人教版2022-2023新高一初升高数学《分解因式》专题知识衔接预习过关讲义

2022-2023新高一初高中数学知识衔接辅导课程
衔接教材05 分解因式
知识点讲解
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.
经典例题解析
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x 2－3x ＋2；（2）x 2＋4x －12；
（3）22()x a b xy aby -++；（4）1xy x y -+-．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．
说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．
（3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）． 2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
（1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．
解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或 32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++
＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++．
（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或
222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---
－1 －2 1 1 图1．2－2 －1 －2 x x 图1．2－1 －2 6 1 1 图1．2－3 －ay －by x x 图1．2－4 －1 1 x
y 图1．2－5
=(22)(3)x y x y -++-．
3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．
若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --.
例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：
（1）221x x +-；（2）2244x xy y +-．
解：（1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =-，
∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦=(11x x +++．
（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，
∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y +-+．
实时训练
一、单选题
1．因式分解22a a b b --+=（ ）
A ．()()1a b a b -+-
B ．()()1a b a b -++
C ．()()1a b a b ++-
D ．()()1a b a b +-- 【答案】A
【分析】
利用平方差公式以及提公因式法化简可得结果.
【详解】()
()()()()()()22221a a b b a b a b a b a b a b a b a b --+=---=-+--=-+-. 故选：A.
【点睛】本题考查多项式的因式分解，考查平方差公式以及提公因式法的应用，考查计算能力，属于基础题.
2．若多项式224x kx +-可以因式分解为()()38x x -+，则实数k 的值为（ ）
A ．5
B ．5-
C ．11
D ．11-
【答案】A
【分析】将()()38x x -+展开，由此求得实数k 的值.
【详解】
由题意得()()222438524x kx x x x x +-=-+=+-，
.故选:A.
【点睛】本小题主要考查多项式乘法的展开运算，属于基础题.
3．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便，原理是：如对于多项式44x y -，因式分解的结果是22()()()x y x y x y -++，若取9x =，9y =时，则各个因式的值是：0x y -=，18x y +=，22162x y +=，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式32x xy -，取20x
，10y =时，用上述方法产生的密码不可能是 ( )
A ．201010
B ．203010
C ．301020
D ．201030
【答案】A
【详解】
由于32()()x xy x x y x y -=+-，所以取20x =，10y =，则30,10x y x y +=-=，所以用上述方法产生的密码可以是203010， 301020， 201030，应选答案A ．
4．阅读材料：
对于多项式222x ax a ++可以直接用公式法分解为()2x a +的形式.但对于多项式2223x ax a +-就不能直接用公式法了，我们可以根据多项式的特点，在2223x ax a +-中先加上一项2a ，再减去2a 这项，使整个式子的值不变.
解题过程如下：
2223x ax a +- 222223x ax a a a =+-+-（第一步）
222223x ax a a a =++--（第二步）
()()22
2x a a =+-（第三步） ()()3x a x a =+-（第四步）
根据上述材料，回答问题.
上述因式分解的过程，从第二步到第三步，其中用到的因式分解方法是（ ）
A ．提公因式法
B ．平方差公式法
C ．完全平方公式法
D ．十字相乘法
【分析】根据第二步到第三步，前面三项合成完全平方公式，后面两项为指数运算，由此确定正确选项.
【详解】由题知从第二步到第三步用到的因式分解方法是完全平方公式法.
故选C.
【点睛】本小题主要考查因式分解方法的识别，属于基础题.
二、填空题
5．因式分解()()2
222728x x x x +-+-=________ 【答案】()()()2
142x x x ++-
【分析】
将22x x +看做一个整体，利用十字相乘法化为乘积的形式；再次利用十字相乘法可得到结果.
【详解】 ()()()()()()()22
222227282128142x x x x x x x x x x x +-+-=+++-=++- 本题正确结果：()()()2142x x x ++-
【点睛】
本题考查利用十字相乘法进行因式分解的问题，属于基础题.
6．阅读理解：
（1）特例运算：①()()12x x ++=_______.②()()31x x +-=_______；
（2）归纳结论：()()2x a x b x ++=+（____________）x +_______；
（3）尝试运用：直接写出计算结果()()99100m m +-=_______；
（4）解决问题：根据你的理解把下列多项式因式分解.
①256x x -+=_______，
②2310x x --=_______；
（5）拓展延伸：若28x px +-可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值是_______.
