[哈工大材料力学 课件]第三次课(第2章-扭转和弯曲内力)

★例题3： F1 =3KN
1 2 2 1.5m
F2 =20KN
解：(1) 求支座反力：
B
∑M
B
=0
RA = 14KN RB = 9KN
A 1m 2m
1
3m
3m
F1 × 8 + F2 × 3 RA × 6 = 0
RA
RB M1 Fs1 = 11kN M 1 =5kN m
11
∑M
A
=0
F1
RA Fs1 Fs 2 = 9kN M 2 M 2 =13.5kN m
哈尔滨工业大学本科生课
第2章 内力及内力图
§2.3 扭 转 §2.4 梁的平面弯曲及其计算简图 §2.5 梁的内力——剪力与弯矩
复习上节课内容
轴力和轴力图
F
左端：∑X = 0, FN – F = 0 N FN = F N
沿m-m截开
m m
F
F‘ 右端： ∑X = 0, -N N ′ + F = 0 NF' ′ = F N
★例题4：求1-1、2-2两截面的内力 F1 =2KN
1 1
解：(1) 求支座反力：
q=1.5KN/m
2
∑M
B
B
=0
RA = 5.5KN RB = 2.5KN
2 × 5 RA 4 + 1.5 × 4 × 2 = 0
A
2m
2
∑M
A
=0
1m
2m
RB 4 1.5 × 4 × 2 + 2 × 1 = 0 RB (2) 取脱离体，求内力
扭矩图
2M e
T
1.5M e 3M e
§2.3 扭转
工程中的传动轴，通常不是直接给出作用在轴上的外力偶
轴传递的功率 P 单位:kW 轴的转速 n 单位:r/min ,rpm
§2.3 扭转
轴传递的功率 P 单位:kW 轴的转速 n 单位:r/min ,rpm
每分钟做的功为
W = P × 103 × 60
T2 x
T2 + 1.5M e + 1.5M e = 0 T2 = 3M e
A
T3 2 M e = 0
B
3-3截面，取右侧为脱离体
T3
3 3
2Me
T3 = 2 M e
D
x
§2.3 扭转
1.5Me 1 1 1.5Me 5Me 2 2 3 2Me
B
C
A
3
D
T1 = 1.5M e
T2 = 3M e
T3 = 2 M e
剪力和弯矩的正负号规则： 左上右下为正
Fs
Fs
Fs Fs
M
M 上压下拉为正 M
M
§2.5 梁的内力——剪力和弯矩
剪力和弯矩的正负号规则： 左上右下为正
F Fs Fs F Fs
上压下拉为正
n n
Fl
F M
Fl
M M M
Fs
F
本例中的剪力和弯矩均为负值
§2.5 梁的内力——剪力和弯矩
★例题1
3m
n n
-3kN
复习上节课内容
低碳钢拉伸试验
一条线，两个规律，三个现象，四个阶段，五个性能指标
§2.3 扭转
扭转的工程实例
1.螺丝刀杆工作时受扭
Me
主动力偶
阻抗力偶
§2.3 扭转
扭转的工程实例
2、汽车方向盘的转动轴工作时受扭
§2.3 扭转
扭转的工程实例
3、机器中的传动轴工作时受扭
§2.3 扭转
1.扭转的概念 受力特点：
F3
F1
x F1 F2 F2 FN 2 x F3 x
FN2 + F1 – F2 = 0 FN2 = F2 - F1 = –1kN
–FFN‘2′ – F3 = 0 N2 FN 2′ = –1kN N2
N FN32′ FN
右：∑X= 0,
2. 画轴力图 横坐标轴（x轴）代表截面的位置
基线
()
x
-1kN
FN 纵坐标轴(FN轴）代表截面的轴力值
RB = 1KN
RA
Fs
y
M
∑M = 0
M = RA x = 3 ( KN m )
∑F
=0 Fs = RA = 1KN
§2.5 梁的内力——剪力和弯矩
3m
RA = 1KN
M
n
2m
n
RB = 1KN
Fs RB
5m
Fs RB = 0, Fs = 1KN
RA
5KN m
RB
M + RB × 2 = 0
500 )N m = 15.9kN m 300 150 M 2 = M 3 = ( 9554 × )N m = 4.78kN m 100 200 M 4 = ( 9554 × )N m = 6.37kN m 300 M 1 = ( 9554 ×
§2.3 扭转
4.78 1 1 4.78 15.9 2 2 3 6.37
4 扭矩的符号规定—右手螺旋法则
I I
T
Me
