(北师大版)初中数学九年级上册 第六章综合测试(含答案)

第六章综合测试
一、选择题（共10题；共30分） 1.关于反比例函数4
y x
=图象，下列说法正确的是（ ） A.必经过点()1,1
B.两个分支分布在第二、四象限
C.两个分支关于x 轴成轴对称
D.两个分支关于原点成中心对称
2.若点()17,A y -，()24,B y -，()35,C y 在反比例函数3
y x
=的图象上，则1y 2y ，3y 的大小关系是（ ） A.132y y y ＜＜
B.213y y y ＜＜
C.321y y y ＜＜
D.123y y y ＜＜
3.反比例函数3
k y x
+=的图象位于二、四象限，则k 的取值范围是（ ） A.3k -＞
B.3k ≥-
C.3k -＜
D.3k ≤-
4.如图，已知点A 为反比例函数()0k
y x x
=＜的图象上一点，过点A 作AB y ⊥轴，垂足为B ，若OAB △的面积为3，则k 的值为（ ）
A.3
B.3-
C.6
D.6-
5.如图，若0ab ＜，则正比例函数y ax =与反比例函数b
y x
=
在同一坐标系的大致图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.
6.如图，函数y kx =（0k ＞）与函数2
y x
=的图象相交于A ，C 两点，过A 作AB y ⊥轴于B ，连结BC ，则三角形ABC 的面积为（ ）
A.1
B.2
C.2k
D.22k
7.如图，ABO △的顶点A 在函数k
y x
=
（0x ＞）的图象上，90ABO ∠=︒，过AO 边的三等分点M 、N 分别作x 轴的平行线交AB 于点P 、Q .若四边形MNQP 的面积为3，则k 的值为（ ）
A.9
B.12
C.15
D.18
8.矩形ABCO 如图摆放，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数k
y x
=（0x ＞）上，2OA =，4AB =，则k 的值为（ ）
A.4
B.6
C.
32
5
D.
425
9.如图，平面直角坐标系xOy 中，线段BC x ∥轴、线段AB y ∥轴，点B 坐标为()4,3，反比例函数4
y x
=（0x ＞）
的图像与线段AB 交于点D ，与线段BC 交于点E ，连结DE ，将BDE △沿DE 翻折至B DE '△处，则点B '的纵坐标是（ ）
A.
7
15
B.
11
25
C.
5
12
D.
724
10.如图，已知点A ，点C 在反比例函数k
y x
=
上（0k ＞，0x ＞）的图象上，AB x ⊥轴于点B ，连结OC 交AB 于点D ，若2CD OD =，则BDC △与ADO △的面积比为（ ）
A.13
B.
14
C.
15
D.
16
二、填空题（共6题；共24分） 11.已知点()2,2-在反比例函数k
y x
=
的图象上，则这个反比例函数的表达式是________. 12.某中学要在校园内划出一块面积为2100 m 的矩形土地做花圃，设这个矩形的相邻两边长分别为 m x 和
m y ，那么y 关于x 的函数解析式为________.
13.如图，在平面直角坐标系中，直线y kx m =-+与双曲线8
y x
=（0x ＞）交于A 、B 两点，点A 的横坐标
为1，点B 的纵坐标为2，点P 是y 轴上一动点，当PAB △的周长最小时，点P 的坐标是________.
14.如图，已知直线2y x =-+分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，与双曲线k
y x
=
交于E ，F 两点，若2AB EF =，则k 的值是________.
15.如图，11POA △、212P A A △是等腰直角三角形，点1P 、2P 在函数()4
0y x x
=＞的图象上，斜边1OA 、12A A 都在x 轴上，则点2A 的坐标是________.
16.如图，已知点A 在反比例函数()0k
y x x
=
＞的图象上，作Rt ABC △，边BC 在x 轴上，点D 为斜边AC 的中点，连结DB 并延长交y 轴于点E ，若BCE △的面积为6，则k =________.
三、解答题（共7题；共66分）
17.已知正比例函数3y x =-与反比例函数5
m y x
-=交于点()1,P n -，求反比例函数的表达式.
