高中-数学-人教A版-必修(第一册)-1.2 集合间的基本关系-2020-2021学年高一数学学案

1.2 集合间的基本关系
【学习目标】
【自主学习】
1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作(或)，读作“”(或“”)．2．如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且()，此时，集合A与集合B 中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作
3．如果A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的，记作(或)．
4．不含任何元素的集合叫做，记作.
5．是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
【小试牛刀】
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空集中只有元素0，而无其余元素．()
(2)任何一个集合都有子集．()
(3)若A＝B，则A⊆B.()
(4)空集是任何集合的真子集．()
2.集合{0,1}的子集有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是()
A．0⊆A
B．{0}∈A C．∅∈A D．{0}⊆A
4．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是()
【经典例题】
题型一集合间关系的判断
例1(1)下列各式中，正确的个数是()
①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．
A．1B．2C．3D．4
(2)指出下列各组集合之间的关系：
①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．
[跟踪训练] 1
(1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是()
A．M T B．M⊆T C．M＝T D．M ∈T
(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．
题型二子集、真子集的个数问题
例2(1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0<x<5}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为() A．1B．2C．3D．4
(2)已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2个的a的值为()
A．－2 B．4 C．0 D．以上答案都不是
[跟踪训练] 2
(1)已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝()
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)若集合A {1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．
题型三 根据集合的包含关系求参数
例3 已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围．
[跟踪训练] 3. 设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}． (1)若a ＝1
5，试判定集合A 与B 的关系；
(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值集合．
题型四 集合相等关系的应用
例4 已知集合A ＝{2，x ，y }，B ＝{2x,2，y 2}且A ＝B ，求x ，y 的值．
注意：集合相等则元素相同，但要注意集合中元素的互异性，防止错解．
[跟踪训练] 4. 含有三个实数的集合可表示为，也可表示为{a 2，a ＋b,0}，求a .，b .
【当堂达标】
1．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ．0,1或－1
2．已知集合M ＝{y |y ＝x 2－2x －1，x ∈R }，集合N ＝{x |－2≤x ≤4}，则集合M 与N 之间的关系是( ) A ．M >N B ．M N C ．N M D ．M ⊆N 3．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{3，x 2,2}，若A ＝B ，则x 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D ．0
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧1,,
a b a
4．已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为()
A．2 B．4 C．6 D．8
5．设A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，若A⊆B，则m的取值范围是()
A．m>3 B．m≥3 C．m<3 D．m≤3
6．已知集合A＝{x|x－3>0}，B＝{x|2x－5≥0}，则这两个集合的关系是________．
7．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B⊆A，则a的值为________．
8．已知A＝{x|－3<x<5}，B＝{x|x>a}，A⊆B，则实数a的取值范围是________．
9．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a,2，b2}，且M＝N，试求a与b的值．
10．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求由实数a的值组成的集合C.
【参考答案】
【自主学习】
1．任意一个，A⊆B，B⊇A，A含于B，B包含A
2．集合B是集合A的子集，B⊆A，A＝B.
3．真子集，A B(或B A)．
4．空集，∅.
5．空集，空集
【小试牛刀】
1．(1)×(2)√(3)√(4)×
2. D 【解析】集合{0,1}的子集为∅，{0}，{1}，{0,1}．
3. D 【解析】集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，D正确．
4 .B 【解析】N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N M.
【经典例题】
例1(1) B (2)见解析
【解析】(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.
(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.
③方法一两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.
方法二由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.
[跟踪训练] 1
(1)A 【解析】因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，又T＝{－1,0,1}，所以M T.
(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图
例2(1) B (2)C
【解析】(1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2,3}，{1,2,4}．
(2)由题意知，集合A 中只有1个元素，必有x 2＝a 只有一个解；若方程x 2＝a 只有一个解，必有a ＝0. [跟踪训练] 2 (1)B (2)5 【解析】(1)根据题意，集合M 有4个子集，则M 中有2个元素， 又由M ＝{x ∈Z |1≤x ≤m }，其元素为大于等于1而小于等于m 的全部整数，则m ＝2.
(2)若A 中含有一个奇数，则A 可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}；若A 中含有两个奇数，则A ＝{1,3}． 例3 解：(1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B . ①
(2)当a >0时，A ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
1a <x <2a
. 又∵B ＝{x |－1<x <1}，且A ⊆B ，∴⎩⎨⎧
1
a ≥－1，
2
a ≤1.
②
∴a ≥2.