扭 矩 符 号 规 定 ：
T
I I
T
+
I I T
Me
T
T
I
I
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的 指向表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相 同，规定扭矩为正，反之为负。
§2.3 扭转
例1 计算1-1,2-2,3-3横截面上的扭矩 1.5Ｍe 1.5Ｍe
在集中力偶作用处的截 面，不能含糊地说该截面 上的弯矩是多大， 而应该说“力偶作用处的 左邻截面和右邻截面的弯 矩各为多大
假设剪力和弯矩为 (2) 取出脱离体： 取正号的方向
∑F =0 ∑M = 0
y
RA
Fs
M
Fs = RA = 1KN
RA × 3 M 5 = 0 M = 2 ( KN.m )
§2.5 梁的内力——剪力和弯矩
RA
Fs
y
M
Fs + 5 RA = 0
∑F
=0 Fs = 3KN
§2.5 梁的内力——剪力和弯矩
★例题2
3m
n n
2m 5KN m
解：(1) 求支座反力：
∑M ∑M
B
=0
RA 5 5 = 0 RB 5 + 5 = 0
5m
RA
RB
RA = 1KN
A
=0
假设剪力和弯矩为 (2) 取出脱离体： 取正号的方向
RB 4 1.5 × 4 × 2 + 2 × 1 = 0 (2) 取脱离体，求内力
F1
M1
Fs1 = 3.5kN
11
∑F =0 ∑M = 0
y
Fs1 + F1 = RA M 1 = 2kN m
在集中力作用处的截面，不能含糊地说该截面上的剪力是多大， 而应该说“集中力作用处的左邻截面和右邻截面的剪力各为多大
B
C
A
3
D
T3 = 6.37KN m
T1 = 4.78KN m
T2 = 9.56KN m
扭矩图
6.37KN m
T
4.78KN m 9.56KN m
§2.4 梁的平面弯曲和计算简图
弯曲的工程实例
1.工厂厂房的天车大梁
§2.4 梁的平面弯曲和计算简图
弯曲的工程实例
2. 火车轮轴
§2.4 梁的平面弯曲和计算简图
作业
教材40页：2.4（a) 40页：2.5 （b)、(e) 2.6 (d)
力偶做功（每分钟） W ′ = M e ω = M e 2π n
W =W′
P ×103 × 60 = M e 2π n
P M e = 9554 n
§2.3 扭转
传动轴的转速n = 300r/min； 主动轮输入的功率P1= 500kW，三 个从动轮输出的功率分别为： N2= 150kW， N3= 150kW， N4= 200kW。试作轴的扭矩图。
弯曲的工程实例
3.楼房的横梁
4.阳台的挑梁
§2.4 梁的平面弯曲和计算简图
弯曲的工程实例
5.吊车梁
§2.4 梁的平面弯曲和计算简图
弯曲的工程实例
上海长江大桥架起"世界第一梁"
上海长江大桥第53号至54号桥墩间，将架起“百米长梁”。这一箱梁 长105米、宽16米、高5米，重2300吨，为世界第一。"百米长梁"超越东 海大桥"梁式大桥"70米的跨度，实现了桥梁史上的一大突破。
2.梁的计算简图
2. 根据支座对梁在载荷平面内的约束情况 支座简化的三种形式： 固定绞支座 可转动，不能移动 固定端支座 可动绞支座 可转动和水平移动 不能移动、不能转动
§2.4 梁的平面弯曲和计算简图 工程中，常见的梁的计算简图有以下三种： 简支梁
一端是固定铰支约束 另一端可动铰支约束
悬臂梁
一端为固定端 另一端自由
11
RA
F1
M1 Fs1 M2 Fs 2 = 0.5kN M 2 =2kN m Fs2 RB
22
q=1.5KN/m
∑F =0 ∑M = 0
y y s2
Fs1 = 2KN M 1 = 2kN m
∑ F = 0 F + 2.5 = 1.5 × 2 ∑ M = 0 M + 1.5 × 2 ×1 = 2.5 × 2
F
﹜
FN ′
FN
x F
FN 和F’’ ′ 称为轴力（轴向拉压杆的截面内力） N NN
轴力的符号规定：拉正 压负
{
§2.1 轴向拉伸与压缩
例1：F1 = 3kN, F2 =2kN, F3 求：轴力和轴力图。 =1kN。
F1
1 1
FN 1 F1
F2 2
2
