人教版九年级数学下《解直角三角形及其应用》拔高练习

《解直角三角形及其应用》拔高练习
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的每个顶点都在网格的格点上，则sin A等于（）
A．B．C．D．
2．（5分）如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为（）
A．800•sin32°B．C．800•tan32°D．
3．（5分）如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ的高度（）
A．6+2B．6C．10﹣D．8
4．（5分）河堤的横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：，则AB的长是（）
A．5B．5C．10D．10
5．（5分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，则∠DAC的余弦值为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，则∠DCB的正切值为．
7．（5分）如图，在△ABC中，tan A＝，∠B＝45°，AB＝14，则BC的长为．
8．（5分）如图，一辆小车沿坡度为5：12的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是米．
9．（5分）已知△ABC，O为AC中点，点P在AC上，若OP＝1，sin∠A＝，∠B＝120°，BC＝2，则AP＝．
10．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝8，
BC＝6，那么∠ACD的正切值是．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）如图，为了测量旗杆的高度BC，在距旗杆底部B点10米的A处，用高1.5米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角∠CDE为52°，求旗杆BC 的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28】
12．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，∠ACD＝45°，∠DCB＝60°，CD ＝40，求AB．
13．（10分）如图，师达中学教学楼的对面是一栋宿舍楼，小孙同学在教学楼的窗口C测得宿舍楼顶部D的仰角为18°，宿舍楼底部的俯角为20°，量得教学楼与宿舍楼之间的距离AB＝30m，求宿舍楼的高BD（结果精确到0.1m）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
14．（10分）如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为20米，
坡角α为60°，
（1）求斜坡CD的水平长度是多少？
（2）根据有关部门的规定，∠α≤39°时才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（参考数据：sin36°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24，结果取整数．）
15．（10分）如图，某地质公园中有两座相邻小山．游客需从左侧小山山脚E处乘坐竖直观光电梯上行100米到达山顶C处，然后既可以沿水平观光桥步行到景点P处，也可以通过滑行索道到达景点Q处，在山顶C处观测坡底A的俯角为75°，观测Q处的俯角为30°，已知右侧小山的坡角为30°（图中的点C，E，A，B，P，Q均在同一平面内，点A，Q，P在同一直线上）（1）求∠CAP的度数及CP的长度；
（2）求P，Q两点之间的距离．（结果保留根号）
《解直角三角形及其应用》拔高练习
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的每个顶点都在网格的格点上，则sin A等于（）
A．B．C．D．
【分析】如图，作CD⊥AB于D．在Rt△ADC中，求出CD，AC即可解决问题；【解答】解：如图，作CD⊥AB于D．
∵BC＝2，BD＝CD＝，AC＝＝，
在Rt△ACD中，sin A＝＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
2．（5分）如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为（）
A．800•sin32°B．C．800•tan32°D．
【分析】作BC⊥AC，垂足为C，在Rt△ABC中，利用三角函数解答即可．
【解答】解：如图，作BC⊥AC，垂足为C．
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∠BAC＝32°，AB＝50×16＝800（米），
sin∠BAC＝，
∴BC＝sin∠BAC•AB＝800•sin32°．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，找到直角三角形并熟悉三角函数的运算是解题的关键．
3．（5分）如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆PQ的高度（）
A．6+2B．6C．10﹣D．8
【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米，在直角△APE和直角△BPE 中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB＝AE﹣BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
【解答】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE＝x米．
在直角△APE中，∠A＝45°，
