二次函数复习课件

重难专攻1:二次函数的图像与性质:
题3:(2005重庆)抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标是( B )
A.(-2,3); B.(2,3); C.(-2,-3); D.(2,-3)
题4:(2005西安)抛物线y=3x2-1的( B )
A.开口向上,且有最高点; B.开口向上,且有最低点;
C.开口向下,且有最高点; D.开口向下,且有最低点.
0 a b c 0 9a 3b c 1 4a 2b c
解这个方程组得
a 1 b 4 c 3
∴这个函数的解析式是：y=x2-4x+3
y （2）
y
x2 4x 3 解这个方程组得： x 1
x1 y1
1 0
∴函数与直线的交点坐标是：（1，0） （2，-1）
xy22
2 1
结束寄语
⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ）
y
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
-1 o 1 x
想一想:
函数y ax2 bx c(其中a,b,c是常数)，当a,b,c满足什么条件时 （1）它是二次函数？ （2）它是一次函数？ （3）它是正比例函数？
解：（1）a 0
(2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0,c 0
(1)求这个二次函数的解析式； (2)该男同学把铅球推出去多远？(精确到0.01米 ) .
y
6
B(6,5)
4
2 A(0,2)
o 2 4 6 8 10 12
x
y
6
B(6,5)
4 C
2 A(0,2)
o 2 4 6 8 10 12
x
解:(1)设函数解析式为:y=a(x-6)2 5
又由A(0, 2),得a 1 , 12
解：设利润为y元，售价为x元，则每天可销售100-10(x-10)件，依题意得：
化简得 配方得
y=(x-8)([100-10(x-10)] y= -10x2-280x -1600 y= -10(x-14)2 + 360
∴当 (x-14)2 =0时，即x=14时，y 有最大值是360
答：当定价为14元时，所获利润最大，最大利润是360元。
｛a b c 10 abc 4 4a 2b c 7
待定系数法
解得，a 2,b 3, c 5
所求的二次函数是 y 2x2 3x 5
小结 拓展
驶向胜利的 彼岸
你认为今天这节课最需要 掌握的是 ________________ 。
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（5）a+b+c的符号： 由x=1时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方
a+b+c>0
点在x轴下方
a+b+c<0
点在x轴上
a+b+c=0
（6）a-b+c的符号：
由x=-1时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方
a-b+c>0
点在x轴下方 点在x轴上
a-b+c<0 a-b+c=0
练一练：
1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象 如图所示，下列结论中：①abc＞0； ②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0;
二次函数的概念
题1:(2004武汉)下列函数中,二次函数是( A )
(A).y 8x2 1;(B).y 8x 1;(C).y 8 ;(D).y 8 1
x
x2
题2:(2004浙江)已知二次函数y=x2+2x+c的图象
经过点(0,1),则c=___1____
要点:一般地,形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,且a≠0) 的函数,叫做x的二次函数.
知识运用
当m取何值时，函数是y= (m+2)xm2-2
分别 是一次函数？ 反比例函数？ 二次函数？
驶向胜 利的彼
岸
二次函数表达式
一般式 y ax2 bx c
顶点式 y a x h2 k
交点式 y a x x1 x x2
回味知识点：
1、抛物线y=ax2+bx+c的开口方向与
练一练：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y
o
x
练一练：
抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y
o
x
练一练：
已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图
所示，则点M（ b ，a）在（ D ）
c
A、第一象限
y
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
解：(1) y x(20 2x)
2x2 20x (o<x<10)
（２）当x=3时
y 2 32 20 3 42m2
例２:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函
数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函
数值为7,求这个二次函数的解析试.
解：设所求的二次函数 为y ax2 bx c,由题意得：
O
x
A
x
O
x
O
O
x
B
C
D
答案: B
试一试：
2、已知二次函数y=2x2+8mx+2m+3, 如果它的图像的顶点在x轴上,求m的 值和顶点坐标.
3、已知抛物线y=0.25x2,把它的顶点 移到x轴上的点A, 所得的抛物线与y 轴交于点B,且线段OA,OB满足关系 OA-1 =OB,试说明平移方法.
已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分， 如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标(0，2)， 铅球路线的最高处B点的坐标为(6，5)
-5
A
2、已知函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，则函数y=ax+b -2
的图象只可能是（ B ）
-4
B
5
典型例题
例3.二次函数的图象经过A(1,0) B(3,0) C(2,-1)三点,
(1)求这个函数的解析式. (2)求函数与直线 y=2x+1 的交点坐标 .
解：（1）设这个函数的解析式为 y=ax2+bx+c, 依题意得:
答案:(1)y=-x2-2x (2)对称轴:x=-1 顶点坐标(-1,1)
例2:已知抛物线y=x2-2x-8， （1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且 它的顶点为P，求△ABP的面积。
(1)证明:∵△=22-4*(-8)=36>0 ∴该抛物线与x轴一定有两个交点
y
(2)解:∵抛物线与x轴相交时
x2-2x-8=0
A
Bx
P
解方程得:x1=4, x2=-2 ∴AB=4-(-2)=6 而P点坐标是(1,-9)
∴S△ABC=27
(二)根据函数性质判定函数图象 之间的位置关系
例3:在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为
y
y
y
y
下课了!
•生活是数学的源泉.
•探索是数学的生命线.