【答案】232x x ++223x x +-+a b ab 29900m m --()()23x x --()()52x x -+7-，2-，2，7
（1）各式利用多项式乘以多项式法则计算即可得到结果;
（2）归纳总结得到一般性规律,写出即可;
（3）利用得出的规律计算即可出值;
（4）利用十字相乘法分解即可;
（5）根据十字相乘法求出的所有可能值即可
【详解】解:（1）特例运算:①()()21232x x x x ++=++,
②()()23123x x x x +-=+-.
（2）归纳结论:()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.
（3）尝试运用:直接写出计算结果()()2991009900m m m m +-=--.
解决问题:根据你的理解,把下列多项式因式分解:
①()()25623x x x x -+=--,
②()()231052x x x x --=-+.
（4）拓展延伸:若28x px +-可分解为两个一次因式的积,则整数p 的所有可能值是7-,2-,2,7.
【点睛】考查了因式分解-十字相乘法,熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键.
三、解答题
7．（1）因式分解：268x x ++；
（2）求方程2340x x --=的解集.
【答案】（1）()()24x x ++；（2）{}1,4-
【分析】
（1）利用十字相乘法进行因式分解.
（2）利用十字相乘法进行因式分解，求得方程的解集.
【详解】
（1）()()()2268242424x x x x x x ++=+++⨯=++
（2）()()223441410x x x x --=+-++-⨯=，∴()()410x x -+=，
∴10x +=或40x -=，解得1x =-或4x =.
∴方程2340x x --=的解集为{}1,4-.
【点睛】本小题主要考查十字相乘法因式分解，考查一元二次方程的解集的求法，属于基础题.
8．（1）因式分解：22568x xy y +-
（2）解不等式：2280x x --<
【答案】（1）(2)(54)x y x y +-；（2）{24}x x -<<∣.
【分析】
（1）根据十字相乘法，即可得答案；
（2）因式分解再解不等式，即可得答案；
【详解】
（1）原式(2)(54)x y x y =+-；
(2)原不等式可化为(2)(4)0x x +-<,24x ∴-<<
∴原不等式的解集为{24}x x -<<∣.
【点睛】本题考查因式分解和一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
9．将下列各式进行因式分解.
（1）23108x x -+；
（2）()2222214x y x y +-；
（3）22x y xy xz yz -+-.
【答案】（1）()()342x x --；（2）()()2211xy xy -+；（3）()()x y xy z -+.
【分析】
（1）应用十字相乘法；（2）应用平方差公式；（3）应用分组分解法。

【详解】
（1）23108x x -+
()()342x x =--
（2）()2222214x y x y +-
()()22221212x y xy x y xy =+-++
()()22
11xy xy =-+ （3）22x y xy xz yz -+-
()()xy x y z x y =-+-
()()x y xy z =-+
【点睛】本题考查多项式的因式分解。

10．已知“任意t 和s ，都有()
3322()t s t s t ts s +=+-+”是真命题，借助这个结论将33t m -进行因式分解.
【答案】()
3322()t m t m t tm m -=-++ 【分析】
()3
3m m -=-，再运用公式即可得出结论． 【详解】
解：因为对任意t 和s ，都有()3322()t s t s t ts s +=+-+.
用m -代替上式中的s ，得3322()()()()t m t m t t m m ⎡⎤+-=--⨯-+-⎣⎦.
即()3322()t m t m t tm m -=-++.
【点睛】本题主要考查立方和公式与立方差公式得推导，属于基础题．
11．用因式分解法求下列方程的解集：
（1）23250x x +-=；
（2）2(3)2(3)0x x x -+-=；
（3）4(21)12x x x -=-．
【答案】（1）5,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；（2）{1,3}；（3）11,24⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
【分析】
（1）对方程进行因式分解，即可求得方程的解集；
（2）提公因式，整理化简即可求得方程的解集；
（3）移项后提公因式即可求得方程的解集.
【详解】
（1）因式分解，得(35)(1)0x x +-=，
∴350x +=或10x -=， 解得125,13
x x =-=， ∴方程的解集为5,13⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
． （2）提取公因式，得(3)(32)0x x x --+=，
即(3)(33)0x x --=，
∴30x -=或330x -=，
解得123,1x x ==，
∴方程的解集为{1,3}．
（3）移项，得4(21)(21)0x x x -+-=，
提取公因式，得(21)(41)0x x -+=，
∴210x -=或410x +=， ∴1211,24
x x ==-， ∴方程的解集为11,24⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
． 【点睛】本题考查利用因式分解求解一元二次方程的根，属基础题.