则AE＝PE＝x米；
∵∠PBE＝60°
∴∠BPE＝30°
在直角△BPE中，BE＝PE＝x米，
∵AB＝AE﹣BE＝6米，
则x﹣x＝6，
解得：x＝9+3．
则BE＝（3+3）米．
在直角△BEQ中，QE＝BE＝（3+3）＝（3+）米．
∴PQ＝PE﹣QE＝9+3﹣（3+）＝6+2（米）．
答：电线杆PQ的高度是6+2米．
故选：A．
【点评】本题考查了仰角的定义，以及三角函数，正确求得PE的长度是关键．4．（5分）河堤的横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1：，则AB的长是（）
A．5B．5C．10D．10
【分析】直接利用坡比的定义得出AC的长，进而得出答案．
【解答】解：∵迎水坡AB的坡比1：，
∴tan∠BAC＝＝＝，
解得：AC＝5（m），
则AB＝＝＝10（m）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出AC的长是解题关键．
5．（5分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，则∠DAC的余弦值为（）
A．B．C．D．
【分析】由勾股定理得BC＝5，由面积公式得AB•AC＝AD•BC可求得AD＝，继而根据余弦函数的定义求解可得．
【解答】解：∵AC＝3，AB＝4，
由勾股定理BC＝＝＝5，
由面积公式得AB•AC＝AD•BC，
∴AD＝＝，
∴cos∠DAC＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是掌握勾股定理，三角形的面积公式及余弦函数的定义．
二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若AC＝4，BC＝3，则∠DCB的正切值为．
【分析】根据在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，可以得到∠B与∠ACD的关系，由AC＝4，BC＝3，可以求得∠A的正切值，从而可以得到∠DCB的正切值．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
∴∠CDA＝90°，∠A+∠B＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，tan A＝，
∴tan A＝，
∴tan∠BCD＝，
故答案为：．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是找出与所求角相等的角，然后根据相等的角的正切值相等，进行等量代换解答本题．
7．（5分）如图，在△ABC中，tan A＝，∠B＝45°，AB＝14，则BC的长为6．
【分析】作CD⊥AB于D，如图，先在Rt△CDA中利用tan A的定义可计算．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，如图，
∵在Rt△CDA中，tan A＝，
设CD＝3x，AD＝4x，
∵在Rt△CDB中，∠B＝45°
∴tan B＝＝1，sin B＝，
∵CD＝3x．
∴BD＝3x，BC＝•3x＝3x．
又∵AB＝AD+BD＝14，
∴4x+3x＝14，解得x＝2，
∴BC＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．熟练掌握三角函数的定义是解决此类问题的关键．8．（5分）如图，一辆小车沿坡度为5：12的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是5米．
【分析】由坡度定义可得位置升高的高度即为坡角所对的直角边．根据题意可得tan∠A＝，AB＝13米，可解出直角边BC，即得到小车上升的高度．
【解答】解：由题意得，BC：AC＝5：12，
∴BC：AB＝5：13，
∵AB＝13m，
∴BC＝5m，
答：小车上升的高度是5米．
【点评】考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）＝垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．9．（5分）已知△ABC，O为AC中点，点P在AC上，若OP＝1，sin∠A＝，∠B＝120°，BC＝2，则AP＝或．
【分析】作CD⊥AB的延长线于D，求得∠CBD＝60°，解直角三角形求得DC ＝3，进而求得AC＝9，即可求得AO＝AC＝，然后求得AP的长．
【解答】解：作CD⊥AB的延长线于D，
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBD＝60°，
∵BC＝2，
∴DC＝BC•sin60°＝2•＝3，
∵sin A＝，
∴AC＝9，
∴AO＝AC＝，
∵OP＝1，
∴AP＝或．
故答案为：或．
【点评】本题考查了解直角三角形，此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
10．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AC＝8，BC＝6，那么∠ACD的正切值是．
【分析】根据直角三角形的性质得：∠B+∠A＝90°，∠A+∠ACD＝90°可得∠B＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠B的正切值，即为tan∠ACD 的值．
【解答】解：∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵BC＝6，AC＝8，
∴tan B＝＝＝，
∴tan∠ACD的值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形的性质求出∠B＝∠ACD 是解本题的关键．