二次函数的概念
知识拓展：
温馨提示：同桌交对， 互相帮助！
心理学家研究发现：一般情
t 2 24t 100 0 t 10
况下，学生的注意力随着教师讲 课时间的变化而变化，讲课开始 时，学生的注意力y随时间t的变
• 二次函数的特殊形式：
• 当b＝0时， y＝ax2＋c • 当c＝0时， y＝ax2＋bx • 当b＝0，c＝0时， y＝ax2
知识运用
下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x-1
(2)y=3x2
(3)y=3x3+2x2
(4)y=2x2-2x+1
(5)y=x -2 +x
(6)y=x2-x(1+x)
复习二次函数
复习引入
二次函数的定义：
形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数， a≠0) 的函数叫做二次函数
想一想:函数的自变量x是否可以取任何值 呢?
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必
须根据题意确定自变量的取值范围.
二次函数的一般形式
• 函数y＝ax2＋bx＋c
• 其中a、b、c是常数 • 切记：a≠0 • 右边一个x的二次多项式（不能是分式或根式）
的坐标.
试一试：
1、如图直线l经过点A(4,0)和B(0,4)
两点,它与二次函数y=ax2的图像在第 一象限内相交于P点,若△AOP的面积 为4.5,求二次函数的解析式.
y B
P
OAx
(三)由函数图象上的点的坐 标求函数解析式
例4:已知一个二次函数的图象经过点（0， 0），（1，﹣3），（2，﹣8）。 （1）求这个二次函数的解析式； （2）写出它的对称轴和顶点坐标。
什么有关？ a
2、抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点
是 (0,Cห้องสมุดไป่ตู้ .
3、抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是
直线x=- b
2a
归纳知识点：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在x轴上方
y 1 (x 6)2 5; y 1 x2 x 2
12
12
(2)当 1 x2 x 2 0时, 12
x 6 2 15.(负值舍去).
x 6 2 15 13.75
3、 已知二次函数y=3x2-6x+5，若 它的顶点不动，把开口反向再沿对称
轴平移，得到一条新抛物线，它恰好 与y=mx-2交于点（2，-4），则新 抛物线的解析式是什么？
则有（ ）
(Ａ) a＜0,b＜0,c＞0 (Ｂ) a＜0,b＜0,c＜0
(C) a＜0,b＞0,c＞0
(D) a＞0,b＜0,c＞0
试一试:
要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一 个矩形的花圃，设连墙的一边为x,矩形的面 积为y,求：(1)写出y关于x的函数关系式.
(2)当x=3时,矩形的面积为多少?
o
x
练一练：
已知：一次函数y=ax+c与二次函数
y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大
致图象是图中的（
y
C
）
y
o
x
y （A）
o
x
（B） y
o
x
（C）
o
x
（D）
练习题:
1.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3）， 且图象过点（－3，－2）。 （1）求此二次函数的解析式； （2）设此二次函数的图象与x轴交于A，B两点，O为 坐标原点，求线段OA，OB的长度之和。
2.已知抛物线与x轴交于B，A两点，其中B在x轴的负半轴上， 点A在x轴的正半轴上，该抛物线与y轴交于点C. （1）写出抛物线的开口方向与点C的坐标（用含m的式子表
示）；
（2）若tg∠CBA=3，试求抛物线的解析式； （3）设点P（x，y）（其中0＜x＜3＝是（2）中抛物线上 的一个动点，试求四边形AOCP的面积的最大值及此时点P
独立 作业
知识的升华
整合集训相应练习
祝你成功！
典型例题
例1、某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可 销售100件，现在他采用提高出售价格，减少进货量的办法增加利润， 已知这种商品每涨价一元，其销售量将减少10件，问他将出售价定为多 少元时，才能使每天所获利润最大？并且求出最大利润是多少？
10
再提高:
8
1.如图，二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B 两点，交y轴 6
于点C。则函数的对称轴方程是： x=2 ；顶点坐是 (2,-1)；
4
与x轴的交点坐标是 (1,0)，(3,0) ；与y轴的交点坐标是(0,3) ;函
数的最小值是： -1 ；△ABC的面积是 3 ；
C
2O
- 10
典型例题
例2:等腰三角形以2米/秒的速度沿直线向正方形移动，直到AB与 CD重合。设x秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为y平方米.
(1)写出y与x的函数关系式及自变量的取值范围
(2)当重叠部分的面积是正方形的面积的一半时,三角形移动了多长时 间?
C A
AC
B
D
l
BD E
l
思考:如果继续向前移动,则重叠部分面积又会如何变化?
练一练:
1.抛物线 y 2x 1x 3 的顶点坐标是( ).
(A)(-1,-3) (B)(1,3) (C)(-1,8) (D)(1,-8)
2.在同一直角坐标系中，抛物线 y x2 4x 5 与坐标轴的交 点个数是( ) (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
3.已知二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ的图象如图所示，
c>0
交点在x轴下方
c<0
经过坐标原点
c=0
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
a、b异号 b=0
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点
与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0
b2-4ac<0
题5:(2004浙江)关于二次函数y=(x+2)2-3的最大(小) 值,叙述正确的是( D )
A.当x=2是,有最大值-3; B.当x=-2时,有最大值-3;
C.当x=2是,有最小值-3; D.当x=-2时,有最小值-3. 要点:二次函数y=a(x-h)2+k,当a>0时,开口向上,图象 有最低点,函数有最小值.当x=h时,函数有最小值k;当 a<0时,开口向下,图象有最高点,函数有最大值.当x=h 时,函数有最大值k.