2023高考数学专题03 中点弦问题(点差法)(学生版)

专题02 中点弦问题（设而不求与点差法）
椭圆:
第一步：若),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆）（012222>>=+b a b y a x 上不重合的两点，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+1
12
2
222222
1221b y a x b
y a x ，
第二步：两式相减得
0)
)(((2
212122121=-++-+b
y y y y a x x x x ））（， 第三步：
2121x x y y --是直线AB 的斜率k ，）
（2
,22
121y y x x ++是线段AB 的中点）（00,y x ，化简可得2221212121a b x x y y x x y y -=--⋅++2200a
b k x y -=⋅⇒，此种方法为点差法。

特别提醒：
若AB 是椭圆）（0122
22>>=+b a b y a x 上不垂直于x 轴的两点，P 是AB 的中点，O 为椭圆的中心，则直线
AB 与OP 的斜率之积为定值22
-a
b
考点一 直线与椭圆
例1．（1）、已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B
两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则椭圆的离心率为
A ．22
B ．1
2
C ．14
D 3
（2）、已知椭圆22
21(02)4x y b b +=<<的左右焦点分别为12,F F ，过左焦点1F 作斜率为2的直线与椭圆交于,A B
两点，AB 的中点是P ，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为1
4
-，则b 的值是
A ．2
B 3
C ．32
D 2
（3）、椭圆221ax by +=与直线12y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB ，则a b
的值为
A B C ．D ．
【小试牛刀1-1】．已知椭圆(22
212
x y a a +=的左、右焦点分别为12,F F ，过左焦点1F 作斜率为－2的直线
与椭圆交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为1
4
，则a 的值是______.
【小试牛刀1-2】．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为(0,4)B ，离心率e =直线l 交椭圆于,M N
两点，如果BMN ∆的重心恰好为椭圆的右焦点F ，直线l 方程为________．
【小试牛刀1-3】．已知)
F
为椭圆22
2
2:
1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，P 为AB 的中点，O 为坐标原点.若△OFP 是以OF 为底边的等腰三角形，且△OFP 外接圆的面积为
23
π
，则椭圆C 的长轴长为___________.
例2．如图，椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的离心率为
3
2
，点()
2,1
M-是椭圆内一点，过点M作两条斜率
存在且互相垂直的动直线12,l l，设1l与椭圆C相交于点,A B，2l与椭圆C相交于点,D E．当点M恰好为线段AB的中点时，10
AB．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求AD EB
⋅的最小值．
【小试牛刀2-1】．已知椭圆2
2 :15x C y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点,M N 在椭圆C 上.
（1）若线段MN 的中点坐标为12,3⎛⎫
⎪⎝⎭
，求直线MN 的斜率；
（2）若,,M N O 三点共线，直线1NF 与椭圆C 交于,N P 两点，求ΔPMN 面积的最大值，
考点二 直线与双曲线
例 3.（1）、已知双曲线)0,5(),0,0(122
22F b a b
y a x >>=-为该双曲线的右焦点，过F 的直线交该双曲线于
B A ,两点，且AB 的中点)7
80
,745(--
M ，则该双曲线的方程为 .
（2）、（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线22
214x y b
-=的左､右焦点分别为12,,F F 过左焦点1F 作斜率为2
的直线与双曲线交于A ，B 两点，P 是AB 的中点，O 为坐标原点，若直线OP 的斜率为1
4
，则b 的值是（ ）
A ．2 B
C ．32
D
（3）、（2023·全国·高三专题练习）直线l 交双曲线22
142
x y -=于A ，B 两点，且()4,1P 为AB 的中点，则l
的斜率为（ ） A ．4 B ．3
C ．2
D ．1
（4）、（2021·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（理））的直线与双曲线
()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为则双曲线C 的离心率为（ ）
A
B ．2
C D ．3
【小试牛刀3-1】．（2023·全国·高三专题练习）双曲线E ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>被斜率为4的直线截得的
弦AB 的中点为()21
，，则双曲线E 的离心率为 ______.
【小试牛刀3-2】．（2021·河南·襄城县实验高级中学高二阶段练习（文））的直线与双曲线
()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为则双曲线C 的离心率为___________.