12．(1)分解因式：2228x xy y --．
(2)多项式26x kx +-因式分解后有一个因式为2x -，求k 的值.
【答案】（1）（x -4y ）（x +2y ）．（2）1.
【分析】
（1）利用十字相乘法分解因式即可得出;
（2）多项式2 6x kx +-有一个因式是
2x -（），则另一个因式一定也是一个一次项系数是1的一次式，设另一个式子是x a +（）
，根据多项式乘法展开后再利用对应项的系数相等即可求解．
【详解】
（1）()()222842x xy y x y x y --=-+．
（2）设226(2)()(2)2x kx x x a x a x a -+=-+=+-+
可得2,26k a a =--=- ,
解得:3,1a k ==
【点睛】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算，并且考查了代数式相等条件：对应项的系数相同．
13．按指定的方法解方程
()21(9)250x +-=(直接开平方法)
()226160x x --=(配方法)
()()()33121x x x -=-(因式分解法)
()242720x x -+=(公式法)
【答案】(1)1x 4=-，2x 14=-；(2)1x 8=，2x 2=-；(3)12x 3=
，2x 1=；(4)x =． 【分析】
（1）方程变形后，开方即可求出解；
（2）方程变形后，两边加上9变形后，开方即可求出解；
（3）方程变形后，分解因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（4）找出,,a b c 值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
【详解】 ()1方程变形得：2(x 9)25+=，
开方得：x 95+=或x 95+=-，
解得：1x 4=-，2x 14=-；
()2方程变形得：2x 6x 16-=，
配方得：2x 6x 925-+=，即2(x 3)25-=，
开方得：x 35-=或x 35-=-，
解得：1x 8=，2x 2=-；
()3方程变形得：()()3x x 12x 10---=，
分解因式得：()()3x 2x 10--=， 解得：12x 3
=，2x 1=； ()4这里a 2=，b 7=-，c 2=，
∵491633=-=，
∴x =． 【点睛】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，配方法，直接开平方法，以及公式法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．
14．阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x 2+（m +n ）x +mn 的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x 2+（m +n ）x +mn ＝（x +m ）（x +n ）．例如：x 2+5x +6＝x 2+（2+3）x +2×3＝（x +2）（x +3）．运用上述方法分解因式：
（1）x 2+6x +8；
（2）x 2﹣x ﹣6；
（3）x 2﹣5xy +6y 2；
（4）请你结合上述的方法，对多项式x 3﹣2x 2﹣3x 进行分解因式．
【答案】（1）(2)(4)x x ++（2）(2)(3)x x +-；（3）(2)(3)x y x y --（4）(3)(1)x x x -+.
【分析】
根据题意观察常数项和一次项系数的关系，看是否满足题设条件，然后分别求解即可.
【详解】
2(1)68(2)(4)x x x x ++=++；
2 (2) 6(2)(3)x x x x --=+-；
22 (3) 56(2)(3)x xy y x y x y -+=--；
32 (4) 23(3)(1)x x x x x x --=-+．
【点睛】本题考查了学生的阅读理解能力及知识的迁移能力,其实质考查了运用十字相乘法分解因式.对于形如2()x m n x mn +++的多项式,进行因式分解时,关键是要找到两个数,使这两个数的乘积等于常数项,同时这两个数的和恰好等于它的一次项系数.分解时要注意观察、尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程.
15．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m 的大正方形，两块是边长都为n 的小正方形，五块是长为m ，宽为n 的全等小长方形，且m n >.（以上长度单位：cm ）
（1）用含m 、n 的代数式表示图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和；
（2）观察图形，可以发现代数式22252m mn n ++可以因式分解为________；
（3）若每块小长方形的面积为210cm ，四个正方形的面积和为258cm ，试求()2
m n +的值.
【答案】（1）()6m n cm +；（2）()()22m n m n ++；（3）49
【分析】
（1）结合图像，求得所有裁剪线（虚线部分）的长度之和；
（2）根据最大长方形的面积可知，代数式可因式分解为()()22m n m n ++.
（3）根据每块小长方形的面积和四个正方形的面积和列式，然后求得()2m n +的值.
【详解】
（1）题图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为()()()2222666m n m n m n m n cm +++=+=+.
（2）22252m mn n ++可以因式分解为()()22m n m n ++，
故答案为()()22m n m n ++.
（3）依题意得：222258m n +=，10mn =，∴2229m n +=.
()2222m n m mn n +=++，∴()2
292049m n +=+=.
【点睛】本小题主要考查利用面积法进行因式分解，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.。