稳定性定义与稳定性条件(四讲new)
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0 e 0
0
e
0
2.渐近稳定 定义：若平衡状态 x e 是李雅普诺夫意义下稳定 x 的，并且当 t 时，(t ) x ,即 lim x (t ) x 0 ， 则称平衡状态是渐近稳定的。
e
t e
3. 大范围（渐近）稳定 定义：如果对任意大的 ，系统总是稳定的， 则称系统是大范围（渐近）稳定的。如果系统 总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定 的。
定理2 若1) V ( x, t ) 0 2)V ( x, t ) 0 3) V [ x (t ; x0 , t ), t ]在非零状 态不恒为0，则原点是渐近稳定的。 说明：不存在 t0 0, x0 0,V ( x, t ) 0 ,经历能量等于恒定 ，但不维持该状态。 定理3 若1) V ( x, t ) 0 2)V (x ,t ) 03）[ x (t ; x0 , t ), t ] 在非零 V 状态存在恒为零，则原点是李雅普诺夫意义下稳定。 说明：x 0,V ( x, t ) 0 系统维持等能量水平运动，使 x (t ; x0 , t )维持在非零状态而不运行至原点。 能量函数随时 定理4 若1) V ( x, t ) 0 2) V ( x, t ) 0 则原点是不稳定的。
图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
5 二次型标量函数： 1） 存在 2）
在经典控制理论中，只有渐近稳定是稳 定系统，只在Lia稳定不是渐近稳定是 临界稳定，在工程上属于不稳定系统。
3）当
时， 则称 是正定的（正半定的）。
如果条件3）中不等式的符号反向，则称
如果存在一个具有连续偏导数的标量函数 V ( x , t ) 并且满足条件： 1）V ( x , t ) 是正定的； 2）V ( x , t ) 是负定的。
能量随时间连 续单调衰减
那么系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。 且‖x‖→∞,V(x,t) →∞ =0是大范围渐近稳定;如 xe 果V(x,t)与t无关,则是大范围一致渐近稳定。
李氏第二法步骤： 1 ）构造一个V ( x , t )二次型 2）求V ( x , t ), 并代入状态方程 3）判断V ( x , t )的定号性 4）判断非零情况V [ x ( t ; x0 , t ), t ]是否为零 渐近稳定 李氏稳定 不稳定
2 2 2 V ( x ) 2 x1 x1 2 x 2 x 2 2( x1 x 2 ) < 0
又因为当 x 时，有 V ( x ) 所以系统在 原点处是大范围渐近稳定的 例4.5 已知系统
2 x1 ( x1 x 2 ) x 2
x 2 ( x1 x 2 ) x1 x 2
x 2 e 0,
x1e arcsin
b0 a0
U 2 k
下面仅对 k 0 情况进行研究，其它情况类似
计算
f1 x 1 A f n x1
f1 xn 0 a0 cosx 1e f n xn x x e
4. 不稳定 定义：如果对于某一实数 0 ，不论 取多 小，由 s ( ) 内出发的轨迹，至少有一条轨迹越 出 s (，则称平衡状态为不稳定. ) 上述定义对于离散系统也是适用的，只是 将连续时间t理解为离散时间k。 注意:稳定性讨论的是系统没有输入（包括参 考输入和扰动）作用或者输入作用消失以后的 自由运动状态。所以，通常通过分析系统的零 输入响应，或者脉冲响应来分析系统的稳定性。
x1 x 2 x 2 a 0 sin x1 a1 x 2 b 0 u ,
a0 0 a1 0
其中
u U
常数，试分析其平衡状态的稳定性。
解: 求平衡状态：由
x2 0 a 0 sin x1 a1 x 2 b0U 0
知系统有平衡点
k 0 , 1, 2 ,
间增大，x在原 点处发散
例4.4
已知系统
2 2 x1 x 2 x1 ( x1 x 2 ) 2 2 x 2 x1 x 2 ( x1 x 2 )
试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。