【小试牛刀
3-3】．（2022·全国·高三专题练习）过点(1,1)M 作斜率为1
2
的直线与双曲线22
22Γ:1-=x y a b
相交于
A ，
B 两点，若M 是线段AB 的中点，则双曲线Γ的离心率为___________.
例4．（2022·河南·新乡市第一中学高二阶段练习）已知点(2,1)A 在双曲线22
22:1(1)1
x y C a a a -=>-上． (1)求双曲线的方程；
(2)是否存在过点11,2P ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的直线l 与双曲线相交于A ,B 两点，且满足P 是线段AB 的中点？若存在，求出直
线l 的方程；若不存在，请说明理由．
【小试牛刀4-1】．（2022·全国·高二课时练习）已知双曲线C 过点P ⎫
⎪⎝⎭
，其焦点1F ，2F 在x 轴上，且12||||2PF PF -=．
(1)求双曲线C 的标准方程．
(2)是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．
考点三 直线与抛物线
例5.（1）、已知抛物线2
4y x =的一条弦AB 恰好以()1,1P 为中点，则弦AB 所在直线的方程是（ ）
A .1y x =-
B .21y x =-
C .2y x =-+
D .23y x =-+
（2）、（2022·云南·一模（文））经过抛物线C ：2
4
x y =的焦点作直线与抛物线C 相交于A ､B 两点.若8AB =，
则线段AB 的中点的纵坐标为（ ）
A ．32
B ．3
C ．72
D ．4
（3）、（2022·湖北·高二阶段练习）已知抛物线()2
20x py p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，
B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为（ ） A ．3y =- B ．3
2
y =-
C ．3x =-
D ．3
2
x =-
【小试牛刀5-1】．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，
过点F 且倾斜角为锐角的直线l 与C 交于A 、B 两点，过线段AB 的中点M 且垂直于l 的直线与C 的准线交
于点N ，若AB =，则l 的斜率为（ ）
A ．1
2 B C D
【小试牛刀5-2】．（2021·福建省福州第一中学高三开学考试）已知F 是抛物线()2
20y px p =>的焦点，过F
的直线与抛物线交于,A B 两点，AB 的中点为C ，过C 作抛物线准线的垂线交准线于1C ，若1CC 的中点为
()1,3，则p =__________.
【小试牛刀5-3】．（2022·全国·高三专题练习）若A 、B 是抛物线24y x =上的不同两点，弦AB （不平行于y 轴）的垂直平分线与x 轴相交于点()4,0P ，则弦AB 中点的横坐标为___________.
【小试牛刀5-4】．（2022·吉林·长春市第八中学高二阶段练习）已知直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，若线段AB 的中点为()3,2，则线段AB 的长度为_______．
例6．（2022·山东·东营市第一中学高二期中）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点()1,2P 在抛物
线C 上．
(1)求点F 的坐标和抛物线C 的准线方程；
(2)过点F 的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，且线段AB 的中点为()3,2M -，求直线l 的方程及AB ．
A 组 基础巩固
1.(2013年新课标全国卷I10)已知椭圆22
22:1(0)x y G a b a b
+=>>的右焦点为()0,3F ,过点F 的直线交椭
圆于B A ,两点.若AB 的中点坐标为()11
-，,则E 的方程为 ( ) A.1364522=+y x B.1273622=+y x C.1182722=+y x D.19
182
2=+y x
2.(2010年新课标全国卷12)已知双曲线E 的中心为原点,()3,0F 是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于 ,A B 两点,且AB 的中点为()12,15N --,则E 的方程为 ( )
A.22136x y -=
B.22145x y -=
C.22163x y -=
D.22154
x y -=
3．已知椭圆22
1369
x y +=以及椭圆内一点P(4，2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为( )
A ．－1
2
B ．1
2
C ．－2
D ．2
4．已知椭圆的方程为()22
2210x y a b a b
+=>>，斜率为13-的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，且线段AB 的中
点为()1,2M ，则该椭圆的离心率为（ ）
A ．1
3
B 2
C 3
D ．1
2
5．已知椭圆中心在原点，且一个焦点为(033)F ，
，直线43130x y +-=与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为1，则此椭圆的方程是
A ．22
1325
y x +=
