t x对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率{}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。
如果2212122121212(,;,)(,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ∂=∂⋅∂存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。
对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把{}n 12n 12n 1122n n ()(),(),,() (2 - 5)=≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。
如果n n 12n 12n n 12n 12n 12n(x )() (2 - 6)∂=∂∂∂F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，，存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。
《随机过程答案》第四章习题
第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题完整答案，请搜淘宝1、 设∑=-=N k k k k n U n X 1)cos(2ασ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。
2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程，A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。
（1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？（2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？3、 设}0),({≥t t X 是一实的零初值正交增量过程，且),(~)(2t N t X σμ。
令1)(2)(-=t X t Y ，0≥t 。
试求过程}0),({≥t t Y 的相关函数),(t s R Y 。
4、 设有随机过程)sin(2)(Θ+=t Z t X ，+∞<<∞-t ，其中Z 、Θ是相互独立的随机变量，)1,0(~N Z ，2/1)4/()4/(=-=Θ==ΘππP P 。
问过程)(t X 是否均方可积过程？说明理由。
5、 设随机过程t Y t X t 2sin 2cos )(+=ξ，+∞<<∞-t ，其中随机变量X 和Y 独立同分布。
（1） 如果)1,0(~U X ，问过程)(t ξ是否平稳过程？说明理由；（2） 如果)1,0(~N X ，问过程)(t ξ是否均方可微？说明理由。
6、 设随机过程});({+∞<<∞-t t X 是一实正交增量过程，并且0)}({=t X E ，及满足：{}+∞<<∞--=-t s s t s X t X E ,,)]()([2；令：+∞<<∞---=t t X t X t Y ),1()()(，试证明)(t Y 是平稳过程。
应用随机过程 第四次作业答案
第四次作业1，设{(),0}N t t ≥是参数为λ的泊松过程，求(|())()k E S N t n k n =≤ 答案：设~[0,]i U U t ，1,2,...,i n =，则其顺序统计量与12,,...,n S S S 在()N t n =的条件下的分布相同。
故()(|())()()1k k kt E S N t n E U k n n ===≤+ 2，设{(),0}N t t ≥为时齐泊松过程，12,,...,,...n S S S 为事件相继发生的时刻。
（1） 给定()N t n =，试问1211,,...,n n S S S S S ---是否条件独立？是否同分布？试证明你的猜想。
（2） 求1[|()]E S N t 的分布律；（3） 利用（1）及（2），求(|())k E S N t 的分布律；（4） 求在()N t n =下i S 与(1)k S i k n ≤<≤的条件联合概率密度。
答案：（1）1211,,...,n n S S S S S ---同分布但不是条件独立。
（2）当0n =时1[|()0](()|()0)(())1E S N t E W t t N t t E W t t λ==+==+=+ 当1n ≥时 1(1)(|())()1t E S N t n E U n ===+ （3）当n k ≤时12(|())(()|())k k k n k n E S N t n E x x x W t t N t n t λ-+-==+++++==+当n k ≥时 ()(|())()1k k kt E S N t n E U n ===+ （4）与()(),i k U U 的联合分布相同，可用微元法或积分得到。