解: 显然，原点
2
xe 0
2
是唯一平衡点， ，则
取 V ( x ) x1 x 2 0
李氏意义下稳定成立定常连续系统qp为正定实对称阵4242李亚普诺夫方法在线性系统中应用李亚普诺夫方法在线性系统中应用421421线性定常系统渐近稳定性判别法线性定常系统渐近稳定性判别法定理1
第4章 控制系统稳定性分析
4.1 稳定性定义与稳定性条件
当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内， 系统的响应可能出现下列情况： 1)系统的自由响应是有界的； 2)系统的自由响应是无界的； 3)系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。 李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐近 稳定的。 显然，如果系统不稳定，则系统的响应是无界的，系统的输出将 逐渐增加直到损坏系统，或者进入振荡状态。因此，系统稳定是保 证系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。 李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度”的度量。
2 2 W ( x ) 2 x1 x1 2 x 2 x 2 2( x1 x 2 ) 0
x1 x2 例4.7 x2 x1 x2 2 2 1)V ( x) 2 x1 x2 V ( x) 2 x2 ( x1 x2 )不确定 2)V ( x) x1 x2
不会恒等于零。 所以系统在其原点
处大范围渐近稳定。 例4.6 系统的状态方程为
x1 x1 x 2 x 2 x1 x 2
试确定系统在其平衡状态的稳定性。
解:
系统具有唯一的平衡点 xe
W ( x ) x1 x 2 0
2 2
0,
取
则 于是知系统在原点处不稳定。
f1 y n f n y n y 0
f1 x 1 f n x1 f1 xn 2 G ( y ) o( y ) f n xn x x e
f1 y 1 A f n y1
2
1 2
( a1 a1 ) 0
系统在
x e 不稳定;
1e
③如果 cos x
0
,其稳定性靠一次近似不能判断。
4.1.5李雅普诺夫第二方法（直接法） 定理1 假设系统的状态方程为பைடு நூலகம்
不求解系统的运动方程，而是借助于一个lia函数来直接对系统 x f ( x , t ), f (0, t ) 0 t 平衡状态的稳定性做出判断。从能量观点来进行稳定性分析。
是负定的（负半定的）。 例
1） 2）
正定的 半正定的
3）
4）
负定的
半负定的
5）
不定的
5
二次型：
的所有顺序主子行列式 为半正定的。
塞尔维斯特（Sylvester）定理： 为正定的充要条件是
都是正的。如果
的所有主子行列式为非负的
（其中有的为零），那么 例4.2
证明下列二次型函数是正定的。
(2)近似线性化：y Ay
结论:如果 Re( i(A)) < 0 , 则 x e 渐近稳定; 如 Re( i(A)) 0，则
G ( y)
i≠j=1~n
如果存在 Re( i(A)) 0, Re( j(A)) < 0，则 x e 不稳定；
x e 的稳定性由高阶导数项
来决定。 例4.3 已知非线性系统
例4.1 求下列非线性系统的平衡状态
x1 x1 3 x 2 x1 x 2 x 2
研究系统稳定性都是对平衡状态而 言的。
解 由平衡状态定义，平衡状态 x e 满足: x 0
1e
[ x1e x 2 e ] T
应
x 1e x 2 e x 2 e 0
3
得非线性系统有三个平衡状态： T. T , T , x e 3 0 1 x e 2 0 1 x e1 0 0
4.1.3 李雅普诺夫稳定性定义
1.稳定 定义:如果对于任意给定的每个实数 0 ,都 对应存在着另一实数 ( , t 0 ) 0 ,使得从满足不等 式 x x ( , t ) 的任意初态 x 出发的系统响 应,在所有的时间内都满足 x x 则称系统 的平衡状态 x e 是稳定的.若 与 t 的选取无 关,则称平衡状态 x e 是一致稳定的.