解：1.求轴力 1－1： ∑X = 0, FN1+ F1 = 0 FN1 ＝ -F1 ＝ –3kN 2－2： 左：∑X = 0
F2 × 3 F1 × 2 RB × 6 = 0 (2) 取脱离体，求内力
∑F =0 ∑M = 0
y
Fs1 + F1 - RA = 0 F1 × 3 + M 1 RA × 1 = 0 Fs1 + RB = 0 M 2 RB × 1.5 = 0
Fs2
RB 22
∑F =0 ∑M = 0
y
§2.5 梁的内力——剪力和弯矩
§2.4 梁的平面弯曲和计算简图 1.弯曲的概念： 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为曲线。
P q M
RA
RB
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
§2.4 梁的平面弯曲和计算简图
2.平面弯曲的概念
讨论杆的弯曲暂时限制在如下的范围: 杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）
2
§2.5 梁的内力——剪力和弯矩
★例题4：求1-1、2-2两截面的内力 F1 =2KN
1
解：(1) 求支座反力：
q=1.5KN/m
2 2
∑M
B
B
=0
RA = 5.5KN RB = 2.5KN
2 × 5 RA 4 + 1.5 × 4 × 2 = 0
A
1m
1
∑M
A
=0
RA Fs1 RA
2m
2m
RB
§2.5 梁的内力——剪力和弯矩
3m
RA = 2KN
2m 5KN
n n
∑M = 0
RB = 3KN
5m
M = RA x = 2 x ( KN m )
在集中力作用处的截面， 不能含糊地说该截面上的 剪力是多大， 而应该说“集中力作用处 的左邻截面和右邻截面的 剪力各为多大
RA
x 5KN
RB
假设剪力和弯矩为 (2) 取出脱离体： 取正号的方向
一对大小相等、转向相反、 作用平面垂直于杆轴线的外 力偶
变形特点：
杆件的任意两个横截面发生 相对转动
扭转角：
杆件扭转时任意两个横截面发生相对转动而产生的相对角位移 以扭转变形为主的杆件 ——轴
§2.3 扭转
2.求扭转内力的方法—截面法
Ⅰ
Ⅰ
3 受扭圆轴横截面上的内力、内力偶矩—扭矩，Ｔ
I
T
I
§2.3 扭转
外伸梁
绞支座支撑 梁的一端或两端伸 于支座之外
§2.4 梁的平面弯曲和计算简图 阳台的挑梁：
楼房的横梁：
§2.5 梁的内力——剪力和弯矩
F
x
n n
l
F
Fs M
M = Fx Fl
Fs ——剪力
F
M ——弯矩
Fl
M
Fs
lx
F
F M = Fl F (l x) = Fx
§2.5 梁的内力——剪力和弯矩
对称轴
对称轴
对称轴
对称轴
§2.4 梁的平面弯曲和计算简图
x
梁的轴线
y 纵向对称轴
纵向对称面 纵向对称面： 梁的轴线与横截面的对称轴（纵向对称轴）所构成的平面
§2.4 梁的平面弯曲和计算简图
m
q
F
x
MA
集中力 载荷 梁上的外力 分布力 集中力偶 梁的轴线
FA
FB
y 纵向对称轴
支撑——支座反力（支反力）
2m 5KN
解：(1) 求支座反力：
∑M
B
=0
RA 5 = 5 × 2
5m
RA = 2KN
RA
x
RB
∑M
A
=0
RB 5 = 5 3
假设剪力和弯矩为 (2) 取出脱离体： 取正号的方向
RB = 3KN
RA
Fs
y
M
∑M = 0
M = RA x = 2 x ( KN m )
∑F
=0 Fs = RA = 2KN
§2.4 梁的平面弯曲和计算简图
1.平面弯曲 受力特点：
所有外力（载荷和支座反力）作用 在纵向对称面内，并垂直于轴线。
变形特点：
轴线由直线变简图
2.梁的计算简图
x
梁的轴线
y
纵向对称轴
1. 用梁的轴线来代替实际的梁
q F
x
y
§2.4 梁的平面弯曲和计算简图
1 1
5Ｍe
3 3
2Ｍe
1.5Me
1.5Me
5Me
2Me
B
C
A
D
§2.3 扭转
1.5Me 1 1 1 1 1.5Me 1.5Me 1.5Me 5Me 2 2 3 2Me
B
1.5Me
C T1 x
A
3
D
T1 = 1.5M e
解：1-1截面，取左侧为脱离体
T1 + 1.5M e = 0
B
2-2截面，仍取左侧为脱离体 2 2