双曲线的简单几何性质
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实轴 B1B2 虚轴 A1A2
A1
O B1 F1
A2 X
c e= a
渐近线
y=±
a x b
上述两种双曲线性质对比
标准方程
范 围 对称性 顶点 焦点 对称轴 离心率
x2 y2 1 a 2 b2 x≥a 或x≤-a y2 x2 1 2 2 a b y≥a 或y≤-a
关于x轴，y轴，原点对称。 关于x轴，y轴，原点对称。
过 （3 3 ； 点 ，） 2
练习：
3 已知双曲线的两条渐进线方程是 y 2 x ,
0 6(, 6 ) ) 焦点坐标是 (, 2 ,0 2
求此双曲线的方程
Y
MN = Y- y
b = a (xb a
B2
Q
. .M .
N
√x –2 a
2
2
)
2
F1 A1
0 B1
A2 F 2 X
=
=
.
(xab
√x – a
2
) ( x + √x –2 a
2
2
)
( x + √x –2 a >0
)
x +√x –2 a
且当 x x +√x –2 a 时，
ab
2
0
b a =
双 曲 线 的 对 称 性:
双曲线关于每个坐标轴 和原点都是对称的.坐标轴 是双曲线的对称轴,原点是 双曲线的对称中心.双曲线 的对称中心叫做双曲线的 中心.
双 曲 线 的 离 心 率:
双曲线的焦距与实轴长的比
叫做双曲线的离心率.
因为c>a>0,所以
2 2
c e , a
c 1 2 a
动画
2
e>1.
x y 双曲线 2 2 1的渐近线方程是 a b Y ±bx y= N a Q .. B 第一象限的曲线方程 c ： .M
2
2
2
- a 2 ( x＞ a) b 直线方程： y= a x
2
b √x C: y= a
F1 A1
0 B1
A2 F 2 X
设M（x,y) 是c上一点,
b N (x,Y)是直线 y= a x 上一点。
2
b 由c a b 可得 a b 2 e 1 a
双曲线的渐近线
想一想：怎样较为准确的画出 2 2
x y 1 的图象 ？ 16 9 Y
3 x y= 34
2
3 16 因为y x 16 x 1 2 4 4 x
3
3 x y= 4
4 -4 16 0 3 X 3 y x 1 2 x 4 x 4 -3 讨论第一象限，其他按对称性处理。
对称性 顶点
焦点 对称轴 离心率 渐近线
A2
X
双曲线图像与性质(2)
标准方程
范 围 对称性 顶点 焦点 对称轴 离心率
y2 x2 1 2 2 a b y≥a 或y≤-a
关于x轴，y轴，原点对称。
Y F2 B2
y2 x2 1 a 2 b2
B1（0, -a ),B2（0，a）
F1 (0 , -c ), F2 ( 0 , c )
√ e-1
2
Y B2
e越小（接近1）
b a 越接近0 F1 A1
0
B1
A2 F 2 X
双曲线开口越小
b e越大 a 越大
双曲线开口越大
双曲线图像与性质(1)
标准方程
范 围 对称性 顶点 焦点 对称轴 离心率
x2 y2 1 a 2 b2 x≥a 或x≤-a
关于x轴，y轴，原点对称。
渐近线
例题讲解
例题1 :求双曲线 9y
2
16 x2 144的实半轴长,虚半轴长,
y 4
2
焦点坐标,离心率.渐近线方程。 解：把方程化为标准方程
2
x 3
2
1
2
可得:实半轴长a=4 虚半轴长b=3 半焦距c=
2 2 4 3 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
5 4
离心率: e
c a
Y B2
A1（-a，0),A2（a，0）
F1 A1
0 B1
A2 F 2 X
F1 (-c , 0 ), F2 ( c , 0 ) 实轴 A1A2 虚轴 B1B2
c e= a
渐近线
y=±
b x a
双曲线图像(2)
Y
标准方程 范 围
F2 B2 A1 O B1 F1
y2 x2 2 1 2 a b
A1（-a，0),A2（a，0）
B1（0, -a ),B2（0，a）
F1 (-c , 0 ), F2 ( c , 0 ) 实轴 A1A2 虚轴 B1B2 b x y=± a
c e= a
F1 (0 , -c ), F2 ( 0 , c ) 实轴 B1B2 虚轴 A1A2 a x y=± b
c e= a
双 曲 线 的 范 围
2 2 x y 1 0 >) a 根据双曲线的标准方程 2- 2 = ( > ,b 0 a b x 2 1 x2 a2 可得： a 2 即 ，所以x≥a或 x≤-
a
这说明双曲线在不等式 x≥a或 x≤-a所表示的区 域内,即在直线x=-a,x=a两侧. 当x的绝对值无限增大时， y的绝对值也无限增大,所以 曲线是无限伸展的,不像椭圆那样是封闭曲线.