B ．22
1325
x y +=
C ．22
1369y x +=
D ．22
1369
x y +=
6．如果椭圆22
1369
x y +=的弦被点()4,2平分，则这条弦所在的直线方程是
A ．20x y -=
B ．240x y +-=
C ．23120x y +-=
D ．280x y +-=
7．已知椭圆C ：()2222100x y a b a b +=＞，＞3
l 与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的中
点为()21
M -，，则直线l 的斜率为（ ） A ．1
3
B ．23
C ．12
D ．1
8．椭圆22
1369
x y +=的一条弦被点(4,2)平分，则此弦所在的直线方程是
A ．20x y -=
B ．24x y +=
C ．2314x y +=
D ．28x y +=
9．过椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +=>>右焦点F 的直线l ：0x y --=交C 于A 、B 两点，P 为AB 的中点，
且OP 的斜率为1
2
-，则椭圆C 的方程为（ ）
A ．22
163
x y +=
B ．22
175x y +=
C ．22
184x y +=
D ．22
196
x y +=
10．已知椭圆22
:143
x y C +=，过点11,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线交椭圆C 于A 、B 两点，若P 为AB 的中点，则直线AB 的
方程为（ ） A ．3220x y --= B ．3240x y +-= C ．3450x y +-=
D ．3410x y --=
11．已知点(2,1)是直线l 被椭圆221124
x y +=所截得的线段的中点，则直线l 的方程是（ ） A ．2370x y +-= B ．2310x y --= C ．43110x y +-=
D ．4350x y --=
12．（2021·河南南阳·高二阶段练习（文））已知斜率为1的直线与双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>相交于A 、
B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P ，若直线OP 的斜率为2，则双曲线
C 的离心率为（ ）
A
B ．2
C
D ．3
13．（2020·新疆师范大学附属中学高二阶段练习（理））已知双曲线22
1164
x y -=，以点()5,1P -为中点的弦
所在的直线方程为（ ） A ．45210x y +-= B ．54210x y +-= C ．240x y --=
D ．240x y +-=
14．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高二期末（理））已知双曲线2
2
2:1(0)y C x b b
-=>的离心率为2，过点(3,3)
P 的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，且点P 恰好是弦AB 的中点，则直线AB 的方程为（ ） A ．230x y --=
B ．290x y +-=
C ．360x y --=
D ．60x y +-=
15．（2022·河南安阳·高二期末（理））已知抛物线2:4C y x =，过点(2,1)P 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．4
B ．2
C ．1
D ．1
2
16．（2022·全国·高三专题练习）已知以F 为焦点的抛物线22y x =-上的两点A ，B （点A 的横坐标大于点B 的横坐标），满足OA OB FA λ-=（O 为坐标原点），弦AB 的中点M 的横坐标为56
-，则实数λ=（ ）
A ．32
B ．43
C ．3
D ．4
17．（2022·陕西陕西·二模（理））已知抛物线28y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线分别交于A ，B 两点，若第一象限内的点(),4M t 为线段AB 的中点，则AB 的长度为（ ） A ．12
B ．18
C ．16
D ．8
18．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点（点A 在第一象限，点B 在第四象限），与x 轴交于点(,0)M m ，若线段AB 的中点的横坐标为3，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,3]
B ．(,3]-∞
C ．(0,6]
D ．(1,6]
19．（2022·江西·模拟预测（文））已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F l 与C
交于,M N 两点，若线段MN F 到C 的准线的距离为_______．
20．（2021·全国·高二专题练习）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为2x =-，在抛物线C 上存在A ､B 两点关于直线:70l x y +-=对称，设弦AB 的中点为M ，O 为坐标原点，则||OM 的值为___________.
21．已知点P (1，2)是直线l 被椭圆22
148x y +=所截得的线段的中点，则直线l 的方程是_____.