18.如图，一次函数y kx b =+（k 、b 为常数，0k ≠）的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比
例函数n
y x
=
（n 为常数，且0n ≠）的图象在第二象限交于点C .CD x ⊥轴，垂足为D ，若2312OB OA OD ===.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）记两函数图象的另一个交点为E ，求CDE △的面积； （3）直接写出不等式n
kx b x
+≤的解集.
19.经过实验获得两个变量()0x x ＞，()0y y ＞的一组对应值如下表.
（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式.
（2）点()11,A x y ，()22,B x y 在此函数图象上.若12x x ＜，则1y ，2y 有怎样的大小关系？请说明理由.
20.如图，菱形的一边OA 在x 轴负半轴上.O 是坐标原点，点()13,0A -，对角线AC 与OB 相交于点D ，且
130AC OB ⋅=，若反比例函数k
y x
=
（x ＜0）的图象经过点D ，并与BC 的延长线交于点E .
（1）求双曲线k
y x
=
的解析式； （2）求:AOB OCE S S △△之值.
21.如图，一次函数1y k x b =+（10k ≠）与反比例函数2
k y x
=
（20k ≠）的图象交于点()1,2A -，(),1B m -.
（1）求这两个函数的表达式；
（2）在x 轴上是否存在点(),0P n （0n ＞），使ABP △为等腰三角形？若存在，求n 的值；若不存在，说明理由.
22.如图，已知一次函数y kx b =+（0k ≠）的图象与x 轴、y 轴分别交于点A 、B 两点，且与反比例函数
m
y x
=
的图象在第一象限内的部分交于点C ，CD 垂直于x 轴于点D ，其中2OA OB OD ===.
（1）直接写出点A 、C 的坐标； （2）求这两个函数的表达式；
（3）若点P 在y 轴上，且14ACP S =△，求点P 的坐标.
23.如图，在平面直角坐标系中，点(),0A a 是x 轴正半轴上一点，PA x ⊥轴，点B 坐标为()0,b （0b ＞），动点M 在y 轴正半轴上B 点上方的点，动点N 在射线AP 上，过点B 作AB 的垂线，交射线AP 于点D ，交直线MN 于点Q ，连结AQ ，取AQ 的中点为C .
（1）若2a b =，点D 坐标为(),m n ，求
m
n
的值；
（2）当点Q 在线段BD 上时，若四边形BQNC 是菱形，面积为B ，Q 两点的直线解析式； （3）当点Q 在射线BD 上时，且3a =，1b =，若以点B ，C ，N ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长.
第六章综合测试
答案解析
一、 1.【答案】D
【解析】解：A .把()1,1代入得：左边≠右边，故A 选项不符合题意； B .40k =＞，图象在第一、三象限，故B 选项不符合题意； C .沿x 轴对折不重合，故C 选项不符合题意； D .两曲线关于原点对称，故D 选项符合题意； 故答案为：D. 2.【答案】B
【解析】解：∵点()17,A y -，()24,B y -，()35,C y 在反比例函数3
y x
=
的图象上，30k =＞， ∴该函数在每个象限内，y 随x 的增大而减小，函数图象在第一、三象限，
7405--∵＜，＜，
2130y y y ∴＜＜＜，
即213y y y ＜＜， 故答案为：B. 3.【答案】C
【解析】解：根据题意得：30k +＜，解得3k -＜. 故答案为：C. 4.【答案】D 【解析】由题意得
32
k
=，解得6k =或6k =-， ∵图象在第二象限，
0k ∴＜， 6k =-∴，
故答案为：D. 5.【答案】B
【解析】0ab ∵＜，∴当0a ＞时，0b ＜，此时正比例函数y ax =经过第一、三象限，反比例函数图像在二、四象限，没有符合条件的图像；当0a ＜时，0b ＞，此时此时正比例函数y ax =经过第二、四象限，反比例函数图像在一、三象限，B 选项符合条件. 故答案为：B.