范 围 对称性 顶点 焦点 对称轴
x y 2 1 2 a b
2
2
离心率
渐近线
双 曲 线 的 顶 点: 在双曲线的标准方程中，令y=0得 x=±a,因此把A1（-a，0）, A2（a， 0）叫做双曲线的顶点.
如图:线段A1A2叫做双曲线的 实轴,它的长等于2a, a叫做双 曲线的实半轴长. 线段B1B2叫做双曲线的虚轴 ,它的长等于2b, b叫做双曲 线的虚半轴长.
解：由2a=8, e=5Βιβλιοθήκη 4可得a=4 b=3 c=5
因为双曲线的顶点在x轴上，所以它的焦点也在x轴 上，所以它的标准方程为：
顶点焦点共直线
x y = 1 16 9
2
2
3 据列件分求双线标方： . 根下条，别出曲的准程
2 2 x y （ 与 曲 有 同 进 ， 1 双线 ） 1 共渐线且 9 1 6
4 渐近线方程:y x 3
课堂练习
1.求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长, 焦点坐标,顶点坐标,离心率,渐近线的方程.
(1) (2)
x 4 2 y 16
2
y =1 5 2 x =1 9
2
方 程 图 象
实半轴长 虚半轴 长 焦点坐标
x2 y2 = 1 4 5
y2 x2 = 1 16 9
2
5 F , )F, ) (3 , 23 - 0 (0 1
A , )A, ) (2 , 22 - 0 (0 1
e = 3 2
4
3
F- ) 2 , 5 ( , 0 0 F 1 , 5 (- )
顶点坐 标
离心率
渐近线方程
A, 4 20) ( 0 , , A 1 -) (4
e = 5 4
5 y x 2
4 y x 3
2. 求顶点在x轴上,两顶点间的距离为8, 离心率e=5/4的双曲线的标准方程.
双曲线的简单几何性质
复习回顾：
双曲线的定义
点p到两定点 F1 F2的距离之差 的绝对值为常数 （小于F1 F2的距离） 点p 的轨迹
Y
p
F1 0 F2 X
椭圆的几何性质我们讨论了 哪些方面：
方程、图形、顶点(特殊点)、 范围、对称性、离心率e、准线
双曲线的简单几何性质
双曲线图像(1)
标准方程
A1
O B1 F1
A2 X
c e= a
渐近线
y=±
a x b
上述两种双曲线性质对比
标准方程
范 围 对称性 顶点 焦点 对称轴 离心率
x2 y2 1 a 2 b2 x≥a 或x≤-a y2 x2 1 2 2 a b y≥a 或y≤-a
关于x轴，y轴，原点对称。 关于x轴，y轴，原点对称。
过 （3 3 ； 点 ，） 2
练习：
3 已知双曲线的两条渐进线方程是 y 2 x ,
0 6(, 6 ) ) 焦点坐标是 (, 2 ,0 2
求此双曲线的方程
Y
MN = Y- y
b = a (xb a
B2
Q
. .M .
N
√x –2 a
2
2
)
2
F1 A1
0 B1
A2 F 2 X
=
=
.
(xab
√x – a
2
) ( x + √x –2 a
2
2
)
( x + √x –2 a >0
)
x +√x –2 a
且当 x x +√x –2 a 时，
ab
2
0
b a =
双 曲 线 的 对 称 性:
双曲线关于每个坐标轴 和原点都是对称的.坐标轴 是双曲线的对称轴,原点是 双曲线的对称中心.双曲线 的对称中心叫做双曲线的 中心.
双 曲 线 的 离 心 率:
双曲线的焦距与实轴长的比
叫做双曲线的离心率.
因为c>a>0,所以
2 2
c e , a
c 1 2 a
动画
2
e>1.