(3) 当a <0时，A ＝⎩
⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
2a <x <1a
.③ ∵A ⊆B ，∴⎩⎨⎧
2
a ≥－1，
1
a ≤1.
∴a ≤－2.
综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0，或a ≥2，或a ≤－2}.
[跟踪训练] 3 解：(1)由x 2－8x ＋15＝0得x ＝3或x ＝5，故A ＝{3,5}，当a ＝1
5时，
由ax －1＝0得x ＝5.所以B ＝{5}，所以B
A .
(2)当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时a ＝0；当B ≠∅，a ≠0时，集合B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1a ，
由B ⊆A 得1a ＝3或1a ＝5，所以a ＝13或a ＝1
5.
综上所述，实数a 的取值集合为⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫0，13，15
例4 解 方法一 ∵A ＝B ∴集合A 与集合B 中的元素相同
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x y ＝y 2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝y 2y ＝2x ，解得x ，y 的值为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0
y ＝1
或⎩⎨⎧
x ＝14
y ＝12
验证得，当x ＝0，y ＝0时，
A ＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．
∴x ，y 的取值为⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0
y ＝1或⎩⎨⎧
x ＝1
4
y ＝1
2
方法二 ∵M ＝N ，∴M 、N 中元素分别对应相同．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2x ＋y 2，x ·y ＝2x ·y 2， 即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y (y －1)＝0， ①
xy (2y －1)＝0. ② ∵集合中元素互异， ∴x 、y 不能同时为0. ∴y ≠0.由②得x ＝0或y ＝12.
当x ＝0时，由①知y ＝1或y ＝0(舍去)； 当y ＝12时，由①得x ＝14
.
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝0，y ＝1，或⎩⎨⎧
x ＝1
4，
y ＝1
2
[跟踪训练] 4.由集合相等得：0∈，易知a ≠0，∴＝0，即b ＝0，∴a 2＝1且a .2≠a . ∴a .＝－1. 综上所述：a ＝－1，b ＝0. 【当堂达标】
1．D 【解析】由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，a ＝1或a ＝－1. 2．C 【解析】因为y ＝(x －1)2－2≥－2，所以M ＝{y |y ≥－2}，所以N M
3．C 【解析】由A ＝B 得x 2＝1，所以x ＝±1，故选C.
4．B 【解析】根据题意，含有元素0的A 的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．
5．B 【解析】因为A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |x <m }，A ⊆B ，将集合A ，B 表示在数轴上，如图所示，所以m ≥3.
6．A B 【解析】A ＝{x |x －3>0}＝{x |x >3}，B ＝{x |2x －5≥0}＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪
x ≥52. 结合数轴知A B . 7．－1或2
【解析】∵A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ， ∴a 2－a ＋1∈A ，∴a 2－a ＋1＝3或a 2－a ＋1＝a . 由a 2－a ＋1＝3，得a ＝2或a ＝－1；
由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1. 经检验，a ＝1时集合A ，B 不满足集合中元素的互异性，舍去． 故a ＝－1或a ＝2.
⎭⎬⎫⎩⎨⎧
1,,a b a a
b
8．{a |a ≤－3} 【解析】在数轴上画出集合A .
又因为A ⊆B ，所以a <－3，当a ＝－3时也满足题意，所以a ≤－3.
9．解：方法一 根据集合中元素的互异性，
有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2a ，b ＝b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝0，
b ＝0，
或⎩⎨⎧
a ＝14
，b ＝12.
再根据集合中元素的互异性，得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a ＝0，
b ＝1，或
⎩⎨⎧
a ＝14
，b ＝12.
方法二 ∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2a ＋b 2，a ·b ＝2a ·b 2， 即⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋
b b －1＝0， ①
ab 2b －1＝0. ② ∵集合中的元素互异， ∴a ，b 不能同时为零． 当b ≠0时，由②得a ＝0或b ＝1
2.
当a ＝0时，由①得b ＝1或b ＝0(舍去)． 当b ＝12时，由①得a ＝14.
当b ＝0时，a ＝0(舍去)．
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＝0，
b ＝1，或⎩⎨⎧
a ＝14
，b ＝12.
10．解：由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2. 所以A ＝{1,2}．
因为B ⊆A ，所以对B 分类讨论如下：①若B ＝∅，即方程ax －2＝0无解，此时a ＝0； ②若B ≠∅，则B ＝{1}或B ＝{2}． 当B ＝{1}时，有a －2＝0，即a ＝2； 当B ＝{2}时，有2a －2＝0，即a ＝1.
综上可知，符合题意的实数a 所组成的集合C ＝{0,1,2}． 、。