6.【答案】B
【解析】设点A 坐标2,x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
，则点C 坐标2,x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
AB y ∵⊥轴， ()114
222A C ABC S AB y y x x
=
⋅-=⋅=△∴， 故答案为：B. 7.【答案】D
【解析】解：NQ MP OB ∵∥∥，
ANQ AMP AOB ∴△∽△∽△， M ∵、N 是OA 的三等分点， 12AN AM =∴，13AN AO =， 1
4
ANQ AMP
S S =△△∴
， ∵四边形MNQP 的面积为3， 134
ANQ ANQ
S S =+△△∴
， 1ANQ S =△∴， 2
119
AOB
AN S AO ⎛⎫== ⎪⎝⎭△∵
， 9AOB S =△∴， 218AOB k S ==△∴，
故答案为：D. 8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCO 是矩形，
90A AOC ∠=∠=︒∴，OC AB =， 2OA =∵，4AB =，
∴过C 作CD x ⊥轴于D ，
90CDO A ∠=∠=︒∴，90COD COB COB AOB ∠+∠=∠+∠=︒， COD AOB ∠=∠∴，
AOB DOC ∴△∽△，
OB AB OA
OC CD OD
==
∴，
42
CD OD
==，
CD =
∴OD =
C ⎝⎭∴，
32
5
k =
∴， 故答案为：C. 9.【答案】B
【解析】解：∵四边形OABC 是矩形，
CB x ∴∥轴，AB y ∥轴，
∵点B 坐标为()4,3，
D ∴的横坐标为4，
E 的纵坐标为3，
D E ∵、在反比例函数4
y x =（0x ＞）的图像上，
D ∴的坐标为：()4,1，
E 的坐标为：4,33⎛⎫
⎪⎝⎭
，
48
BE 4BD 31233
=-
==-=∴，，
10ED 3
=
=∴， 连接BB '，交ED 于F ，过B '作B G BC '⊥于G ，如图：
B B '∵，关于ED 对称，
BF B F BB ED ''=∴，⊥，
BF ED BE BD ⋅=⋅∴， 即：
108BF 233
⨯=⨯， 8BF 5
=∴， 16BB 2BF 5
'==∴， 设EG x =，则8BG 3x =-， 22222BB BG B G EB GE '''-==-，
22221688533x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∴， 解得：5675
x =， 56EG 75
=∴，
64BG 25===∴， 则点B '的纵坐标为：641132525
-
=， 故答案为：B.
10.【答案】B
【解析】解：如图，过C 作CE x ⊥轴，
CE BD ∴∥，
111222
AOB COE S OB AB S OB CE k =⨯==⨯=△△∵， 2CD OD =∵，
22:::1:9BOD COE S S BD CE OD OC ===△△∴，
1119218
BOD S k k =⨯=△∴， 129
BDC BOD S S k ==△△∴， 1142189
AOD ABD BDC S S S k k k =-=-=△△△∵， BDC ∴△与ADO △的面积比为：14:1:499
k k =. 故答案为：B.
二、
11.【答案】4y x
=- 【解析】解：∵反比例函数()0k y k x =
≠的图象上一点的坐标为()2,2-， 224k =-⨯=∴，
∴反比例函数解析式为4y x
=-， 故答案为：4y x
=-. 12.【答案】()1000y x x
=＞ 【解析】解：由题意，得y 关于x 的函数解析式是()1000y x x =
＞. 故答案为()1000y x x
=＞. 13.【答案】340,5⎛⎫ ⎪⎝⎭
【解析】解：作A 关于y 轴的对称点为A '，连接A B '，交y 轴于P 点，
此时PA PB A B '+=，则PAB △的周长最小，
把1x =代入8y x
=得，8y =， ()1,8A ∴，
把2y =代入8y x =得，82x
=，解得4x =， ()4,2B ∴，
()1,8A '-∴，
把()1,8A '-，()4,2B 代入y kx m =-+得842k m k m +=⎧⎨-+=⎩，解得65345k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
， ∴直线为63455
y x =-+， 令0x =，则345
y =， 340,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
∴， 故答案为340,5⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 14.【答案】
34
【解析】解：如图，作FH x ⊥轴，EC y ⊥轴，FH 与EC 交于D ，
由直线2y x =-+可知A 点坐标为()2,0，B 点坐标为()0,2，2OA OB ==， AOB ∴△为等腰直角三角形，
AB =∴，
1
2
EF AB ==∴ DEF ∴△为等腰直角三角形，
1FD DE ===∴， 设F 点横坐标为t ，代入2y x =-+，则纵坐标是2t -+，则F 的坐标是：(),2t t -+，E 点坐标为()1,1t t +-+， ()()()-211t t t t +=+⋅-+∴，解得12
t =
， E ∴点坐标为31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 313224
k =⨯=∴. 故答案为：34
.