x y 双曲线 2 2 1的渐近线方程是 a b Y ±bx y= N a Q .. B 第一象限的曲线方程 c ： .M
2
2
2
- a 2 ( x＞ a) b 直线方程： y= a x
2
b √x C: y= a
F1 A1
0 B1
A2 F 2 X
设M（x,y) 是c上一点,
b N (x,Y)是直线 y= a x 上一点。
2
b 由c a b 可得 a b 2 e 1 a
双曲线的渐近线
想一想：怎样较为准确的画出 2 2
x y 1 的图象 ？ 16 9 Y
3 x y= 34
2
3 16 因为y x 16 x 1 2 4 4 x
3
3 x y= 4
4 -4 16 0 3 X 3 y x 1 2 x 4 x 4 -3 讨论第一象限，其他按对称性处理。
对称性 顶点
焦点 对称轴 离心率 渐近线
A2
X
双曲线图像与性质(2)
标准方程
范 围 对称性 顶点 焦点 对称轴 离心率
y2 x2 1 2 2 a b y≥a 或y≤-a
关于x轴，y轴，原点对称。
Y F2 B2
y2 x2 1 a 2 b2
B1（0, -a ),B2（0，a）
F1 (0 , -c ), F2 ( 0 , c )
√ e-1
2
Y B2
e越小（接近1）
b a 越接近0 F1 A1
0
B1
A2 F 2 X
双曲线开口越小
b e越大 a 越大
双曲线开口越大
双曲线图像与性质(1)
标准方程
范 围 对称性 顶点 焦点 对称轴 离心率
x2 y2 1 a 2 b2 x≥a 或x≤-a
关于x轴，y轴，原点对称。
渐近线
例题讲解
例题1 :求双曲线 9y
2
16 x2 144的实半轴长,虚半轴长,
y 4
2
焦点坐标,离心率.渐近线方程。 解：把方程化为标准方程
2
x 3
2
1
2
可得:实半轴长a=4 虚半轴长b=3 半焦距c=
2 2 4 3 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5)
5 4
离心率: e
c a
Y B2
A1（-a，0),A2（a，0）
F1 A1
0 B1
A2 F 2 X
F1 (-c , 0 ), F2 ( c , 0 ) 实轴 A1A2 虚轴 B1B2
c e= a
渐近线
y=±
b x a
双曲线图像(2)
Y
标准方程 范 围
F2 B2 A1 O B1 F1
y2 x2 2 1 2 a b
A1（-a，0),A2（a，0）
B1（0, -a ),B2（0，a）
F1 (-c , 0 ), F2 ( c , 0 ) 实轴 A1A2 虚轴 B1B2 b x y=± a
c e= a
F1 (0 , -c ), F2 ( 0 , c ) 实轴 B1B2 虚轴 A1A2 a x y=± b
c e= a
双 曲 线 的 范 围
2 2 x y 1 0 >) a 根据双曲线的标准方程 2- 2 = ( > ,b 0 a b x 2 1 x2 a2 可得： a 2 即 ，所以x≥a或 x≤-
a
这说明双曲线在不等式 x≥a或 x≤-a所表示的区 域内,即在直线x=-a,x=a两侧. 当x的绝对值无限增大时， y的绝对值也无限增大,所以 曲线是无限伸展的,不像椭圆那样是封闭曲线.
范 围 对称性 顶点 焦点 对称轴
x y 2 1 2 a b
2
2
离心率
渐近线
双 曲 线 的 顶 点: 在双曲线的标准方程中，令y=0得 x=±a,因此把A1（-a，0）, A2（a， 0）叫做双曲线的顶点.
如图:线段A1A2叫做双曲线的 实轴,它的长等于2a, a叫做双 曲线的实半轴长. 线段B1B2叫做双曲线的虚轴 ,它的长等于2b, b叫做双曲 线的虚半轴长.
解：由2a=8, e=5Βιβλιοθήκη 4可得a=4 b=3 c=5
因为双曲线的顶点在x轴上，所以它的焦点也在x轴 上，所以它的标准方程为：
顶点焦点共直线
x y = 1 16 9
2
2
3 据列件分求双线标方： . 根下条，别出曲的准程
2 2 x y （ 与 曲 有 同 进 ， 1 双线 ） 1 共渐线且 9 1 6
4 渐近线方程:y x 3
课堂练习
1.求下列双曲线的实半轴长和虚半轴长, 焦点坐标,顶点坐标,离心率,渐近线的方程.
(1) (2)
x 4 2 y 16
2
y =1 5 2 x =1 9
2
方 程 图 象
实半轴长 虚半轴 长 焦点坐标
x2 y2 = 1 4 5
y2 x2 = 1 16 9
2
5 F , )F, ) (3 , 23 - 0 (0 1
A , )A, ) (2 , 22 - 0 (0 1
e = 3 2
4
3
F- ) 2 , 5 ( , 0 0 F 1 , 5 (- )
顶点坐 标
离心率
渐近线方程
A, 4 20) ( 0 , , A 1 -) (4
e = 5 4
5 y x 2
4 y x 3
2. 求顶点在x轴上,两顶点间的距离为8, 离心率e=5/4的双曲线的标准方程.
双曲线的简单几何性质
复习回顾：
双曲线的定义
点p到两定点 F1 F2的距离之差 的绝对值为常数 （小于F1 F2的距离） 点p 的轨迹
Y
p
F1 0 F2 X
椭圆的几何性质我们讨论了 哪些方面：
方程、图形、顶点(特殊点)、 范围、对称性、离心率e、准线
双曲线的简单几何性质
双曲线图像(1)
标准方程