3，设{(),0}N t t ≥是参数为λ的时齐泊松过程，00S =，n S 为第n 个事件发生的时刻。
求：（1）25(,)S S 的联合概率密度函数；（2）1(|()1)E S N t =；（3）12(,)S S 在()1N t =下的条件概率密度函数。
(完整版)随机过程习题答案
随机过程部分习题答案习题22.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数，)1,0(~N V ，求)(t X 的一维概率密度、均值和相关函数。
解 因)1,0(~N V，所以1,0==DV EV ，b Vt t X +=)(也服从正态分布，b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=所以),(~)(2t b N t X ，)(t X 的一维概率密度为),(,21);(222)(+∞-∞∈=--x ett x f t b x π，),0(+∞∈t均值函数 b t X E t m X ==)]([)(相关函数)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==][22b btV bsV stV E +++=2b st +=2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ，令Yt e t X -=)(，0,0>>Y t ，求随机过程)(t X 的一维概率密度及),(),(21t t R t EX X 。
解 对于任意0>t，Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量，根据随机变量函数的分布的求法，}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-)ln (1}ln {1}ln {tx F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-≥= 对x 求导得)(t X 的一维概率密度xtt x f t x f Y 1)ln ();(-=，0>t均值函数⎰∞+--===0)(][)]([)(dy y f e eE t X E t m yt tY X相关函数⎰+∞+-+---====0)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X2.3 若从0=t 开始每隔21秒抛掷一枚均匀的硬币做实验，定义随机过程⎩⎨⎧=时刻抛得反面时刻抛得正面t t t t t X ,2),cos()(π 试求：（1）)(t X 的一维分布函数),1(),21(x F x F 和；（2）)(t X 的二维分布函数),;1,21(21x x F ；（3）)(t X 的均值)1(),(X X m t m ，方差 )1(),(22X Xt σσ。
随机过程第四章习题解答
第四章习题解答4.1Y1,Y2,···是来自总体Y的随机变量，与X0独立，h(x,y)是实函数.对于n 1，取X n=h(X n−1,Y n).设{X n}的状态空间为I，验证{X n}是马氏链，给出转移概率p ij.解：由题知，Y k与X1,···,X k−1独立,k 1,∀n,i,j,i1,...,i n−1∈I有，P(X n+1=j|X n=i,X n−1=i n−1, (X0)i0)=P(h(i,Y n+1)=j|X n=i,X n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(h(i,Y n+1)=j|X n=i)=P(h(i,Y)=j)=P(h(i,Y1)=j|X0=i)=P(X1=j|X0=i).∴X n是马氏链，P ij=P(h(i,Y)=j).4.2设{X i,i 0}是取非负整数值的独立同分布的随机变量序列，V ar(X0)>0.验证以下随机序列是马氏链：(a){X n,n 0};(b){S n,n 0}，其中S n=∑ni=0X i;(c){ξn,n 0}，其中ξn=∑ni=0(1+X i).解：∀n,i,j,i0,···,i n−1∈N+,(a).P(X n+1=j|X n=i,X n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j)= P(X n+1=j|X n=i)=P(X1=j)=P(X1=j|X0=i).1第四章离散时间马尔可夫链第四章离散时间马尔可夫链(b).P(S n+1=j|S n=i,S n−1=i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j−i|X n=i−i n−1,···,X0=i0)=P(X n+1=j−i)=P(X n+1=j−i,S n=i|S n=i)=P(S n+1=j|S n=i)=P(X1=j−i)=P(X1=j−i|X0=i)=P(S1=j|S0=i).(c).P(ξn+1=j|ξn=i,ξn−1=i n−1,···,ξ0=i0)=P(X n+1=ji −1)=P(X n+1=ji−1|ξn=i)=P(ξn+1=j|ξn=i)=P(X1=ji −1)=P(X1=ji−1|X0=i)=P(ξ1=j|ξ0=i).4.3马氏链的状态空间是I=(1,2,3,4,5)，转移概率矩阵P=0.20.80000.50.5000000.50.500.20.3000.500001界定马氏链的状态。