三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）如图，为了测量旗杆的高度BC，在距旗杆底部B点10米的A处，用高1.5米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角∠CDE为52°，求旗杆BC 的高度．（结果精确到0.1米）【参考数据sin52°＝0.79，cos52°＝0.62，tan52°＝1.28】
【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形△ADE，解其可得DE的长，进而借助BC＝EC+EB可解即可求出答案．
【解答】解：过点D作DE⊥BC交BC于E，
在△CDE中，有CE＝tan52°×DE＝1.28×10≈12.8，
故BC＝BE+CE＝1.5+12.8≈14.3，
答：旗杆的高度为14.3米．
【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，关键是本题
要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
12．（10分）如图，在△ABC中，CD⊥AB，∠ACD＝45°，∠DCB＝60°，CD ＝40，求AB．
【分析】解直角三角形求出AD，DB即可解决问题；
【解答】解：∵在△ABC中，CD⊥AB，∠ACD＝45°，∠DCB＝60°，
∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∠CAD＝45°，∠B＝30°，
∴CD＝AD＝40，BD＝CD•tan60°＝40，
∴AB＝AD+BD＝40+40，
即AB的长是40+40．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确各边之间的关系，由题目中的信息求出各边的长，然后找出所求问题需要的条件．
13．（10分）如图，师达中学教学楼的对面是一栋宿舍楼，小孙同学在教学楼的窗口C测得宿舍楼顶部D的仰角为18°，宿舍楼底部的俯角为20°，量得教学楼与宿舍楼之间的距离AB＝30m，求宿舍楼的高BD（结果精确到0.1m）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【分析】作CH⊥BD于H，如图，利用仰角和俯角定义得到∠DCH＝18°，∠BCH＝20°，利用正切定义，在Rt△DCH中计算出DH＝30tan18°＝9.6，在Rt△BCH中计算出BH＝30tan20°＝10.8，然后计算BH+DH即可得到宿舍楼的高BD．
【解答】解：作CH⊥BD于H，如图，
根据题意得∠DCH＝18°，∠BCH＝20°，
易得四边形ABHC为矩形，则CH＝AB＝30，
在Rt△DCH中，tan∠DCH＝，
∴DH＝30tan18°＝30×0.32＝9.6（m），
在Rt△BCH中，tan∠BCH＝，
∴BH＝30tan20°＝30×0.36＝10.8（m），
∴BD＝10.8+9.6＝20.4（m）．
答：宿舍楼的高BD为20.4m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
14．（10分）如图，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为20米，坡角α为60°，
（1）求斜坡CD的水平长度是多少？
（2）根据有关部门的规定，∠α≤39°时才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（参考数据：sin36°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24，结果取整数．）
【分析】假设点D移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D作DE⊥AC于点
E，作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE、CE、CE′的长，进而可得出结论．
【解答】解：设点D移到D’的位置时，恰好∠α＝39°，过点D作DE⊥AC 于点E，作D'E'⊥AC于点E’．
因为CD＝12米，∠DCE＝60°，
DE＝CD•sin60°＝12×＝6米，CE＝CD•cos60°＝12×＝6米．
因为DE⊥AC，D'E'⊥AC，DD'∥CE'，
所以四边形DEE'D'是矩形，
所以DE＝D′E′＝6（米）．因为∠D'CE'＝39°，
所以（m），所以EE'＝CE'﹣CE＝12.8﹣6＝6.8≈7（米）．
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
15．（10分）如图，某地质公园中有两座相邻小山．游客需从左侧小山山脚E处乘坐竖直观光电梯上行100米到达山顶C处，然后既可以沿水平观光桥步行到景点P处，也可以通过滑行索道到达景点Q处，在山顶C处观测坡底A的俯角为75°，观测Q处的俯角为30°，已知右侧小山的坡角为30°（图中的点C，E，A，B，P，Q均在同一平面内，点A，Q，P在同一直线上）（1）求∠CAP的度数及CP的长度；
（2）求P，Q两点之间的距离．（结果保留根号）
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠APC＝∠P AB＝30°，根据三角形的内角和得到∠CAP＝180°﹣75°﹣30°＝75°，根据等腰三角形的判定定理得到PC＝AP，过P作PF⊥AB于F，根据直角三角形的性质即可得到结论；（2）根据等腰三角形的判定定理得到CQ＝PQ，过Q作QH⊥PC于H，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵PC∥AB，
∴∠APC＝∠P AB＝30°，
∴∠CAP＝180°﹣75°﹣30°＝75°，
∴∠CAP＝∠PCA，
∴PC＝AP，
过P作PF⊥AB于F，
则PF＝CE＝100，
∴P A＝2PF＝200米；
（2）∵∠PCQ＝∠QPC＝30°，
∴CQ＝PQ，
过Q作QH⊥PC于H，
∴PH＝PC＝100，
∴PQ＝＝米．
答：P，Q两点之间的距离是米．
【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．。