15.【答案】()
【解析】作1PB y ⊥轴，1P A
x ⊥轴，2P D x ⊥轴，
11212POA P A A ∵△，△是等腰直角三角形，
11122AP BP A D DA DP ===∴，，
则4OA OB ⋅=，
1124OA OB AA OA ====∴，，
设1A D x =，则有()44x x +=，
解得2x =-+，或2x =--，
则24244OA x =+=-+2A 坐标为()
.
16.【答案】12
【解析】解：BD ∵为Rt ABC △的斜边AC 上的中线， BD DC =∴，
DBC ACB ∠=∠∴，
又DBC EBO ∠=∠，
EBO ACB ∠=∠∴，
又90BOE CBA ∠=∠=︒，
BOE CBA ∴△∽△，
BO OE BC AB
=∴，即BC OE BO AB ⨯=⨯. 又6BEC S =△∵，
162
BC EO ⋅=∴， 即12BC OE BO AB k ⨯==⨯=.
∵反比例函数图象在第一象限，0k ＞.
12k =∴.
故答案是：12.
三、
17.【答案】解：将点P 的坐标代入正比例函数3y x =-中，得()313n =-⨯-=， 故P 点坐标为()1,3-
将点()1,3P -代入反比例函数5m y x -=中，得531m -=- 解得：2m = 故反比例函数的解析式为：3y x
=-. 18.【答案】（1）解：由已知，6OA =，12OB =，4OD =
CD x ∵⊥轴
OB CD ∴∥
ABO ACD ∴△∽△
OA OB AD CD
=∴
61210CD
=∴ 20CD =∴
∴点C 坐标为()4,20-
80n xy ==-∴
∴反比例函数解析式为：80y x
=- 把点()6,0A ，()0,12B 代入y kx b =+得：
0612k b b =+⎧⎨=⎩
解得：112k b =-⎧⎨=⎩
∴一次函数解析式为：212y x =-+
（2）当80212x x
-=-+时，解得 110x =，24x =-
当10x =时，8y =-
∴点E 坐标为()10,8-
11201081014022
CDE CDA EDA S S S =+=⨯⨯+⨯⨯=△△△∴ （3）不等式n kx b x
+≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不高于反比例函数图象 ∴由图象得，10x ≥，或40x -≤＜.
19.【答案】（1）解：设函数解析式为k y x
= ∵图像经过点()1,6
166k =⨯=∴
∴此函数解析式为6y x
=
； 图像如下
（2）解：60k =∵＞
∴在第一象限内，y 随x 的增大而减小，
∵点()11,A x y ，()22,B x y 在此函数图象上，12x x ＜，
12y y ∴＞.