mn
(4.2)
A
j 1 i 1
n
m
a ij
2
(4.3)
4.1.2 平衡状态
系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系 统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化的， 这样的状态称为系统的平衡状态。 根据平衡状态的定义可知,连续系统 x f ( x ) 的平衡状 态 x e 是满足平衡方程 x 0 即 f ( x e ) 0 的系统状态。离散 系统 x ( k 1) f ( x ( k )) 的平衡状态，是对所有的k，都满足 平衡方程 x e f ( x e , k ) 的系统状态。
试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。
解:
系统具有唯一的平衡点 x e
取 则 当
V ( x ) x1 x 2 0
2 2
0
2 2 2 V ( x ) 2 x1 x1 2 x 2 x 2 2( x1 x 2 ) 0
V ( x) 因为除原点处外，
V x 时， ( x )
2 2
( x) 2 x 2大范围渐近稳定 V 2
2 2 2
3)V ( x)
1 2
[( x1 x2 ) 2 x1 x2 ]
2 2 V ( x) ( x1 x2 )大范围渐近稳定
4.1.6 几点说明
1)V ( x , t ) 选取不唯一，但无通用 会导致 V ( x , t )不定的结果。 2 ) 这仅仅是充分条件。找 定时，系统必定是稳定 不稳定。
首先讨论线性系统 x Ax 的平衡状态。由 于平衡状态为 Ax e 0 ，因此，当A为非奇异矩 阵时，系统只有一个平衡状态 x e 0 ；当A 为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡状态。
对于非线性系统，可能有一个平衡状态， 也可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以 由平衡方程解得。下面举例说明。
课后完成
4.1.4李雅普诺夫第一方法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1、线性定常系统稳定性的特征值判据：
x Ax
x (0) x0
t0
李氏稳定的充要条件：
Re( i ) 0
i 1, 2 , n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左 半部。
4.1.4李雅普诺夫第一方法（间接法）
2、非线性系统的稳定性分析：假定非线性系统在平衡状态 附近可展开成泰勒级数，可用线性化系统的特征值判据判 断非线性系统的平衡状态处的稳定性。
设 将
x f ( x)
，x e 为孤立平衡点。
y x xe
（1）平衡点平移：令
f ( y xe )
则
y f ( y xe )
在原点展开得 y Ay G ( y ) ，
4.1.1 范数的概念 1. 向量的范数
定义：n维向量空间
x
2
x x1 x 2 x n
2
T
的范数定义为:
2
x1 x 2 x n
(4.1)
2. 矩阵的范数 定义：m×n矩阵A的范数定义为:
a 11 A a m1 a 12 am2 a 1n a mn
2
1 a1
由特征方程
a1
2
A I a1 a 0 cos x1e 0
，得
a1 4 a 0 cos x1e 2
①当cos x1e < 0 时，系统在 x e 渐近稳定； ② cos x1e
1 0 时，
1 2 ( a1 a1 4 a 0 cos x1e )
0
e
0
2.渐近稳定 定义：若平衡状态 x e 是李雅普诺夫意义下稳定 x 的，并且当 t 时，(t ) x ,即 lim x (t ) x 0 ， 则称平衡状态是渐近稳定的。
e
t e
3. 大范围（渐近）稳定 定义：如果对任意大的 ，系统总是稳定的， 则称系统是大范围（渐近）稳定的。如果系统 总是渐近稳定的，则称系统是大范围渐近稳定 的。
定理2 若1) V ( x, t ) 0 2)V ( x, t ) 0 3) V [ x (t ; x0 , t ), t ]在非零状 态不恒为0，则原点是渐近稳定的。 说明：不存在 t0 0, x0 0,V ( x, t ) 0 ,经历能量等于恒定 ，但不维持该状态。 定理3 若1) V ( x, t ) 0 2)V (x ,t ) 03）[ x (t ; x0 , t ), t ] 在非零 V 状态存在恒为零，则原点是李雅普诺夫意义下稳定。 说明：x 0,V ( x, t ) 0 系统维持等能量水平运动，使 x (t ; x0 , t )维持在非零状态而不运行至原点。 能量函数随时 定理4 若1) V ( x, t ) 0 2) V ( x, t ) 0 则原点是不稳定的。
图（a）、(b)、(c)分别表示平衡状态为稳定、 渐近稳定和不稳定时初始扰动所引起的典型轨迹。
5 二次型标量函数： 1） 存在 2）
在经典控制理论中，只有渐近稳定是稳 定系统，只在Lia稳定不是渐近稳定是 临界稳定，在工程上属于不稳定系统。
3）当
时， 则称 是正定的（正半定的）。
如果条件3）中不等式的符号反向，则称
如果存在一个具有连续偏导数的标量函数 V ( x , t ) 并且满足条件： 1）V ( x , t ) 是正定的； 2）V ( x , t ) 是负定的。
能量随时间连 续单调衰减
那么系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。 且‖x‖→∞,V(x,t) →∞ =0是大范围渐近稳定;如 xe 果V(x,t)与t无关,则是大范围一致渐近稳定。