随机过程课后习题解答 毛用才 胡奇英
1 lim e jt n t0
lim
t 0
(1 e jt ) 1 e jt
1
f (0) 1
lim f (t) 1 f (t) 为连续函数 t0
4
n
i 1
n k 1
f (ti tk )i k
n i 1
n k 1
e e
jti
jtk {1
n
= qn ( qpe jt )x Cnx x0
=
qn (1
p q
e
jt )n
= (q pe jt )n
则 f X ,Y (t1,t2 ) ( pe jt1 q)m ( pe jt2 q)n
fX Y (t) f X (t) fY (t) ( pe jt q)mn X Y b(m n, p)
的分布。
证 （1） lim f (t) lim e jt (1 e jnt ) 1 lim e jt (1 e jt ) 1
t 0
t0 n(1 e jt ) n t0 1 e jt
lim
t 0
f (t) lim t 0
e jt (1 e jnt ) n(1 e jt )
)]}
12、设 X1，X 2和X3 相互独立，都服正态分布 N（0， 2），试求：
8
（1） 随机向量（X1，X2，X3）的特征函数。
F(x) 的特征函数为
fX
(t)
1 0
ejtxdx
ejtx jt
1 0
1 (ejt 1) jt
fY (t ) e jbt f X (at ) e jbt (e jta
随机过程习题答案
随机过程习题解答（一）第一讲作业：1、设随机向量的两个分量相互独立，且均服从标准正态分布。
（a）分别写出随机变量和的分布密度（b）试问：与是否独立？说明理由。
解：（a）（b）由于：因此是服从正态分布的二维随机向量，其协方差矩阵为：因此与独立。
2、设和为独立的随机变量，期望和方差分别为和。
（a）试求和的相关系数；（b）与能否不相关？能否有严格线性函数关系？若能，试分别写出条件。
解：（a）利用的独立性，由计算有：（b）当的时候，和线性相关，即3、设是一个实的均值为零，二阶矩存在的随机过程，其相关函数为，且是一个周期为T的函数，即，试求方差函数。
解：由定义，有：4、考察两个谐波随机信号和，其中：式中和为正的常数；是内均匀分布的随机变量，是标准正态分布的随机变量。
（a）求的均值、方差和相关函数；（b）若与独立，求与Y的互相关函数。
解：（a）（b）第二讲作业：P33/2．解：其中为整数，为脉宽从而有一维分布密度：P33/3．解：由周期性及三角关系，有：反函数，因此有一维分布：P35/4. 解：(1) 其中由题意可知，的联合概率密度为：利用变换：，及雅克比行列式：我们有的联合分布密度为：因此有：且V和相互独立独立。
（2）典型样本函数是一条正弦曲线。
（3）给定一时刻，由于独立、服从正态分布，因此也服从正态分布，且所以。
（4）由于：所以因此当时，当时，由（1）中的结论，有：P36/7．证明：(1)(2) 由协方差函数的定义，有：P37/10. 解：（1）当i =j 时；否则令，则有第三讲作业：P111/7．解：（1）是齐次马氏链。
经过次交换后，甲袋中白球数仅仅与次交换后的状态有关，和之前的状态和交换次数无关。
（2）由题意，我们有一步转移矩阵：P111/8．解：（1）由马氏链的马氏性，我们有：（2）由齐次马氏链的性质，有：，（2）因此：P112/9．解：（2）由（1）的结论，当为偶数时，递推可得：；计算有：，递推得到，因此有：P112/11．解：矩阵 的特征多项式为：由此可得特征值为：，及特征向量：，则有：因此有：（1）令矩阵P112/12．解：设一次观察今天及前两天的天气状况，将连续三天的天气状况定义为马氏链的状态，则此问题就是一个马氏链，它有8个状态。
《随机过程》第四章作业解答
20. 解：由例 4.8 中的结果可知甲最终赢的概率为：
(1)
P (甲最终赢)
=
(
1−p p
)a
−
1
(
1−p p
)a+b
−
1
=
(
2 3
)16
(
2 3
)36
− −
1 ;
1
(2)
P (甲最终赢)
=
(
1−p p
)a
−
1
(
1−p p
)a+b
−
1
=
(
2 3
)4
−
1
(
2 3
)24
−
1
21. 解：(1) 状态空间可以分为三个等价类：{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}。其中 {1, 2} 与 {3, 4} 是常 返的，{5, 6} 是瞬时的，而且状态 {1, 2, 3, 4} 是非周期的。从而由推论 4.1 可知：
不妨记 p11 ≥ p12 ≥ · · · ≥ pn1 ≥ 0，若 p11 > p12 严格成立，从而有：
n
n
p11 = p1ipi1 < p11 p1i = p11
i=1
i=1
得到矛盾，从而有 p11 = p12。类似可证：对 ∀j ≤ n，p11 = p1j 均成立。从而类似可证：
对 ∀i, j ≤ n, p1j = pjj。
19.