22．已知斜率为k 的直线l 与椭圆
22143
x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：1
2
k <-；
（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且0FP FA FB ++=．证明：2FP FA FB =+．
23．已知椭圆()22
22x y C 1a b 0a b
+=：＞＞的右焦点为)
F
，过点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的
弦长为2．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设A ，B 为椭圆C 上的两动点，M 为线段AB 的中点，直线AB ，OM （O 为坐标原点）的斜率都存在且分别记为k 1，k 2，试问k 1k 2的值是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
24．设椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交椭圆于,A B 两点，若椭圆E
的离心率为1
2，2ABF 的周长为16． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设不经过椭圆的中心而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点,C D ，设弦,AB CD 的中点分别为,M N .证明：,,O M N 三点共线.
B 组 能力提升
25．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的右焦点和上顶点分别为点()(),0F c b c >和点A ，直线:65280
l x y --=交椭圆于,P Q 两点，若F 恰好为APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A ．2
B
C D 26．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆()22122:10x y
C a b a b
+=>>交于A 、B 两点，与圆222:(2)(1)1C x y -+-=交
于C 、D 两点．若存在[]2,1k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是
A ．10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．⎛ ⎝⎦
D ．⎫
⎪⎪⎣⎭
27．已知斜率为12的直线l 与椭圆22:1164x y C +=交于A ，B 两点，线段AB 中点M 纵坐标为点P 在椭圆上，若APB ∠的平分线交线段AB 于点N ，则||
||
PN MN 的值MN 为（ ）
A
B C D
28．已知椭圆C ：22
14x y +=，A ，B 是椭圆C 上两点，且关于点12M ⎛ ⎝⎭
对称，P 是椭圆C 外一点，满足PA ，PB 的中点均在椭圆C 上，则点P 的坐标是___________.
29．已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于A B ，两点，
且A B ，的中点为112M ⎛⎫
⎪⎝⎭，，则椭圆的离心率为__________.
30．设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为4
（1）当直线y x m =+与椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围；
（2）设点(2,1)M 是直线l 被椭圆所截得的线段AB 的中点，求直线l 的方程．
31．椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为(3,0)F ，AB 是斜率为(0)k k ≠的弦，AB 的中点为E ，AB 的垂
直平分线交椭圆于C ，D 两点，CD 的中点为N .当1k =时，直线OE 的斜率为1
4
-（O 为坐标原点）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设原点O 到直线AB 的距离为d ，求
EN
d
的取值范围； （3）若直线OA ，直线OB 的斜率满足2
(0)OA OB k k k k =⋅>，判断并证明2
2
175AB EN ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
是否为定值.
32．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心率为12，AB 为椭圆的一条弦（不
经过原点），直线()0y kx k =>经过弦AB 的中点，与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线AB 的斜率为1k .
（1）若点Q 的坐标为31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，求椭圆C 的方程；
（2）求证：1k k 为定值；
（3）过P 作x 轴的垂线，垂足为R ，若直线AB 和直线QR 倾斜角互补，且PQR 的面积为26求椭圆C 的方程.
33．已知直线l ：y x m =+与椭圆C ：2213
x
y +=交于A ，B 两点.
（1）若直线l 过椭圆C 的左焦点1F ，求AB ；
（2）线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点1,02N ⎛⎫
⎪⎝⎭
，求m .
34．（2022·河南安阳·高二阶段练习）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点． (1)若l 的倾斜角为6
π
且过点F ，求AB ； (2)若线段AB 的中点坐标为()3,2-，求l 的方程．
35．（2022·上海交大附中高三开学考试）已知椭圆()22
122:10x y a b a b
Γ+=>>的右焦点2F 与抛物线2Γ的焦点
重合，1Γ的中心与2Γ的顶点重合，过2F 且与x 轴垂直的直线交1Γ于A 、B 两点，交2Γ于C 、D 两点，且12
5
CD AB =
.
(1)求1Γ的离心率；
(2)设E 是1Γ与2Γ的公共点，若213=EF ，求1Γ与2Γ的标准方程；
(3)直线:=+l y kx h 与1Γ交于M 、N ，与2Γ交于P 、Q ，且在直线l 上按M 、P 、N 、Q 顺序排列，若
MP PN NQ ==，求2QF .。