李氏第二法步骤： 1 ）构造一个V ( x , t )二次型 2）求V ( x , t ), 并代入状态方程 3）判断V ( x , t )的定号性 4）判断非零情况V [ x ( t ; x0 , t ), t ]是否为零 渐近稳定 李氏稳定 不稳定
2 2 2 V ( x ) 2 x1 x1 2 x 2 x 2 2( x1 x 2 ) < 0
又因为当 x 时，有 V ( x ) 所以系统在 原点处是大范围渐近稳定的 例4.5 已知系统
2 x1 ( x1 x 2 ) x 2
x 2 ( x1 x 2 ) x1 x 2
x 2 e 0,
x1e arcsin
b0 a0
U 2 k
下面仅对 k 0 情况进行研究，其它情况类似
计算
f1 x 1 A f n x1
f1 xn 0 a0 cosx 1e f n xn x x e
4. 不稳定 定义：如果对于某一实数 0 ，不论 取多 小，由 s ( ) 内出发的轨迹，至少有一条轨迹越 出 s (，则称平衡状态为不稳定. ) 上述定义对于离散系统也是适用的，只是 将连续时间t理解为离散时间k。 注意:稳定性讨论的是系统没有输入（包括参 考输入和扰动）作用或者输入作用消失以后的 自由运动状态。所以，通常通过分析系统的零 输入响应，或者脉冲响应来分析系统的稳定性。
x1 x 2 x 2 a 0 sin x1 a1 x 2 b 0 u ,
a0 0 a1 0
其中
u U
常数，试分析其平衡状态的稳定性。
解: 求平衡状态：由
x2 0 a 0 sin x1 a1 x 2 b0U 0
知系统有平衡点
k 0 , 1, 2 ,
间增大，x在原 点处发散
例4.4
已知系统
2 2 x1 x 2 x1 ( x1 x 2 ) 2 2 x 2 x1 x 2 ( x1 x 2 )
试用李雅普诺夫第二方法判断其稳定性。
解: 显然，原点
2
xe 0
2
是唯一平衡点， ，则
取 V ( x ) x1 x 2 0
李氏意义下稳定成立定常连续系统qp为正定实对称阵4242李亚普诺夫方法在线性系统中应用李亚普诺夫方法在线性系统中应用421421线性定常系统渐近稳定性判别法线性定常系统渐近稳定性判别法定理1
第4章 控制系统稳定性分析
4.1 稳定性定义与稳定性条件
当系统受到扰动后，其状态偏离平衡状态，在随后所有时间内， 系统的响应可能出现下列情况： 1)系统的自由响应是有界的； 2)系统的自由响应是无界的； 3)系统的自由响应不但是有界的，而且最终回到原先的平衡状态。 李雅普诺夫把上述三种情况分别定义为稳定的、不稳定的和渐近 稳定的。 显然，如果系统不稳定，则系统的响应是无界的，系统的输出将 逐渐增加直到损坏系统，或者进入振荡状态。因此，系统稳定是保 证系统能正常工作的首要条件。稳定性是控制系统最基本的性质。 李雅普诺夫用范数作为状态空间“尺度”的度量。
2 2 W ( x ) 2 x1 x1 2 x 2 x 2 2( x1 x 2 ) 0
x1 x2 例4.7 x2 x1 x2 2 2 1)V ( x) 2 x1 x2 V ( x) 2 x2 ( x1 x2 )不确定 2)V ( x) x1 x2
不会恒等于零。 所以系统在其原点
处大范围渐近稳定。 例4.6 系统的状态方程为
x1 x1 x 2 x 2 x1 x 2
试确定系统在其平衡状态的稳定性。
解:
系统具有唯一的平衡点 xe
W ( x ) x1 x 2 0
2 2
0,
取
则 于是知系统在原点处不稳定。
f1 y n f n y n y 0
f1 x 1 f n x1 f1 xn 2 G ( y ) o( y ) f n xn x x e
f1 y 1 A f n y1
2
1 2
( a1 a1 ) 0
系统在
x e 不稳定;
1e
③如果 cos x
0
,其稳定性靠一次近似不能判断。
4.1.5李雅普诺夫第二方法（直接法） 定理1 假设系统的状态方程为பைடு நூலகம்
不求解系统的运动方程，而是借助于一个lia函数来直接对系统 x f ( x , t ), f (0, t ) 0 t 平衡状态的稳定性做出判断。从能量观点来进行稳定性分析。
是负定的（负半定的）。 例
1） 2）
正定的 半正定的
3）
4）
负定的
半负定的
5）
不定的
5
二次型：
的所有顺序主子行列式 为半正定的。
塞尔维斯特（Sylvester）定理： 为正定的充要条件是
都是正的。如果
的所有主子行列式为非负的
（其中有的为零），那么 例4.2
证明下列二次型函数是正定的。
(2)近似线性化：y Ay
结论:如果 Re( i(A)) < 0 , 则 x e 渐近稳定; 如 Re( i(A)) 0，则
G ( y)
i≠j=1~n
如果存在 Re( i(A)) 0, Re( j(A)) < 0，则 x e 不稳定；
x e 的稳定性由高阶导数项
来决定。 例4.3 已知非线性系统
例4.1 求下列非线性系统的平衡状态
x1 x1 3 x 2 x1 x 2 x 2
研究系统稳定性都是对平衡状态而 言的。
解 由平衡状态定义，平衡状态 x e 满足: x 0
1e
[ x1e x 2 e ] T
应
x 1e x 2 e x 2 e 0
3
得非线性系统有三个平衡状态： T. T , T , x e 3 0 1 x e 2 0 1 x e1 0 0
4.1.3 李雅普诺夫稳定性定义
1.稳定 定义:如果对于任意给定的每个实数 0 ,都 对应存在着另一实数 ( , t 0 ) 0 ,使得从满足不等 式 x x ( , t ) 的任意初态 x 出发的系统响 应,在所有的时间内都满足 x x 则称系统 的平衡状态 x e 是稳定的.若 与 t 的选取无 关,则称平衡状态 x e 是一致稳定的.