20.【答案】（1）解：作CG AO ⊥于点G ，作BH x ⊥轴于点H ，
130AC OB ⋅=∵，
1652
OABC S AC OB =⋅⋅=菱形∴， 16522OAC OABC S S ==△菱形∴，即16522
AO CG ⋅=， ()13,0A -∵，即13OA =，
根据勾股定理得5CG =，
在Rt OGC △中，13OC OA ==∵，
12OG =∴，
则()12,5C --，
∵四边形OABC 是菱形，
AB OC AB OC =∴∥，，
BAH COG ∠=∠∴，
在BAH △和COG △中
BAH COG AHB OGC AB OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()BAH COG AAS ∴△≌△，
512BH CG AH OG ====∴、，
()25,5B -∴，
D ∵为BO 的中点，
255,2
2D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∴， D ∵在反比例函数图象上，
255125224k ⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭∴，即反比例函数解析式为1254y x
= （2）解：当5y =-时，254
x =-， 则点25,54E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， 234
CE =∴， 1123115116551352248222
OCE AOB S CE CG S AO BH =⋅⋅=⨯⨯==⋅⋅=⨯⨯=△△∵，， 65115::52:2328
AOB OCE S S ==△△∴. 21.【答案】（1）解：把()1,2A -代入2k y x
=，得到22k =-，∴反比例函数的解析式为2y x =-.(),1B m -∵在2y x =-上，2m =∴，由题意11221k b k b -+=⎧⎨+=-⎩，解得111k b =-⎧⎨=⎩
，∴一次函数的解析式为1y x =-+ （2）解：()()1,22,1A B --∵，
，AB =∴①当PA PB =时，()()221421n n ++=-+，
0n =∴，0n ∵＞，0n =∴不合题意舍弃.②当AP AB =时，(
)(2
2221n ++=，0n ∵＞
，1n =-∴③当BP BA =时，(
)(22212n +-=，0n ∵＞
，2n =∴
综上所述，1n =-
2+
22.【答案】（1）A 点坐标为()2,0-，C 点坐标为()2,4
（2）解：把()2,4C 代入m y x
=得248m =⨯=，
∴反比例函数解析式为8y x
=， 把()2,0A -，()0,2B 代入y kx b =+得202k b b -+=⎧⎨=⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩
， ∴一次函数解析式为2y x =+
（3）解：设()0,P t ，
14ACP S =△∵，
而PBA PBC PAC S S S +=△△△，
124142
t -⨯=∴，解得9t =或5t =-， ∴点P 的坐标为()0,9或()0,5-.
23.【答案】（1）解：90AOB ABD PA x ∠=∠=︒∵，⊥轴 90OAD ∠=︒∴
90OAB BAD ∠+∠=︒∴
90OBA OAB ∠+∠=︒∵
BAD OBA ∠=∠∴
AOB DBA ∴△∽△
OB AB AB AD
=∴ ()()(),00,2,A a B b a b D m n =∵，，，
2OA b AB ==∴，，
25m OA b n AD b ====∴，
25
m n =∴ （2）解：如图，
∵四边形BQNC 是菱形，
BQ BC NQ BQC NQC ==∠=∠∴，
AB BQ ∵⊥，C 是AQ 的中点，
12
BC CQ AQ ==
∴ 6030BQC BAQ ∠=︒∠=︒∴， 在ABQ △和ANQ △中，
BQ NQ BQA NQA QA QA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∵，
()ABQ ANQ SAS ∴△≌△
30BAQ NAQ ∠=∠=︒∴
30BAO ∠=︒∴
BQNC S =四边形∵
AB ==∴
162
OB AB OA AD ====∴，
(B
，(D
设经过点B ，Q 两点的直线解析式为y kx b =+，
把(B
，(D
代入解析式得，6b k b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩
解得，k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩
∴经过点B ，Q
两点的直线解析式为：y =+（3）解：13OB OA ==∵，，
AB =∴
DA x ∵⊥轴，
DA y ∴∥轴，
DAB ABO ∠=∠∴，
又AOB DBA ∠=∠
AOB DBA ∴△∽△，
OB OA AB BD
=∴
BD =∴
①如图，当点Q 在线段BD 上，
AB BD ∵⊥，C 为AQ 的中点，
12
BC AQ =∴ ∵四边形BQNC 是平行四边形，QN BC CN BQ CN BD ==∴，，∥ 12CN AC QD AQ ==∴
， 1
3
BQ CN BD ==∴
AQ =∴
BQNC C =四边形∴
②如图，当点Q 在线段BD 的延长线上，
AB BD ∵⊥，C 为AQ 的中点，12
BC CQ AQ ==
∴ ∴四边形BQNC 是平行四边形，BN CQ =，BN CQ ∥
12
BD BN QD AQ ==∴
3BQ BD ==∴
AQ ==∴
2BQNC C AQ ==平行四边形∴。