解：结合概率转移矩阵画出有向图，可以得到： f1(1n) = a,
n=1 ， 从而状态{1}是
0, n > 1
如有疏漏，欢迎指正
4
《随机过程》第四章作业解答
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第四章 第五章 习题
4.4 设解析信号()Z t 为ˆ()()()Z t X t jX
t =+，证明{()()}0E Z t Z t τ-= 证明： （隐含条件：二阶平稳）由希尔伯特变换的性质有ˆ()()X X R R ττ=；
ˆˆˆˆˆˆ{()()}{[()()][()()]}()()[()()]
XX XX XX XX E Z t Z t E X t jX t X t jX t R R j R R τττττττ-=+-+-=-++
由希
ˆˆ()()XX XX R R ττ=；
ˆˆ()ˆ(){[()()]}[()]()()
()
ˆ[]()()ˆ()[()()][()]()()
()
ˆ[
]()XX XX
XX XX
X t R E X t X t E X t d X t X t R E d d R X t R E X t X t E X t d X t X t R E d d R τξττξπξ
τξξτξξτπξ
πξ
ξτττξπξ
ξτξτξξτπξ
πξ
+∞
-∞
+∞
+∞
-∞
-∞
+∞
-∞
+∞
+∞
-∞
-∞
-+=-=--+-=
-
=
-
=--=-=----=
=
=⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
⎰
即ˆˆ()()XX XX R R ττ=-
故{()()}0E Z t Z t τ-=
4.12 试证明均值为零、方差为1的窄带平稳高斯过程，其任意时刻包络平方的数学期望为2，方差为4。
证明：设该窄带平稳高斯过程为000()()cos[()]()cos ()cos c s Y t A t t t A t t A t t ωφωω=+=- ∴[()]0E Y t =
2[()]1E Y t =
而Y(t)包络的平方为222()()()c s A t A t A t =+
由00
00ˆ()()cos ()sin ˆ()()sin ()cos c s A t Y t t Y t t A t Y t t Y t t
ωωωω⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩易知A c (t)和A s (t)是在同一时刻相互独立的高斯过程
且[()][()]0c s E A t E A t == 22[()][()](0)1c s Y E A t E A t R ===
∴ 2
[()]2E A t =
242244224422[()][()][()][()()2()()]4
[()][()]2[()()]4332144
c s c s c s c s D A t E A t E A t E A t A t A t A t E A t E A t E A t A t =-=++-=++-=++-=
即证
5.1 有一个检波器后接一理想滤波器如图所示。
已知非线性器件部分的传输特性为y=bx 2，现设输入过程X(t)为一窄带高斯噪声，即0()()cos[()]X t A t t t ωϕ=+
，其概率密度函数为
2
2())2X X x p x σ=-，求理想低通滤波器的输出Z(t)的概率密度函数、均值和方
差。
解： 由0()()cos[()]X t A t t t ωϕ=+
和2
2())2X X x p x σ=-可得：
2
22()exp()()2A X X
a
a P a u a σσ=-
∵22
0()[1cos(22())]
()()2
bA t t t Y t bX t ωϕ++==
经过理想低通滤波器后2()
()2
bA t Z t =
∴221()exp()Z A X X
da z P z p dz b b σσ==- 222
()[()][][()]22
X bA t b E Z t E E A t b σ===
242422424
()8[()][][()]44
X X X b A t b D Z t E E Z t b b σσσ=-=-=。