mn
(4.2)
A
j 1 i 1
n
m
a ij
2
(4.3)
4.1.2 平衡状态
系统没有输入作用时，处于自由运动状态。当系 统到达某状态，并且维持在此状态而不再发生变化的， 这样的状态称为系统的平衡状态。 根据平衡状态的定义可知,连续系统 x f ( x ) 的平衡状 态 x e 是满足平衡方程 x 0 即 f ( x e ) 0 的系统状态。离散 系统 x ( k 1) f ( x ( k )) 的平衡状态，是对所有的k，都满足 平衡方程 x e f ( x e , k ) 的系统状态。
试用李雅普诺夫第二方法判别其稳定性。
解:
系统具有唯一的平衡点 x e
取 则 当
V ( x ) x1 x 2 0
2 2
0
2 2 2 V ( x ) 2 x1 x1 2 x 2 x 2 2( x1 x 2 ) 0
V ( x) 因为除原点处外，
V x 时， ( x )
2 2
( x) 2 x 2大范围渐近稳定 V 2
2 2 2
3)V ( x)
1 2
[( x1 x2 ) 2 x1 x2 ]
2 2 V ( x) ( x1 x2 )大范围渐近稳定
4.1.6 几点说明
1)V ( x , t ) 选取不唯一，但无通用 会导致 V ( x , t )不定的结果。 2 ) 这仅仅是充分条件。找 定时，系统必定是稳定 不稳定。
首先讨论线性系统 x Ax 的平衡状态。由 于平衡状态为 Ax e 0 ，因此，当A为非奇异矩 阵时，系统只有一个平衡状态 x e 0 ；当A 为奇异矩阵时，系统有无穷多个平衡状态。
对于非线性系统，可能有一个平衡状态， 也可能有多个平衡状态。这些平衡状态都可以 由平衡方程解得。下面举例说明。
课后完成
4.1.4李雅普诺夫第一方法（间接法）
利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。 1、线性定常系统稳定性的特征值判据：
x Ax
x (0) x0
t0
李氏稳定的充要条件：
Re( i ) 0
i 1, 2 , n
即系统矩阵A的全部特征值位于复平面左 半部。
4.1.4李雅普诺夫第一方法（间接法）
2、非线性系统的稳定性分析：假定非线性系统在平衡状态 附近可展开成泰勒级数，可用线性化系统的特征值判据判 断非线性系统的平衡状态处的稳定性。
设 将
x f ( x)
，x e 为孤立平衡点。
y x xe
（1）平衡点平移：令
f ( y xe )
则
y f ( y xe )
在原点展开得 y Ay G ( y ) ，
4.1.1 范数的概念 1. 向量的范数
定义：n维向量空间
x
2
x x1 x 2 x n
2
T
的范数定义为:
2
x1 x 2 x n
(4.1)
2. 矩阵的范数 定义：m×n矩阵A的范数定义为:
a 11 A a m1 a 12 am2 a 1n a mn
2
1 a1
由特征方程
a1
2
A I a1 a 0 cos x1e 0
，得
a1 4 a 0 cos x1e 2
①当cos x1e < 0 时，系统在 x e 渐近稳定； ② cos x1e
1 0 时，
1 2 ( a1 a1 4 a 0 cos x1e )